DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A TROIS VARIAULES
' 433. Deux cas peuvent se présenter. Partant de l’équation donnée (358)
I A.c’-t-B)'’+Cs’-l- 2Dx/-1-2Ex3 +aF/z ( +2<}.K-|-2lIjr4-2Kz + L=:= O,
on peut vouloir arriver à l’équation (370)
(II) P.r’+P't’ + PV-R "
ou à l’équation
(III) P’/’4-P'’s’+'2Q.»:=o.
suivant que la surface proposée admet ou non un centre, La discussion s’achève alors facilement, d’après les détails qui précédent.
. Ou bien, on vent, de l'examen direct et abrégé do l’équation (i), déduire seulement le genre de surface qu’elle représente. On n’a pas besoin alors de déterminer les coeflicients P, P', P" ; il suffit de connaître leurs signes.
Nous considérerons successivement les surfaces à centre unit/ue, les surfaces qui en ont une infinité,'’k\. celles qui sont dénuées de eentre.
Surfaces à centre unique.
434. La surface a un centre, lorsque, le dénominaleur commun des formules de résolution des équations (3) (359) est différent de zéro'. La valeur M do ce dénominateur est d’ailleurs (360)
M = ABC - Af" - BE’ - CD' -P 2 DEF.
Il est facile de se rappeler son expression, en ne considérant que les six premiers termes de l’équation (i) (433). Cette expression se compose de la somme du prOtluit des coefficients des trois carrés et du quart du produit des coefficients des trois rectangles des variables, moins la somme, des produits respecti fs de chaque coefficient d’un carré par le quart du carré du coefficient d'un rectangle, les deux coefficients multipliés étant pris à égale distance des extrêmes.
Ceci posé, on formera l’équation caractéristique (364)
.>•'-( A + B -i- C)a- -f ( AB -f- AC -1- BC - D’ - E' - F').v - M = o.
Ix premier terme de cette équation a fmur coefficient l’unité; le second, la somme des coefficients des carrés des variables dans l’équation (i), cette somme étant prise en .signe contraire; le troisième, la somme des produits deux à deux de ces memes coefficients, diminuée du quart de la somme des carrés des coefficients des rectangles ; enfin, le terme indépendant est le dénominateur commun M prison signe contraire.
4o2 Géométrie analytique.
Nous avons vu (369) que les racines de l’équalion caractéristique étaient précisément les valeurs des, coefficients P, P', P"; et la règle do Descartes [puisque l'équation en i a toutes ses racines réelles (3C6)] permettra d’indiquer immédiatement les signes de ces racines [Coniji/. rFAIg., 201 ). On a d’ailleurs (370)
R = -L, = -(G.r + Hj+K2 + L),
X, y, Z, étant les coordonnées du centre de la surface par rapport aux '• axes primitifs.
Si l’on désigne par a, p, 7, a', p', 7', a", p", 7“, les angles des nouveaux axes avecies anciens, on a en outre, s, 5', s", représentant les trois racines de l’équation caractéristique ( 364 )
cosa DF — E(B — .r) DE— F(A — .«),
™ ~ COS7 ~ (A — i) (B — jt) — D’’ ” ~ COS7 ^{A— a)(B — i) — D’’.
cos’a-t-cos’p-l-cos’7 =r i.
s correspondant, à P, et P à x, a, p, 7, seront les angles du nouvel axe des X avec les anciens axes. On aura deux autres groupes d’équations analogues, pour déterminer les six autres angles.
Tout cidcul fait, si P, P', P" ont le même signe, la surface sera un - ELLIPSOÏDE : réel, dans le cas où R a aussi ce signe ; imaginaire, dans le cas où R a un signe contraire (373).
Si deux des coefficients P, P', P" ont le même signe que R, le troisième ayant un signe contraire, la surface sera un hyperboloïde a ü.xe NAPPE (374). Si l’inverse a lieu, la surface sera un hyperboloïde a deux NAPPES (37S). »
Enfin, R étant nul, la surface sera un cône, si lés trois autres coefficients n’ont pas tous le même signe : elle se réduira à un point dans le cas contraire (377).
43S. Exemples : . .
r Soit l’équation
On a
•r ’ -1- -JS y’ 4- 2 z’ 4- 'A XV — ». x — — 4 ^ + - M = 4 — 2 = 2.
L’équation caractéristique en s est
Cette équation présentant trois variations, a ses trois racines positives. Donc la surface est un ellipsoïde.
D’ailleurs, l'équation en s admettant la racine 2, ses autres racines seront
— et 1 — .
Il faut maintenant calculer R.
Les équations qui donnent les coordonnées du centre, sont
ün en déduit
or = O, =r I , z = I.
II vient, par suite,
L’équation de l’ellipsoïde réel considéré, rapporté à son centre et à ses axes, sera donc ’
ry "T* —1— ■ * T.* ^
OU
2° Soit l’équation
j:’H-2jr^— 2.tj4-3j'z — ().r + 7/-t-6z + 7 = o.
On a
L’équation caractéristique en A est ' r
Cette équation présentant seulement deux variations, la surface doit . rentrer dans la classe des hyperboloïdes. Cherchons R.
Les équations qui donnent les coordonnées du centre, sont
3xi4-^x — 2 + 3xi+7^ = o.
On en déduit Par suite
R étant nul,, et l’équation en a admettant deux racines positives et une négative, la surface est un cône.
3° Soit l’équation
5xr— 3.rz4- 't.yz — 1^0.
On a ’
L’équation caractéristique en a est
Cette équation admet deux variations. La surface rentre donc dans la classe des hyperboloïdes. Cherchons R. Le centre étant évidemment à l'origine, on a
