PH
Posons
m et n étant deux quantités indéterminées.
On peut regarder l’équation (P. H) comme résultant de l’éliminalion de l’indéterminée m entre les équations (i) ou de l’indéterminée n entre les équations (i). Or, si l’on fait varier 01 cl n, chacun des groupes ( i ) et (2) représente un système de lignes droites. Il existe donc et Von peut tracer deux pareils syslf>mes sur la surface 4lu paraboloïde hyperbolique.
GÉOMÉTIUE AKALYTIQLE.
küh. Deux droites d’un même système ne peuvent être dans 'un même plan, et deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan.
Prenons deux droites du système (i), savoir
1 ^ = 9.rnx,
( vy
L’équation générale des plans qui passent par la droite (3) est (‘321)
^ ^ ^Jp \!p' \s/p SP' • "7
Si la droite (4) peut être dans un même plan avec la droite (3), il faut qu’en éliminant j et z entre les équations (4) et l’équation (5), on obtienne une équation qui puisse être vérifiée indépendamment dé toute valeur attribuée à x (322). On trouve ainsi
Cette équation conduit à la condition m — m', c’est-à-dire que deux droites d’un même système ne sont dans un même plan que si elles se confondent.
Si l’on prend, au contraire, une droite du système (i) et une droite du système (2), l’équation (6) devient
16 bis) . 2{Xn — /n)xH = <>.
Pour que cette équation soit satisfaite indépendamment de
toute valeur attribuée à x, il suffit de prendre À= — • Donc
deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan.
Les droites du système (i ) sont évidemment parallèles au plan
3g6 GtOMÉTlUE AHALTTIQUE.
Ijs droites du système (2) à leur tour sont parallèles au plan
-^ + -rl==o OU —
sip \!p' y P
On donne à ces deux plans, qui passent par l’axe du paraboloïde et sont symétriques par rapport au plan des zx, le nom de plans directeurs de la surface. On peut d’ailleurs prendre, pour plans directeurs, deux autres plans quelconques parallèles au premier.
423. Par un point pris sur le paraboloïde hyperbolique, il passe toujours une droite de chaque système.
En effet, le point (x,, y,, z,) appartenant à la surface, l’une des équations (i) mise sous la forme
sp
et l'une des équations (2) mise sous la forme
^ 2 nxi .
rp s! P'
conduiront toujours à des valeurs admissibles pour les indéterminées m et n, et ces valeurs substituées dans les groupes (i) et (2), feront connaître les droites des deux systèmes qui passent par le point (x,, y,, z,).
Il est facile, en outre, de montrer qu'aucune autre droite ne peut passer par ce point. Si elle existe, elle ne peut appartenir d’abord à aucun des deux systèmes indiqués (424). On pourra alors par un de ses points faire passer une droite du système (i), et, par ses différents points, des droites du système (2). Ces dernières droites viendront couper la première, puisque deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan. Ces droites appartenant au système {2) s’appuieraient donc sur deux droites fixes concourantes et seraient dans un même plan, ce qui est impossible (424).
426. On peut encore vérifier comme il suit que, par un point du paraboloïde hyperbolique, il passe deux droites (une de chaque système d’après ce qui précède). En effet, prenons l’équation de la surface rapportée à un diamètre et au plan tangent correspondant (422)
Coupons la surface par le plan a: = o. On oblienl, dans ce pl; n el sur la surface, les deux droites
427. Par l’une des droites de l’un des systèmes, menons un plan qui cpupe la surface. L’intersection devant être une ligne du second degré (dont l’équation dans le plan sécant devra se décomposer alors en deux facteurs linéaires), le plan considéré coupera le paraboloïde suivant une seconde droite appartenant à l’autre système. Les sections obtenues de cette manière constituent les sections rectilignes du paraboloïde hyperbolique, sections que ne peut évidemment admettre te paraboloïde elliptique.
428. Considérons les deux droites de la surface qui passent parle point (a:,, y^, z,). Le plan tangent en ce point contient ces deux droites. Son équation étant
sa trace sur le plan des xy a pour expression (i) j>y, = p(x-i-x,).
Si l’on veut mener deux tangentes à la parabole principale -ipx par le point extérieur (a;, , y,), projection sur le pirn de cette parabole du point [x, , y*, , z.) de l’espace, l’équation ( i ) représente précisément la corde de contact correspondante. Mais les droites de la surface qui passent par le point (x,, y,, z.) ont nécessairement pour projections sur le plan des xy les droites qui joignent le point {x,, y,) à leurs traces sur le même plan, traces qui sont les points où la corde représentée par l’équation (i) coupe la surface.
Donc les projections des droites de la surface sur le plan des xy sont tangentes à la parabole principale dans ce plan. La même propriété a lieu relativement au plan des xz. '
429. Prenons trois droites du système (i). Étant sur le paraboloïde hyperbolique, elles seront parallèles au plan directeur cotrespondanl au système (i), et elles seront deux à deux situées dans des plans différents. Toute droite s’appuyant sur ■ ces trois droites, sera tout entière sur la surface, parce qu’elle y aura trois points, et elle appartiendra au système (a), c’est-àdire qu’elle sera parallèle au second plan directeur (424). On peut donc regarder le paraboloïde hyperbolique comme t n-
GÉOKÉTniE AWALYTIQI.'F..
^f-ndré par une droite glissant sur trois droites fixes parallèles à un même plan et situées deux à deux dans des plans différents.
Si la droite mobile glisse sur deux des trois droites fixes choisies, en restant parallèle au second plan directeur, elle ' engendrera le même paraboloïde. En effet, par un point de l’une des directrices, il ne passe qu’une droite du second système, dont on obtiendra le point de rencontre avec la seconde directrice en menant par le premier point un plan parallèle au second plan directeur. On peut donc regarder encore le paraboloïde hyperbolique comme engendré par une droite glissant parallèlement à un flan donné, en s’appuyant constamment sur deux droites fixes non situées dans un même plan. ,
Les réciproques des propositions qu’on vient d’énoncer sont vraies,'
4-30. 1° Une droite glissant sur trois droites fixes D, D', I)", parallèles à un même plan et situées deux à deux dans des plans différents, engendre un paraboloïde hyperbolique (fig- >59).
Nous prendrons D pour axe des x, une parallèle menée à D' par le point O pour axe des y, et pour axe des z la position particulière de la génératrice quand elle passe au point O. F,è jilan des xy pourra être regardé alors comme le plan directeur parallèle aux droites du premier système. D"sera donc parallèle à ce plan. ..
On aura pour équations des directrices
( r = ax, \ z = q.
I,a génératrice devant s’appuyer sur D, ses équations seront de la forme
\ x = mz + p\ ' ' f
\ I y=nz. . .
Pour qu’elle rencontre D', il faut qu’on ait ^ ,
(2) mpy-y=:o;
et pour qu’ell« rencontre D", ' ^
i x = mq+p', : . .
) ax =:; nq, ' . ' '
c’est-à-dire
(3) ■" nq = n(mq -y p').
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. Sgy
Pour avoir l'équation de la surface eugendrée, il suffit d’éliminer m, n, p', entre les deux dernières équations de condition et les équations de la génératrice.
On tire de l’équation (î)
p' = — mp.
L’équation (3) devient
nq = am(q — p),
d’où I ' • .
On déduit d’ailleurs des'équatîons (i), en remplaçant p' p.ar — mp,
m xz ' ,
Par suite, on aura pour équation de la surface chercliée ,
en égalant les deux valeurs de — >
qyz — a[q — p) xz — pqy = o.
Cette surface est bien un paraboloYde hyperbolique. Elle est dé-nuée de centre , elle ne peut être un paraboloTde elliptique puisqu’elle est engendrée par une droite , elle ne peut-être un cylindre parabolique puisqu’elle contient des droites non parallèles. '
2® Une droite glissant parallèlement à un plan donné P, en s’appuyant sur deux droites fixes D et II' non situées dans un même plan, engendre un paraboloïde hyperbolique (fig. i6o).
Nous prendrons le plan directeur pour plan des xy, la directrice D pour axe des z, le plan des xz parallèle à la directrice D', et la position particulière de la génératrice lorsqu’elle* se trouve dans le plan directeur pour axe des /.
On aura pour équations des directrices
x = az,
la génératrice, qui doit s’appuyer sur D et être pades xy, seront de la forme
y=mx,
rencontre D', on devra avoir
p = map'.
4<>o Cf.OMÉTUlE ANALYTIQUE.
On obtiendra l'éqiiation de la «urface en éliminant ni et // entre la dernière équation de condition obtenue cl celles de la génératrice. Il viendra
ayz = px.
C’est évidemment l’équation d’un paraboloïde hyperbolique.
W1. L’examen du second mode de génération du paraboloïde hyperbolique conduit à une remarque importante. .
Si l’on considère la génératrice dans trois positions successives, les plans menés parallèlement au plan directeur par ces positions seront parallèles entre eux. Donc tes segments interceptés sur U et sur D' par les positions successives de là génératrice sont toujours proportionnels.
lléciproquement, si une droite se meut sur deux droites fixes en y décrivant des segments proportionnels, elle engendrera un paraboloïde hyperbolique. En effet, considérons le plan parallèle à deux positions de la génératrice. Si l’on mène à ce plan trois plans parallèles, les deux premiers par les deux positions données, le troisième par l’intersection d’une troisième position de la génératrice avec l’une des directrices, ce troisième plan devant déterminer avec les deux autres des segments proportionnels sur les deux directrices, contiendra la troisième position de la génératrice dès lors parallèle au plan directeur {Compl. de Géom., 97 et suiv.).
432. Remarques. — I. Les modes de génération indiqués pour le paraboloïde hyperbolique, ainsi que pour l’hyperboioïdc à une nappe, sont d’ailleurs doubles, puisque les directrices peuvent être prises dans l’un des systèmes rectilignes de la surface ou dans l’autre.
IL L’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont, parmi les surfaces du second ordre, les deux surfaces à la fois réglées et gauches.
La surface considérée au n“343 et engendrée par une droite tournant autour d’un axe avec lequel elle n’est pas dans un même plan, est un cas particulier de l'hyperboloïde à une nappe : c’est l’hyperboloïde ou la surface gauche de révolution. De même, le conoïde rectiligne droit ou oblique, considéré au n“ 339, n’est autre chose que le paraboloïde hyper-, bolique. ' '■tr
GÉOMÉTRIE A.%ALY1 IQVE.
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CIIAI'ITKE vil.
