Les axes étant rectangulaires, considérons l’équation
(III) P'j^’’-I- P*'.z’ -i- aQx = O.
On peut toujours supposer P' positif et Q négatif. En effet, si P' était négatif, on n’aurait qu’à changer les signes de tous les termes; et si Q était alors positif, on le rendrait négatif en changeant le sens des x positifs. Les cas à distinguer se réduiront donc aux suivants ;
. i“ Le coefficient V" peut être positif comme le coefficient P';
iiÔl GÉOMÊTKiE ANALYTIQUE.
2“ Le coefficient P" peut être négatif;
3“ L’un des coefficients P', P", peut être nul.
1“ paraboloïde elliptique.
379. Les deux coefficients P', P", étant positifs, et le coefficient Q négatif dans l’équation (III), la surface ne coupera les trois axes qu’à l’origine qui sera alors son sommet. , Les plans des xy et des xz sont des plans principaux, et leur intersection Ox est l’axe du paraboloïde. Les droites parallèles à l’axe ne percent la surface qu’en un point, et tous ses plans diamétraux sont parallèles à cet axe.
Les sections principales qui correspondent aux plans des xy et des xz sont les paraboles
P'r' -+- aQa: = O et P"a’ -|- aQj? = o.
Posons les paramètres
aQ
On en déduira
= xp'
et l’équation de la surface deviendra (P.E)
^ H -, = ix.
Si l’on coupe la surface {Jig. t54) par un plan x = d parallèle au plan des yz au delà duquel la surface ne présente aucun point réel, l’équation de la courbe d’intersection sera dans le plan sécant
C’est l’équation d’une ellipse dont les axes sont
s/ipd et ^ip'd-
Celte ellipse n’est réelle que si d est positif. Pour d = o, elle se réduit à l’origine, puis elle augmente d’une manière continue jusqu’à l’infini, à mesure que d croit depuis o jusqu’à cc . On peut donc regarder le paraboloïde elliptique, surface évidemment formée d’une seule nappe continue s’étendant à l’infini dans un seul sens, comme engendrée par le mouvenfw>nt d’une ellipse dont le plan reste parallèle au plan dc.s j-,
céOMÉTIUE AHALYTIQUE. 363
dont le centre décrit l’axe des x, et dont les axes varient d’une manière convenable depuis o jusqu’à oo , en présentant
constamment le rapport
Lorsque les paramètres zp et ip' des paraboles principales sont égaux, on obtient un paraboloïde qui est de révolution autour de l’axe Ox. En effet, il vient alors pour équations de la section faite parallèlement au plan des j-z à la distance d
. X — d, j-’-hz^=2pd.
Cette section sera donc une circonférence de cercle ayant son centre sur l’axe des x. La courbe méridienne dans le plan des xz sera la parabole
2^ = 2 px.
