CHAPITRE V

PROPRIÉTÉS DKS DEUX HYPERBOLOIDES. ■

Hyperboloïde à une nappe.

399. L’équaliop de l’hyperboloïde à une nappe rapporte à ses axes étant (374)

cherchons la nature des sections planes de la surface. Coupons-la par un plan quelconque > ■

zz=ex-^fy-{-g.

On obtiendra l’équation de la projection de la section sur le plan des xy, en éliminant z entre l’équation (II,) et celle du plan considéré. Il viendra

La quantité B’ — est ici

Cette quantité peut évidemment être négative, positive ou nulle. On en conclut qu’tm peut, en coupant par un plan un hyperboloïile à une nappe, obtenir les trois courbes du second degré.

400. Supposons que les axes de l’hyperboloïde rangés par ordre de grandeur soient 2c, 2a, 26 (en regardant toujours l’axe imaginaire comme le plus petit). On démontrera, en suivant la même marche que pour l’ellipsoïde, qu’on peut obtenir deux séries de sections circulaires parallèles au plus grand axe réel ou perpendiculaires au plan des deux autres axes et symétriques par rapport au plan des xy.

En se reportant au n“ 394, on aura pour ces sections

et les équations des plans des deux sections circulaires pas-

sant par le centre seront

Si l’on suppose a = b, ces deux plans se confondent avec le plan des xy. En effet, l’hyperboloïde devient de révolution autour de l’axe imaginaire.

Remarque. — On peut facilément retrouver ces résultats par la Géométrie. Remarquons que lorsque le plan sécant qui passe par le plus grand des deux axes réels de la surface, la coupe suivant une section elliptique dont le centre se confond avec celui de la surface, cette ellipse a pour axes le plus grand des deux axes réels et le diamètre suivant lequel le plan sécant coupe le plan des deux autres axes de la surface. Ce diamètre appartenant à la section principale correspondante, peut varier depuis le plus petit axe réel jusqu’à l’infini, et, par conséquent, devenir égal au plus grand axe réel. On n’aura donc qu’à couper l’hyperbole {ia, ac) par un arc décrit du centre avec le rayon b, pour retrouver graphiquement les directions précédentes.

401. Le plan tangent mené en un point (a:,, y,, z, ) de l’hyperboloïde à une nappe a pour équation

Ce plan est parallèle au plan diamétral conjugué au diamètre . qui passe par le point de contact.

L’équation de l’hyperboloïde à une nappe rapporté à un système de diamètres conjugués dont les longueurs sont ao', ib', 2c', est

On a d’ailleurs, entre ces diamètres conjugués et les axes, les relations constantes (397, 398)

V = 8 abc.

V est le volume du parallélipipède oblique construit sur les trois diamètres conjugués considérés.

402. Considérons à la fois l’hyperboloide à une nappe et le cône qu’on obtient (377) en réduisant à zéro le second mem-

38o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

bre de l’équation (H,). Des deux équations

on déduit, en désignant par Z et z ies ordonnées du cône et de i’hyperboioïde qui correspondent à un même système de vaieurs pour X et pour jy:

d’où

Si i’on suppose que Z et z soient de même signe, on voit ' qu’à mesure qu’on s’éloignera de l’origine la somme Z -Hz croîtra indéliniment en valeur absolue. La différence Z — z tendra donc vers zéro sans jamais atteindre cette limite. Le cône représenté par l’équation (G,) est le cône asymptote de l’hyperboloïde (H,).

Si l’on coupe les deux surfaces par un même plan, les sec-' tions obtenues seront évidemment des courbes semblables et , semblablement placées, et il en sera de même de leurs projections sur les plans coordonnés.

Pour connaître la nature d’une section plane de l’hyperboloïde, il suffira donc de chercher celle de la section déterminée par le même plan dans le cône asymptote. D’ailleurs, ‘ en menant par le sommet de ce cône ou par l’origine un plan parallèle au plan sécant proposé, on voit : i° que la section sera elliptique, si ce plan parallèle n’a que ce point commun avec le cône; 2® que la section sera hyperbolique, s’il coupe ' le cône suivant deux génératrices; 3® que la section sera parabolique, s’il est tangent au cône.

En effet, dans le premier cas, le plan sécant rencontre toutes les génératrices sur une même nappe. Dans le second cas, il rencontre toutes les génératrices des deux nappes (sauf celles qui correspondent au plan parallèle mené par le sommet). Dans le troisième cas, le plan sécant rencontre toutes les génératrices d’une seule nappe (sauf celle qui est contenue dans le plan tangent parallèle, lequel plan laisse les deux nappes de côtés différents par rapport à sa surface).

Le cône asymptote est intérieur à l’hyperboloïde à une nappe : on a Z>z. , ,

Digilized by Coc-slc

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 38l

403. L’équation de l’hyperboloïde à une nappe peut s’écrire :

ou

Posons

m el n étant deux quantités indéterminées.

On peut regarder l’équation (H,) comme résultant de l’élimination de l’indéterminée m entre les deux équations (i) ou de l'élimination ’ de l’indéterminée n entre les deux équations (2). Or, si l’on fait varier m et n, chacun des groupes (i) , et (2) représente un système de lignes droites. Il existe donc et Von peut tracer deux pareils systèmes, sur la surface de V hyperboloide à une nappe.

404. Deux droites d'un même système ne peuvent être dans un même plan, et deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan. J.

Prenons deux droites du système (i), savoir

et

L'équation générale des pians qui passent par la droite (3)

est (321)

GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

Si la droite (4) peut être dans un même plan avec la droite (3), il faut qu’en éliminant j et z entre les équations (4) et l’équation (5), on obtienne une équation qui puisse être vérifiée indépendamment de toute valeur attribuée à x. On ' trouve ainsi

Cette équation conduit à la condition m = m'; c’èst-à-dire que deux droites d’un même système ne peuvent être dans un même plan qu’à la condition de se confondre.

Si l’on prend au contraire une droite du système (i) et une droite du système (2), l’équation (6) devient

Pour que cette équation soit vérifiée indépendamment de toute valeur attribuée à j;, il suffit de prendre 1 — mn. Donc deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan.

40S. Par un point pris sur V hyperbolo'lde à une nappe^ il passe toujours une droite de chaque système.

En effet, le poînt(2:, z,) appartenant à la surface, l’une des équations (i) mise sous la forme

et l’une des équations {2) mise sous la forme

conduiront toujours à des valeurs admissibles pour les indéterminées m et n; et ces valeurs, substituées dans les groupes (i) et (2), feront connaître les droites des deux systèmes qui passent par le point (x, , y,, z,).

Il est facile , en outre, de montrer qu’aucune autre droite appartenant à la surface ne peut passer parle point {x„ y,, z,). Supposons qu’elle existe; elle ne peut appartenir d’abord à aucun des deux systèmes indiqués (404). On pourra donc,

GÉOMÉTRIE AMALYTIQEE. 383

par un de ses points, faire passer une droite du système (i), et, par ses différents points, des droites du système (2). Ces dernières droites viendront couper la première, puisque deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan; mais ces droites qui appartiennent au système (2), s’appuyant sur deux droites fixes concourantes, seraient alors dans un même plan : ce qui est impossible (40^).

406. On peut encore vérifier comme il suit que, par un point de l’hyperboloïde à une nappe, il passe deux droites apjiartcnant à la surface (une de chacun des systèmes définis (403), d’après ce qui précède). Prenons l’équation de l’hyperboloïde rapporté à un système de diamètres conjugués quelconques

Coupons la surface par le plan x = a' : nous obtiendrons dans ce plan et sur la surface les deux droites

Le plan x — a' est le plan tangent mené à la surface par l’extrémité du diamètre 2 fl' (385).

407. Par l’une des droites de l’un des systèmes, menons un plan quelconque qui coupe la surface. L’intersection devant être une ligne du second ordre (dont l’équation dans le plan sécant devra se décomposer alors en deux facteurs linéaires), le plan considéré coupera l’hyperboloïde à une nappe suivant une seconde droite appartenant à l’autre système (404). Les sections obtenues de cette manière constituent les sections rectilignes de l’hyperboloïde à une nappe, sections que ne peut évidemment admettre l’ellipsoïde (393).

408. Considérons les deux droites de la surface qui passent par le point (x„ j,, z,). Le plan tangent en ce point contient ces deux droites qui sont à elles-mêmes leurs propres tangentes (346) : son équation étant

' M trace sur le plan des xjr aura pour expression

XX

yr,

Si l’on veut mener deux tangentes à l’ellipse de gorge par le point extérieur {x„ y,}, projection sur le plan de cette ellipse du point {x„y„ z,) de l’espace, l’équation (l) représentera précisément la corde de contact correspondante (144). Mais les droites de la surface qui passent par le point (x,, y,, z,) ont nécessairement pour projections sur le plan des xy les droites qui joignent le point {x„y,) à leurs traces sur le même plan, traces qui sont les points où la corde représentée par l’équation {<) coupe la surface.

Donc les projections des droites de la surface sur le plan des xy sont tangentes à l’ellipse de gorge.

On démontrera de même que les projections de ces droites sur les autres plans coordonnés sont tangentes aux hyperboles principales.

409. Transporter au centre de l’hyperboloïde les droites des systèmes (i) et (2), c’est supprimer le terme 1 dans les équations de ces deux groupes. En éliminant alors m ou n entre les équations ( i ) ou entre les équations (2), on obtient l’é- -• quation

qui représente le cône asymptote.

. On voit donc que toutes les droites des deux systèmes transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de la surface constituent son cône asymptote.

‘ Tout plan passant par le centre de la surface et la coupant suivant une hyperbole coupe le cône asymptote suivant deux génératrices qui sont les asymptotes de cette hyperbole (243).

Les génératrices du cône asymptote ou les asymptotes des hyperboles tracées sur la surface et ayant même centre qu’elle , constituent les diamètres infinis de l’hyperboloïde à une nappe (187, Rem., 1).

Quand on rapporte la surface à trois diamètres infinis pris pour axes, les intersections de la surface par les plans coor- ' , donnés sont des hyperboles rapportées à leurs asymptotes ; l’équation a donc nécessairement la forme

dxy -(- eyz -‘rfyz = r.

Remarquons enfin que, trois génératrices d’un cône du second degré ne pouvant jamais être dans un même plan,' il en résulte immédiatement que trois droites situées sur l’hyperbololde à une nappe "ne peuvent jamais être parallèles à un même plan ; caractère distinctif important à signaler. ■’ «'

410. Prenons trois droites du système ( i ) : étant sur l’hy-

by G(« wk’

OÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 385

perbololde à une nappe, elles ne pourront être parallèles à un même plan, et elles seront deux à deux situées dans des plans différents (409, 404). Toute droite s’appuyant sur ces trois droites sera tout entière sur la surface, parce qu’elle y aura trois points (327), et elle appartiendra au système (a). Ainsi on peut regarder un hyperboloide à une nappe comme engendré par une droite glissant constamment sur trois droites fixes situées deux à deux dans des plans différents, et non parallèles à un même plan. La réciproque est vraie.

411. Il est évident à priori que Y hyperboloide à deux nap- • pes (375) ne peut admettre de sections rectilignes {ktfl). On pourrait d’ailleurs le démontrer par un calcul direct, en cherchant dans quel cas l’équation d’une section plane peut se décomposer en deux facteurs linéaires.

Ceci admis, il est facile d’étahlir la réciproque de la proposition énoncée au numéro précédent :

Lorsqu'une droite se meut en s’appuyant constamment sur trois droites fixes non parallèles à un même plan et situées deux à deux dans des plans différents, elle engendre un hyperbolotde à une nappe.

Soient (fig. i56) D, D', D", les trois directrices données. On peut, par chacune d’elles, faire passer deux plans respectivement parallèles aux deux autres directrices, et former ainsi un parallélipipède. Kous placerons l’origine au centre de ce parallélipipède, et nous dirigerons les axes coordonnés parallèlement aux trois directrices. Leurs équations seront alors (2<f, 2e, 2f représentant les arêtes du parallélipipède obtenu):

pourD

pour D

pour D"

Les équations de la génératrice seront d’ailleurs

i X = mz -y p,

I y z= nz -y q.

Pour que la génératrice rencontre les trois directrices, il faut satisfaire aux conditions

e = ^nf-yq. -d=mfy-p, —

Pour avoir l’équation de la surface engendrée, il suffit d’éliminer m, n, p, q, entre les trois équations de condition cl les deux équations de la génératrice.

* IIL 25

386 GÉO.MÊTKtE Al Y riQt'E.

On a d’abord, en éliminant p et q,

e — — nf y — nz, — d=mf-\-x — mz,

(i — X -+- mz — e — r-f- nz

l^a dernière de ces équations peut s’écrire d — X — e — y m

h Z = -h Z OU — =

D’ailleurs les deux premières donnent

d’où

n = > et m =

m {x-hd](z +/)

X — d X-hti'

L’équation de la surface sera donc, en égalant les deux valeurs de — »

. {x — d){x — e){z—f} = {xx-d)iy-he){zx-f).

En simplifiant, il vient finalement

dyz -f- exz + fxy -f- def = o.

Cette équation représente une surface à centre. Étant à génératrices rectilignes, celte surface ne peut être ni un ellipsoïde, ni un hyperboloïde à deux nappes; ce n’est pas non plus un cône ni un cylindre {334, 330); c’est donc un hyperboloïde à une nappe rapporté à un système de diamètres infinis (409).

Remarque, — On voit que l’hyperboloïde à une nappe est à la fois une surface réglée et une surface gauche ; car deux positions successives de la génératrice rectiligne ne pouvant être dans un même plan, la surface n’est pas développable.

Hyperboloïde à deux nappes.