Les axes étant rectangulaires, considérons l'équation

(II) Par’4-P'r’4-P''2’=R.

On peut toujours supposer R positif; si R était négatif, on n’aurait qu’à changer les signes des deux membres. On aura les cas suivants à distinguer :

i“ Les trois coefficients P, P', P", peuvent avoir le même signe; - '

2® DèifS de ces coefficients peuvent être positifs, en même temps troisième négatif;

^ 3® Uri de ces'çoèfficients peut être positif, en même temps que les deux autres négatifs;

4° Vn ou deux des coefficients P, P', P", peuvent être ' nuis; ,

5“ Le , terme constant R peut être nul.

' l” ELLirSOÏDE. ' ■ • '

373. Si les trois coefficients P, P', P", supposés de même signe, étaient négatifs, l’équation (II) ne représenterait rien ou représenterait un ellipsoïde imaginaire. Nous supposerons donc les trois coefficients du premier membre positifs comme le terme indépendant.

Faisons successivement dans l’équation de la surfacé ^ ^=oetz=o, ,r = oeta=o, x = oet)'' = o.

Nous trouverons ainsi, pour les coordonnées des points où la surface coupe les axes,

Nous en déduirons

et l’équation de la surface prendra la forme

3^6 GÉOMÉTRIR ANALYTIQUE.

Les points où la surface est percée par les axes sont ses sommets (en ces points le plan langent mené à la surface est perpendiculaire à l’axe); les portions d’axes qu’elle intercepte sont les longueurs de ses axes. L’ellipsoïde a donc six sommets et trois axes réels dont les longueurs sont ;

AA' = ?.a, BB' = 26, CC'=2c (^g-, i5i).

Les trois plans coordonnés sont les trois plans principaux de la surface. Les sections principales correspondantes sont les ellipses

qui ont respectivement pour axes les axes la et ■xb, 2a et 2 c, 26 et 2c, de la surface.

Si l’on coupe la surface par un plan z=d, l’équation de la courbe d’intersection est, dans le plan sécant,

Cette courbe est une ellipse dont les axes sont

Cette ellipse se confond d’abord avec la section principale faite par le plan des xy, lorsqu’on suppose d = o, diminue d’une manière continue à mesure que d augmente, et se réduit à un point pour d=c. Au delà, elle devient imaginaire. On peut donc regarder l’ellipsoïde, surface évidemment fermée dans tous les sens, comme engendrée par le mouvement d’une ellipse dont le plan reste parallèle au plan des xy, dont le centre trace l’axe des z, et dont les axes varient d’une manière convenable depuis la et 2Ù jusqu’à zéro, tout en présentant constamment le rapport ^ (257).

Lorsque les trois axes 2«, 2A, 2c, sont inégaux, l’ellipsoïde est dit à trois axes inégaux.

Lorsque deux des axes sont égaux, on obtient un ellipsoïde qui est de révolution autour du troisième axe. En effet, supposons a — b. Il viendra pour équations de la section faite parallèlement au plan des xy à la distance d.

(xlle section sera donc une circonférence de cercle ajanl son centre sur l’axe des z. L’équation de la courbe méridienne dans le plan des xz sera l’ellipse

Si les trois axes in, la sphère

ib, 2c, sont égaux, l’ellipsoïde devient ar' = a’.

2“ HYPERBOLO'iDE A USE NAHl’E.

374. Supposons dans l’équation (II) les coefficients P et P' positifs, et le coefficient P" négatif. Si nous faisons successivement dans l’équation de la surface

7^ = 0 et Z = O, a: = O et s = O, x = o et 7' = o,

nous trouverons pour les coordonnées des points où la surface coupe les axes

ar=± y/| = ±«,

/ = = ; ■ z==±\J^. = ±ci.

Nous en déduirons

et l’équation de la surface prendra la forme

Les points où la surface est percée par les axes sont ses > sommets; les portions d’axes qu’elle intercepte sont les longueurs de ses axes; l’hjperboloïde à une nappe a donc quatre sommets et trois axes dont deux sont réels et un imaginaire. Les longueurs de ces axes sont AA' = 2a, BB'= 2Ù, CC'= 2c {fg. 162).

I..es trois plans coordonnés sont les trois plans principaux de la surface. Les sections principales correspondantes sont.

358 «ÉOMÉTRIE *«A1\TIQUE.

dans le plan des xjr, l’ellipse

dont les axes sont 2a et 26; dans le plan des xz et dans le plan des /Z, les hyperboles

dont les axes sont 2a et 2c, 26 et 2c.

Si l’on coupe la surface par un plan z — d, parallèle au plan des axes réels, Téquation de la courbe d’intersection est dans le plan sécant

rt’ F ~

Cette courbe est une ellipse dont les axes sont

et 26

Cette ellipse se confond d’abord avec la section principale faite par le plan des ay, lorsqu’on suppose d = o, augmente d’une manière continue à mesure que d augmente, et devient infinie pour rf=Qo. On peut donc regarder l’hyperboloïde à une nappe, surface évidemment formée d’une seule nappe continue s’étendant à l’infini dans tous les sens, comme engendrée par le mouvement d’une ellipse dont le plan reste parallèle au plan des deux axes réels, dont le centre décrit l’axe imaginaire, et dont les axes varient d’une manière convenable depuis 2a et 2b jusqu’à l’infini, en présentant constamment

le rapport La section principale dans le plan des deux axes

réels porte le nom A' ellipse de gorge.

Lorsque les axes réels 2a et 26 sont égaux, on obtient un hyperboloïde à une nappe qui est de révolution autour de l’axe imaginaire. En effet, les équations de la section faite parallèlement au plan des xy à la distance d, sont

Celle seclion sera donc une circonférence de cercle ayant son eentre sur l’axe des z. La courbe méridienne dans le plan des rz sera l’hyperbole ,

Digitizcd by Goo^Ic^ j

3° HYPERBOLOÏDE A DEUX NAPPER.

375. Supposons dans l’équalion (II) le coefTicienl P positif ei les deux coefficients P' et P" négatifs. Si nous faisons successivement, dans l’équation de la surface, ^ = o et z = o, x = o et 2 = O, X = O et O, nous trouverons pour les coordonnées des points où la surface coupe les axes

Nous en déduirons

et l’équation de la surface prendra la forme

L’hyperboloïde à deux nappes a donc deux sommets et trois axes, dont un réel et deux imaginaires. Les longueurs de ces' axes sont W' =2a, BB'=2f>, CC ='2c {Jig. i53).

Les trois plans coordonnés sont les trois plans principaux de la surface. Dans le plan des yz, la surface n’a aucun point réel. Les sections principales dans le plan des xy et dans celui des xz sont les hyperboles

— I et

dont les axes sont 2 a et 26, 2 a et 2 e.

Si l’on coupe la surface par un plan x = d parallèle au plan des axes imaginaires, l’équation de la courbe d’intersection sera dans le plan sécant

C’est l’équation d*une ellipse dont les axes sont

36o GÉOMÉTRIE ANAETTIQEE.

Celle ellipse reste imaginaire lani que d' est plus petit que d‘. Pour (/’ = «’, elle devient un point, puis augmente d’une manière continue jusqu’à l’infini à mesure que d croit depuis a jusqu’à oo ou décroît depuis — a jusqu’à — oo . On peut donc regarder l’hyperboloïde à deux nappes comme engendré par une ellipse dont le plan reste parallèle au plan des deux axes imaginaires, dont le centre décrit l’axe réel, et dont les axes varient d’une manière convenable depuis zéro jusqu’à

l’infini, en présentant constamment le rapport

On voit que l’hyperboloïde à deux nappes est formé de deux nappes coniinueSv s’étendant à l’infini dans deux sens opposés, et séparées par un intervalle où il n’existe aucun point de la surface.

Lorsque les axes imaginaires nb et ac sont égaux, l’hyperboloïde est de révolution autour de l’axe réel. En effet, les équations de la section faite parallèlement au plan des yz à la distance d sont

x = d, y'^ -y lé — 1^.

Celte section est donc une circonférence de cercle ayant son centre sur l’axe des x. La courbe méridienne dans le plan des xz est l’hyperbole

4“ CÏU.XÜRES ELLH’TIQCK ET IlYrERBOLIQL’E.

37(5. Supposons nul dans l’équation (H) le coefficient P". Il viendra

Px’H-P'r’=IL

C’est l’équation d’un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l’axe des z (290). Si P et P' sont de même signe, la trace de ce cylindre sur le plan des xy est une ellipse; dans le cas contraire, c’est une hyperbole.

Lorsque la trace d’un cylindre elliptique sur le plan des xy se réduit à un point (dans le cas de R = o), le cylindre se réduit à une droite qui est ici l’axe des z.

Lorsque la trace d’un cylindre hyperbolique sur le plan des xy se réduit à deux droites qui se coupent (dans le cas de R = o), le cylindre se réduit à deux plans qui se coupent; l’intersection de ces plans est ici l’axe des z..

Les cylindres représentés par l’équation

Pæt’-4-P'/’= R

GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE. '66 1

ont une infinité de centres distribués sur l’axe des z (c'est-àdire suivant une même droite) (300).

Si l’on a dans l’équation (II) P" = o et P' = o, il vient

Px’= R.

Cette équation représente deux plans parallèles au plan des et menés à égale distance de ce plan, qui se réduisent au plan des si R = o, et deviennent imaginaires lorsque P et R n’ont pas le même signe. •

La surface admet alors une infinité de centres distribués dans un même plan (qui est ici le plan des ^z) (300).