PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE

380. Le coefflcient P' étant positif et les deux coefficients P" et Q étant négatifs dans l’équation (111), la surface ne coupe aussi les trois axes qu’à l’origine, sommet de la surface.

Les plans des xy et des xz sont des plans principaux, et l’axe Ox est l’axe du paraboloïde. Les droites parallèles à l’axe 0.r ne percent la surface qu’en un point, et tous ses plans diamétraux sont parallèles à cet axe.

Les sections principales qui correspondent aux plans des xy et des xz sont les paraboles ijig- i55)

P'j’-f-2Qx = 0 Cl P"z’-f-2Qx = o.

Posons les paramètres

— = — pF= —

On en déduira

cl l’équation de la surface deviendra

Si l’on coupe la surface par un plan x=t/, l’équation de la courbe d’intersection sera dans le plan sécant

364 GÉUMÉTniE ANALYTIQUE.

C’est l’équation d’une hyperbole dont les axes sont

^9.pd et sjzp'd-

Lorsque d est positif, l’axe transverse de cette hyperbole est dirigé suivant l’axe des y et l’axe imaginaire suivant l’axe des z; c’est Vinverse, lorsque d est négatif. Pour d — u, cette hyperbole se réduit à deux droites, puis elle varie d’une manière continue à mesure que d croit de o à oo ou décroît de O à — X . On peut donc regarder le paraboloïde hyperbolique, surface évidemment formée d’une seule nappe continue qui s’étend à l’inlini dans tous les sens, comme engendrée par le mouvement d’une hyperbole dont le plan reste parallèle au plan des rZidonl le centre décrit l’axe de la surface, et dont les axes varient d’une manière convenable depuis o jusqu’à x , en présentant constamment le rapport

Les hyperboles situées à gauche du plan des yz sont ainsi les hyperboles conjuguées de celles situées à droite de ce plan, et la courbure de la surface dirigée dans l’une des régions suivant l’axe des j est dirigée dans l’autre suivant l’axe des z. Les deux droites

suivant lesquelles le plan des yz coupe la surface, sont les projections communes sur ce même plan des asymptotes de toutes les hyperboles génératrices; c’est-à-dire que ces asymptotes sont toutes situées dans les deux plans représentés par l’équation ( i ).

Nota. — Si l’on supposait, dans ce qui précède (379, 380), 0 = o, on aurait l’équation

Cette équation représenterait l’axe des x ou deux plans sé^ cants Suivant cet axe [cas déjà examinés (376)].