II. Si l’on a
les équations (6) semblent satisfaites; mais si l’on élimine le rapport indéterminé Rentre les deux dernières équations (5), il vient
D’ailleurs la première équation (5) donne alors
Par suite, la condition unique pour que la surface soit de révolution est la suivante
GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE. 37»
On a d’aillcura
F(G — )æ) = o ou a =r —
Vaxe est donc parallèle an plan des yz. En remplaçant le rapport £ par sa valeur, on aura
= ou F(H-/P) = (B-A)(K-)7),
pour équation de la projection de l’axe sur le plan des yz. m. Enfin,' si l’on a
les équations (G) semblent satisfaites; mais la relation . .. P=(B4-X)(C + X),
trouvée dans le cas précédent, donne alors
c’est-à-dire
Donc, dans le cas où les trois produits des variables manquent, pour que la surface soit de révolution, il faut que les coefficients de deux des carrés des variables soient égaux.
Quant à l'axe, d’après la forme affectée alors par l’équation (i), il est parallèle à l’axe des x, et ses équations sont
. H-Xp = o, K — ).7 = o ou P= — V=—
Intersection de deux surfaces dn second degré.
390. Lorsque deux surfaces du second degré sont semblables, elles se coupent suivant une seule courbe toujours plane.
En effet, les coefficients des termes du second degré étant proportionnels (3S7 ), on peut mettre les équations des deux surfaces sous la forme
(1) Ax’-hB/’-f-Cz’ -f-Dx/-|-Ex3-)-Fjz-l-Ga:-t-H)''-|-Kz-l-L = o,
(2) Aj:’-(-B7’+Cs’-|-Dx/-f-Ej;2-t-F/2-)-g’^ + Ay + /a+ /=o.
Si on retranche ces équations, on obtient l’équation d’une surface qui passe par tous les points d’intersection dés deux premières; et cette surface est le plan
391 . Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sc coupent suivant une courbe plane, elles présentent en général une seconde intersection qui est également plane. C’est co qu’on exprime ordinairement en disant ; Lorsque la courbe {Centrée de cleiex surfaces du second ordre Cune dans Vautre est plane, la courbe de sortie C est aussi.
Zji GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
On peut prendre le plan de la première section pour plan des xy. En faisant alors z = o dans les équations des deux surfaces, on devra trouver des résultats identiques. Si les équations des deux surfaces sont . '
(i) Aj:’-l-B7’-+-Cz’-+-Dxr+Exz-l-Fjz-HGx-t-Hj+Kz-l-L = o, (a) A'x’+Blr’-^GV-l-D’x/-l-E'xB-HF'7z-+-G'x-t-H>-t-K'z-i-L'= O,
on pourra donc poser
Retranchons alors les équations (i) et (a) après avoir multiplié la seconde par ft. 11 viendra, eu égard aux conditions (3),
(4) (C — C'ft)z’-1-(E — E»xz-+-(F — F'(i)jz-+-(K — K'(i)z = o.
' L’équation { 4 ) représente une surface qui passe par les points d’intersection des surfaces (i) et (a). Cette surface se compose évidemment de deux plans, dont l’un est le p\an des x/ qui correspond à z = o. Le théorème est donc démontré.
Remarque, ~ Si les deux surfaces étaient semblables, on aurait aussi i357)
CEF C' ~ E' ~ F' ~
Le second plan
(C-CV)z+(E-E»x-HtF-F»j+K-K>=o
sè transporterait donc à l’inBni; et il n’y aurait qu’une seule ligne d’intersection plane (390) .
La courbe de sortie peut d’ailleurs être imaginaire.
il peut arriver aussi que l’équation du second plan se réduise à
(C — C'p)z=o ou à z = o.
Dans ce cas, les deux surfaces ne se coupent pas, mais se touchent ou sont circonscrites l’une à l’autre suivant la courbe unique située dans le , plan des xjr.
392. Lorsque deux surfaces du second ordre ont un même plan prin- ^cipal, leur intersection se projette sur ce plan principal suivant une courbe du second degré.
Prenons le plan principal commun pour plan des xj; les équations des deux surfaces seront évidemment de la forme
Axi-i- B/’ -t-Cz’ -+■ Dxj 4-Gx-l-H/ -1- L = o, A'x’-j-B>’-t- C'z^+D'xy+G'x + ïiy+V = o.
Retranchons ces équations membre à membre, après avoir multiplié la première par C' et la seconde par C. L’équation obtenue pourra être prise
GÉOMÉTniB ANALYTIQUE. 373
pour l’une des équations de l'intersection des deux surfaces; et elle sera du second degré en x et en ce qui vérifie l’énoncé.
En général, les courbes à double courbure, intersections de deux surfaces du second ordre, se projettent suivant des courbes qui sont du quatrième degré [Alg. élém., 211 ).
