PROPRIÉTÉS DES DEUX PARABOLOIDES

Kl

Paralioloïde elliptique.

416. L’équation la plus simple du paraboloïde elliptique est (379)

Cherchons la nature des sections planes de la surface, et coupons-la par un plan quelconque

z = ex ->rfr -b g.

On obtiendra l’équation de la projection de la section sur le plan des xy, en éliminant z entre l’équation (P.E) et celle du plan considéré. Il viendra

La quantité B* — est ici

/* ^\p p' J p' pp''

Toutes les sections sont donc des ellipses, sauf le cas de e = o où elles sont des paraboles. Mais, pour e = o, le plan proposé est parallèle à l’axe Oæ- du paraboloïde. On peut donc dire que les sections planes du paraboloïde elliptique sont dés

390 GÈOMÉTniE ANALYTlylE.

ellipses lorsqu'elles sont inclinées sur l’axe, et des paraboles lorsqu'elles sont parallèles à l'axe ; elles ne sont jamais des hyperboles.

Remarquons que, dans le cas de e = o, l’équation de la projection de la parabole obtenue sur le plan des xy devient

Cetie parabole a donc son axe parallèle à celui du paraboloïde, et son paramètre reste constant si f ne change pas. Donc les plans parallèles à l’axe déterminent comme sections des paraboles égales, lorsqu’ils sont parallèles entre eux.

Les plans parallèles au plan des déterminent des paraboles toutes égales à la parabole principale située dans ce plan. Les plans parallèles au plan des xz déterminent des paraboles toutes égales à la parabole principale située dans ce plan. On peut donc regarder lè paraboloïde elliptique comme engendré par la parabole y'=7px se mouvant parallèlement à ellemême, de manière que son sommet décrive la parabole principale z' = 7p'x; ou comme engendré par la parabole z’ = 7p'x se mouvant parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole principale y^ — 2px.

417. Cberchons si, parmi les sections elliptiques du paraboloïde, il en est de circulaires.

Les formules de transformation

x = .r'cos<p — ^'sii)9COs6,

)• = ar'sinç -t- COS9 COS0,

Z = r + y' sin0,

appliquées à l’équation du paraboloïde elliptique, donnent

sin’9

^ros’

s’ 9 cos’ 0 sin’O

7 si 09 COS9 COS0

— 7x' COS 9 -H 2 (rsin 0-f- sin9 cos0)^'' -|- r’ = o.

Pour que la section soit circulaire, on doit donc satisfaire aux (leux conditions

sin’9 cos’9cos’0 sin’0

. sin 9'’cos9 cosO = O.

La seconde exige qu’on ait

9 — 0 nu 9 = <)o" nit.r- 0 — ()4i*.

• Oigiti by Go(Jxlc

' cfioM^.inlE AJ\ ALYTIOLH. igi

, Suivant l’hypothèse adoptée, la première rciation devient alors

• cos’0 sin’0

ou

sin’0 = — ,

I sin’0

ou

“’sJX

sin’cp I

ou

sin’Œ —

Supposons p^p’.On ne pourra s’arrêter qu’à l’hypothèse 9 = 90", qui conduit pour sin’0 à une valeur positive et moindre que l’unité.

La double valeur de 0 donnée par la relation (2) fournira deux séries de plans parallèles déterminant dans le paralo’ide elliptique des sections circulaires.

Ces deux séries, symétriques par rapport au plan des xj-, sont d’ailleurs parallèles à l’axe 0 y ou perpendiculaires au plan de la parabole principale de plus petit paramètre (on a

? = yo")-

De la valeur de sin’0 on déduit facilement

tang0 = ±

Par suite, les équations des plans des deux sections circulaires passant par le sommet de la surface seront

Si l’on suppose p — p', ces deux plans se confondent avec le plan des yz. En effet, le paraboloïde elliptique devient alors de révolution autour de l’axe Ox.

418. Le plan tangent en un point (x,, y,, z,) du paraboloïde elliptique a pour équation (346)

cn y joignant la condition

On peut donc mettre l’équation (i) sous la forme

ru-,

3p2 géomkTrie analytique.

Nous savons (386) que le plan langent mené à la surface par l’exlrémilé du diamètre qui passe au point (j^i, y,, z,), est parallèle à toutes les directions conjuguées aux plans diamétraux qui passent par ce diamètre.

^^19. D’après cette deinière remarque, transportons l’origine des coordonnées au point [x,, y,, z,}. Prenons pour axe dos X le diamètre qui passe en ce point; le plan des xy sera alors un des plans diamétraux menés par le même point dans la surface. Ce plan diamétral coupera la surface suivant une parabole (H6). Choisissons pour axe des j la tangente menée à celle parabole par l’origine, et pour axe des z une parallèle à la direction conjuguée au plan diamétral considéré. Le plan de yz se confondra alors (3i6, M8) avec le plan tangent mené à la surface par le point {x,, j-, , z,). L’axe des z étant conjugué au plan des xy, l’équation de la surface ne devra pas contenir de terme du premier degré en z. De plus, pour 5 r= O, l'équation doit se réduire à celle d’une parabole rapliortée à un diamètre et à la tangente correspondante. Elle sera donc nécessairement de la forme

Ainsi, l’équation du paraboloïde elliptique conserve la même forme, lorsqu’on rapporte la surface à un diamètre pris pour axe des x et au plan tangent correspondant pris pour plan des yz, l’axe des z étant mené dans ce plan parallèlement à la direction conjuguée au i)lan diamétral choisi pour plan des xy.

Paraboloïde hyperbolique.

V20. L’équation la plus simple du paraboloïde hyperbolique est (380)

PP

Cherchons la nature des sections planes de k surface, et coupons-la par un plan quelconque

z — ex-\-fy-\-g.

Dans le cas du paraboloïde elliptique, nous avons trouvé que, pour l’équation de la projection de la section sur le plan des xy, la quantité B’ — 4 A.C se réduisait à