DE QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DBS SURFACES DU SECOND ORDRE

Des diamètres dans les surfaces du second degré.

383. Prenons l’équation générale des surfaces à centre (II) P.r’-I-P'j^-l-P"j’=R.

L’équation d’un plan diamétral sera (361 )

P -1- P'r« -|- P”z = O, en représentant par les équations

( X = mz,

) )■ = nz,

la droite ronjuguée à ce plan diamétral, qui passe par le centre de la surfac.e.

Cherchons l’intersection <le la surface par un plan parallèle au plan diamétral .^'équation de ce plan sera de la forme (315)

(i) Vxm -\-Ÿ‘yn-\-Ÿ’z-^d — O.

L’équation de la projection de la courbe d’intersection sur le plan de* xy s’obtiendra on éliminant z entre les équations (II) et^i) : cette équa- tion sera

( PP» 4- P Vi’ ) x’ -f- (P' P" + P'* /î’ jr” + 2 PP' mnxy -t- aPf/i«x+ •xVilny-yd'^ — P"R =f[x, y) = o.

Comme les coeflicients des termes du second degré y sont indépendants de d, on voit que les sections faites dans une surface du second degré par des plans parallèles sont des courbes semblables et semblablement placées (259). »■ .. i -

Dé plus, le centre de la projection de la courbe de l’espace étant la projection du contre de cette courbe, les coordonnées de ce centre satisfe- , ront à l’équation du plan sécant et aux équations = o, f'^=zo\ c’est

à-dire au système

Pmx-|-P'/îy-|-P"z-1- rf= O,

(PP"+ PVw’jx-f PP'w/Jj 4- Prf/w = O,

( P’ P" y-r^n'‘]y + Vrmnx + V'dn = o.

Donc, en éliminant d entre ces trois équations, on aura le lieu des rentres des sections parallèles. On trouve ainsi, en substituant dans les deux dernières équations la valeur de d déduite de la première ,

PP"x - Wmz = o,

c’est-à-dire

l .JT = mz.

I y = nz.

Le lieu cherché est donc précisément la droite passant par le centre, qui est conjuguée au plan diamétral parallèle à la direction des sections, ou le diamètre de la surface conjugué à ce plan diamétral ou à celte direction.

Les diamètres qui correspondent dans les surfaces à centre à trois plans diamétraux conjugués (371), sont des diamètres conjugués delà surface; et ces diamètres considérés deux à deux déterminent leurs plans diamé- ' traux conjugués.

Toutes les droites qui passent par le centre de la surface sont des diamètres. On peut donc encore définir les diamètres d’une surface du second degré en disant que ce sont les intersections des plans diamétraux.

L’intersection de deux plans principaux est un axe de la surface : les points où un axe perce la surface en sont des sommets, pourvu que les plans tangents en ces points soient perpendiculaires à l’axe.