PROPRIÉTÉS DE L’ELLIPSOÏDE

. 393. L’équation de l'élipsoïde rapporté à ses axes étant (373)

cherchons la nature des sections planes de la surface.

' Ces sections seront toujours des courbes du second de^ gré (327). D’ailleurs la projection d’une courbe du second degré sur un plan ne peut être qu’une courbe du second degré de même espèce.

En effet , le cylindre projetant cette courbe est lui-méme un cylindre du second degré , c’est-à-dire qu’il est coupé par un plan non parallèle aux génératrices suivant une courbe du second degré. Or, si la courbe de l’espace est elliptique ou fermée, la courbe projetée sera fermée ou elliptique. Si la courbe de l’espace est une parabole , la courbe projetée s’étendra à l’infini dans un seul sens et sera une parabole. Si la courbe de l’espace est une hyperbole, la courbe projetée s’étendra à l’infini dans deux sens différents et sera une hyperbole. ’

Ceci posé, coupons l’ellipsoïde (E) par le plan quelconque

' z = ex-\-fy->r g.

On obtiendra l’équation de la projection de la section sur le plan des xy, en éliminant z entre l’équation (E) et celle du plan considéré. 11 viendra

La quantité B’ — ^S.0, est ici

c’esl-à-dlre essentiellemenl négative. On en conclut que toutes les sections planes de l’ellipsoïde sont des ellipses.

394. Cherchons si, parmi ces sections elliptiques, il en est (le circulaires.

Nous aurons recours à la méthode générale indiquée précédemment (299). Les formules de transformation à employer seront

ar = a:'cos<p — y'sinçcosô,

yz= ar' sin 9 -Hy' COS9 cos 9, /

Z =r->ry' sin B.

Il faut se rappeler que 0 correspond à l’angle formé par le plan sécant avec le plan xOy, et 9 à l’angle formé par l’intersection de ces deux plans avec l’axe Ox.

Les trois axes de l’ellipsoïde étant supposés inégaux, nous regarderons a a comme le grand axe, 26 comme Y axe moyen,