rsin Oy'-hr’ — i = o
Pour que la section soit circulaire, on doit donc satisfaire aux deux conditions
cos» 9 , sin» 9 sin» 9 cos» 0 , cos’ 9 cos» 0 , sin»0
sin 9 cos 9 cos 0 sin 9 cos 9 cos 0 ’ '
La seconde revient à
*(a» — A») sin 9 cos 9 cos 0 = 0.
Puisqu’on a a>- A, elle conduit donc à
9 = 0 ou à 9 = 90" ou h 0 = 90“.
Digilized by (ji
Suivant l’hypothèse adoptée, la première relation donne alors
I cos’ 0
sin’0
ntl
sin’ 0 =
I cos’ 0
sin*0
ou
sin’ 0 =
cos’ 9
sin*
sin’ 9 =
c’(è’ — fl’) — c’)’
‘ On ne peut pas supposer <f — o, puisqu’on trouve dans ce cas pour sin’ 9 une valeur négative. On ne peut pas supposer 0=90®, la valeur correspondante de sin’tp étant plus grande que i. Il faut donc s’arrêter à l’hypothèse 9 = 90® qui conduit à une valeur positive et moindre que l’unité pour sin* 0.
Comme r n’entre pour rien dans le calcul précédent, on voit que la double valeur de 0 donnée par la relation {1) fournira deux séries de plans parallèles qui détermineront dans V ellipsoïde des sections circulaires.
Ces deux séries , symétriques par rapport au plan des xy, sont d’ailleurs parallèles à l’axe moyeii de la surface ou perpendiculaires au plan des xz, d’après la condition 9 = 90®, De
sin*0
on déduit facilement
Par suite, les équations des plans des deux sections circulaires passant par le centre seront
Si l’on supppse a — b, ces deux plans se confondent avec le plan des xy; et en effet, l’ellipsoïde devient de révolution autour de l’axe des z.
Remarque. — On peut facilement retrouver ces résultats par la géométrie , en remarquant que lorsque le plan sécant passe par l’axe moyen de la surface, la section elliptique obtenue dont le centre se confond avec celui de la surface , a pour axes cet axe moyen et le diamètre suivant lequel le plan sécant coupe le plan du grand axe et du petit axe. Ce diamètre appartenant à la section principale correspondante, peut varier depuis le petit axe jusqu’au grand axe, et, par consé-
376 GÉOMÉTUIE ÀNÀLYTIQLE.
quent, devenir égal à l’axe moyen. On n’aura donc qu'à couper l’ellipse (■2 a, 2c) par un arc décrit du centre avec le rayon 6, pour retrouver graphiquement les directions précédentes.
395. Le plan tangent en un point (x,,y„z,), de l’ellipsoïde a pour équation (34-6)
arar, r.y> ’
Le diamètre qui passe au point {x, , y, , z, ) a pour équations
X, Xi Z,
Le plan diamétral conjugué à ce diamètre aura donc à son tour pour équation
, .TT' a’ 6’
Ce plan sera par suite, comme nous l’avons déjà dit (385), parallèle au plan tangent mené à la surface par l’cxtré- , mité {x,,Xi, Zi) du diamètre.
On peut se proposer de mener à l’ellipsoïde un plan tangent parallèle à un plan donné ou passant par une droite donnée ou un point donné. Nous ne nous arrêterons pas à ces
questions. . .
396. Nous avons déjà vu (371) qu’on pouvait rapporter les surfaces à centre à une infinité de systèmes d’axes obliques, pour lesquels leur équation conservait la forme de l'équation aux axes. Dans ce cas, les axes coordonnés constituent un système de diamètres conjugués de la surface, et les plans coordonnés sont des plans diamétraux conjugués. En désignant par aa', 2 à', ac', les longueurs interceptées par la surface sur ses axes obliques, c’est-à-dire les longueurs de ses diamètres conjugués, son équation sera donc
En la mettant sous cette forme, on peut facilement vérlQer que les sections déterminées dans la surface par des plans parallèles sont des courbes semblables et semblablement placées (383).
De plus, on voit que les propriétés de l’ellipsoïde qui ne dépendent que des axes principaux aa, aà, ac, seront exprimées de la même manière en fonction des axes obliques, 2 a', 2 6', 2 ü'.
GÉOMÉTRIE AK&LYTIQVE. 877
397. Dans l'ellipsoïde, la somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante et égale à la somme des carrés des axes principaux.
Soient deux systèmes de diamètres conjugués aa', 26', ■xc’, et 2rt", ?.è", 2c*. Désignons par 20" le diamètre suivant lequel se coupent les plans (2<x', -xb') e\.[xa" , 2b"), et par xb'" et 2c" les diamètres conjugués respectifs de 2a'" dans ces deux plans.
D’après la géométrie à deux dimensions (153), le système (2a', 2b’, 2c') présente la même somme de carrés que le système {2 a'", 2 b"', 2c'); en effet, «"et è'" étant (Tes diamètres conjugués dans le plan (2 a', 2b'), on a a'’ -I- è'’ = fl"’ è'"’.
Le système (2a", 26", 2c") présente à son- tour la même, somme de carrés que le système (2fl'", 2b", 2c'").
Mais les deux systèmes (2a'", 26"', 2c') et, (2a'", 26", ac") contenant un diamètre commun 2«"', les deux autres diamètres qui lui sont conjugués dans chaque système sont dans un même plan <jui est le plan diamétral correspondant au diamètre commun (383). Dès lors ces deux systèmes présentent des sommes de carrés identiques, et il est démontré qu’il en est de même pour les systèmes proposés. L’un des systèmes choisis pouvant être celui des axes, on aura donc
fl'’ ■+■ b'^ c" = fl’ 6’ -1- c’.
398. Dans l’ellipsoïde , le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués est constant et égal au volume du parallélipipède rectangle construit sur les axes. ^
En cffeti en se reportantau numéro précédent, les deuxparallélipipèdes (2a', 26', 2c'), (2a'", 26"', 2c’), sont équivalents comme ayant des bases équivalentes (136) et même hauteur. Il en seraMe même des deux parallélipipèdes (2a", 2b", 2c") et (2fl"', 2b", 2c"'). Donc, les deux parallélipipèdes (2 a", 26", 2c') et (2 fl", 2 b", 2c") étant à leur tour équivalents, puisque les diamètres 26"' et 2(/, 2b" et 2c", sont respectivement conjugués dans le même plan , on en conclura l’équivalence des volumes des parallélipipèdes (2a', 26', 2c'), (2a", 2b", 2c"). El, comme l’un des systèmes choisis peut être celui des axes, on aura (en désignant par V le volume du parallélipipède construit sur les trois diamètres conjugués quelconques 2a', 26', 2d), [Trig., 86),
\ = 8abc. - . .
Les parallélipipèdes ainsi construits sur trois diamètres conjugués sont circonscrits à la surface (385).
Dkiiii- . G<îOgl(
