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(kimme on passe de l’équation du paraboloïde elliptique à

OÉOMÉTIIIE ANALYTIQUE. 393

relie du paraboloïde hyperbolique en changeant p' en — p', la quantité B’ — deviendra dans le cas du paraboloïde hyperbolique

Toutes les sections planes de celte surface sont donc des li,vperboles, sauf le cas de c = o où elles sont des paraboles. On peut donc dire que les sections planes du paraboloïde fiypeiltoUqne sont des hyperboles lorsqu’elles rencontrent l'axe, et des pairdwles lorsqu’elles sont parallèles à l'axe ; elles ne sont jamais des ellipses.

Bcniarquons que, dans le cas de e = o, l’équation de la projection de la parabole obtenue sur le plan des xy devient

Cette parabole a donc son axe paralUMe à celui du paraboloïde, et son paramètre reste constant si f ne change pas. Donc les plans parallèles à l’axe déterminent comme sections des paraboles égales, lorsqu'ils sont parallèles entre eux.

Les plans parallèles au plan des xy déterminent des paraboles toutes égales à la parabole principale située dans ce plan; les plans parallèles au plan des xz déterminent des paraboles toutes égales à la parabole principale située dans ce plan. On peut donc regarder le paraboloïde hyperbolique comme engendré par la parabole y^ = ipx se mouvant parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole principale = — ip'x\ou comme engendré par la parabole z’ = — i p'x se mouvant parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole principale y'=2px{fg.i58).

On voit (il6) que les deux paraboloïdes admettent un mode commun de. génération. Seulement, dans le cas du paraboloïde elliptique, les axes de la parabole génératrice et de la parabole directrice ont la même direction, et une direction opposée dans le cas du paraboloïde hyperbolique.

Comme le paraboloïde hyperbolique ne présente pas de sections elliptiques, il n’y a pas lieu de chercher s’il comporte des sections circulaires.

On peut donc concevoir la génération des surfaces du second ordre à l’aide du cercle, sauf le cas du paraboloïde hyperboli(iue.

^^21. Le i)lan tangent en un point {x^, y,, z-,) du paraboloïde

3y4 CÉOMf.TIlIE ANALYTIQUE.

hyperbolique a pour équaiion

yy,

zz,

On voit que le plan langent à l’origine ou au sommet de la surface n’est autre que le plan des yz ; résultat évident à priori, puisque l’axe des y et celui des z sont tangents aux deux paraboles principales. Ce plan tangent coupe la surface suivant les deux droites

c’est suivant ces droites que se projettent les asymptotes des hyperboles déterminées par les plans parallèles au plan des yz (380).

4^. D’après ee que nous avons dit pour le paraboloïde elliptique (418, 419), l’équation du paraboloïde hyperbolique conserve la même forme lorsqu’on rapporte la surface à un diamètre pris pour axe des x et au plan langent correspondant pris pour plan des yz, l’axe des z étant mené dans ce plan parallèlement à la direction conjuguée au plan diamétral pi'is pour plan des xy.