Dan.s les surfaces rfcniw’c.ç rfc cc/jfre

(lll)

P'')"+ PV-f- 2Q.r = o,

géométhie analytique.

l’équation générale des plans diamétraux est

, ■ Q//i4-Py/j4-P"z= o;

c’est-à-diro que tous ces plans sont parallèles à Paxe des x (363). Un diamètre est encore le lieu des centres des sections semblables et semblablement placées déterminées dans la surface par des plans parallèles, et fous les diamètres de la surface sont parallèles à l'axe des x; les diamètres sont donc encore les intersections des plans diamétraux. On le démontrera comme il suit.

Soit un plan

( a ) X = ajr + bz d.

L’équation de la projection de la courbe d’intersection de ce plan et de la surface (III) sur le plan des yz s’obtiendra en éliminant x entre les équations (III) et (a). Cette équation étant

. . P'^’-hPV+aQflj--4- aQAz + aQrf = O,

les coordonnées du centre de, la courbe obtenue devront satisfaire aux relations , '

V'X+ Qa = 0,

V“z + Qh = o; '

et ces relations (indépendantes de </ et de x) montrent que le lieu des centres des sections parallèles au plan (a) est bien une droite parallèle à l’axe Ox (*).

385. Il est facile de démontrer que, dans les surfaces à centre, fe plan tangent mené à la surface par l’extrémité d'un diamètre est parallèle nu plan diamétral conjugué h, ce diamètre'.

En effet, soient (x,, j, , z,) les coordonnées du point de contact. Con-, sidérons l’équation

Px’+P'j»+PV= R

des surfaces à centre. Les équations du diamètre passant par le point ^ ( X, , 7, , Z, ) de la surface seront

Le plan diamétral conjugué à ce diamètre aura donc pour équation ( 361 Pxx,+ P'j^-, + P"zz, = O.

Quant au plan tangent mené à la surface par le point (x, , j, , z, ), son

Le plan diâmétrnl conjugue à un (Uamôtrc se transporte ici à rinfini ; en d 'antres. termes, J 1 n’y a pas iHamctral pour les cordes parallèles à

^ Taxe P a;, lesquelles ne percent la surface qu’en un point.

Lorsque le pfan sécant est parallèle à Taxe Ox, on obtient des sections para~.

(416. 420), et alors le lieu des centres ou le diamètre se transporte lui-m^O à rinfini i cela tient à ce que le plan sécant est liti'*mèmo dans ce cas un plah diamétral.

équation est

l'.ÉOMÉTRlE AK ALYTIQIF-.

Px, (X - X, ) + P'/. (.) - J, ) + Vz, (z-z,) = o ou

(T) Pxx,'+P>r.+P"M, = R,

on vertu de la condition

Px; + pv; 4- P’z; = R.

Le théorème est donc démontré (315) pour les surfaces à centre.

386. Dans les surfaces dénuées de centre, le plan diamétral conjugué à un diamètre se transportant à l’infini (38i), il faut modifier l’énoncé de ce théorème.

Prenons l’équation

(III) Py+PV+siQx = o

des surfaces dénuées de centre. Le plan tangent au point (x,, r,, s,) aura pour équation

Q(x-x,)4-P'r,(v-j,)+P"z,(s-3,) = o ou ' *

(T') PVr-, + P"3ï,+ Q(x4-x,) = O,

en vertu de la condition .

P'> ] + P"î5 -P aQx, = O.

D’ailleurs, tout plan diamétral mené par le diamètre qui passe au point (X| , , , Z, ) aura pour équation

Qni 4- P'«v4-P”z = O,

en désignant par m et n les coefficients qui déterminent la direction dos cordes qui lui sont conjuguées. La relation

sera donc satisfaite; et elle exprime précisément la condition pour que te plan tangent (T') et le système de cordes conjuguées au plan diamétral considéré soient parallèles (323).

On peut donc dire que, dans les surfaces dénuées de centre, te plan tangent mené à ta surface par Pextrémité d'un diamètiv, est parallèle à toutes les eordes conjuguées aux différents plans diamétraux <pii passent par ce diamètre.

Conditions pour qu'une surface du second degré ' soit de révolution.

387. D’après ce qui précède, une surface du second degré ne devient de révolution qu'autant que deux des coefficients de l’cfiuation la pliis simple delà s\u face considérée deviennent og/'wx.

GÉOMÉTRIE analytique. 36g

Ainsi Vcllifjsoûle est de révolution autour de l’axe des * lorsqu’on a a = b ou P = P' (373); de même P hyperboloïde à une nappe, lorsqu’on a a = b ou V — V ['ili).'Vlirpcrboloïde à deujc nappes est de révolution autour de l’axe des x, lorsqu’on a i = c ou P'=P'' (37S); de mémo le paraboloïde elliptique, lorsqu’on Bl p=p' o\x P'=P’ (379). Lorsque les trois coeflicienls P, P', P" sont égaux, on obtient la sphère (373).

Lorsque la surface du second degré proposée est de révolution, Cèqiuttion en i'.(364, 369) admet donc deux ou trois racines égales.

Une surface de révolution admet évidemment une infinité de plans principaux, tous les plans qui passent par son axe étant des plans principaux (367).

388. Cherchons les conditions nécessaires pour que l’équation générale du second degré représente une surface de révolution. Nous pourrions faire -usage de la remarque qne l’équation en s doit présenter dçux < racines égales; mais il est plus simple de procéder comme il suit.

Si l’équation

IA-r’-t- Cz’-t-aDxj -t-aEj^z-f-aF/'z -t- aGx -P aH/-|- aKz -+- L = O, ou F(x,jr, a) = o,

représente une surface de révolution, toute sphère

(a) (x— a)’4-(7— P)’-t-(z — 7)’= R’ ou ç{x, /,z) = o,

dont le centre (a, p, 7) appartiendra à son axe, la ooupera suivant deux parallèles communs aux deux surfaces.

\ étant un coefTicient arbitraire, l'équation

représentera une surface qui passera par tous le» points communs aux ^ deux surfaces considérées; et l’on peut déterminer \ par la condition que cette surface soit précisément l’ensemble des deux plans qui correspondent aux parallèles communs.

L’équation (3) peut s’écrire

(A -l->)x’-l- (B-f-^)j^-t- (C-f-^)z’-t- aDxj-l- aExz aF rz -|-a(G — Xa)x -f- a( H — Xp)/-|- a(K — V/)z + L-t-M“’+p’-t-7’-R’) = o.

Prenons les dérivées partielles de son premier membre, et égalons-les à zéro. Il viendra (en divisant par a)

I( A ^ ) .r Dj' --f- E Z -f- G — Xx = O,

(B -4-^)^ -t-Dx-|-Fz-l-H — ip=ro,

( C ^ ) Z -f- Ex" F^*‘ 4- K ^ ^7 “ O.

Si l’équation (3) représente on effet l’ensemble de deux plans parallèles, les trois équations dérivées (4) devront représenter un seul et même plan, lieu des centres de la surface obtenue (376). On aura donc, en III. a/l

3^0 GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE

identifiant ces équations, les conditions

On en déduit

I) en résulte

et par suite

car la valeur de i doit rester la môme et être différente de zéro. ' On peut aussi écrire

(7) F{G-^a)=E(Il-').p) = D(K-i7), / V;

équations de Faxe de la surface de révolution, puisque a, P, 7 représentent les coordonnées d’un point quelconque de cet axe.

Les relations (6) expriment les conditions cherchées.

389. Remarques. — \. Si l’on avait seulement D = o, les équations (6) ne pourraient être satisfaites. Donc, lorsqtàil ne manque qu'un seul rectangle dans Féquation générale du second degré, la surface ne peut etre de révolution.