GÉOMÉTRIE
Deux (les coeflit^icnls 1’, P', P", ayant le nu*me signe que R, la surface est un hyperbolnïdc à une nappe.
Si le terme indépendant changeait de signe, l’hyperboloïde serait à
iltu.r nappe. 1.
En résolvant l’équation en .r, on trouve approximativement |)ôur ses trois racines les valeurs
On pourra donc mettre (aussi approximativement) l’é<juaiion de l’hyper-, boloïde à une nappe sous la forme * • • >
5,36x’-(-o,2498/'’ — 5,6oz’= 1, ou ' ;
0,186 4)Oo3 0,178 ■ ^ •■'’v
Détermination tlc.i génératrires recti/ignc.f. — On peut demander de : trouver directement les é(]ualions des génératrices rectilignes de là surface (i03) ,c’est-à-dire sans qu’on soit obligé de chercher l’éipiation réduite.
Il sulht pour cela de remarquer que si l’on parvient à mettre l’écpia- ■(^ion de riiyperboloïdc sous la forme - '
T, U, V, étant des polynômes du premier degrIS en x,y, z, et S une constante, les (kpiations des génératrices seront, pour l’un des systèmes, ' ; .
et pour l’autre Système
L’é()uation proposée ne contenant pas les carrés des variables, correspond au type
axy -t- bxz rvi = d.
Si les termes du premier degré existaient, on les ferait disparaître en transportant l’origine au centre de la surface.
On a successivement
a'‘.TY + nbxz-{-aryz = ad, .. y '-'
(a.r + cz)(ay-\-bz)—brz^ = ad,
4 (rtx-(-cj) (qr-l-f'i) = [flx-4-fff-l- (ô-|-c)3]’— [ax — orr-|-(c— b) z]’. ‘
Par suite, on peut mettre l’équation donnée sous la forme
[ax y-ay-i-(b -^c)zY — [<tx — ay-\-[c — b) z]’ — 4 ^cz’ = 4 nd.
Il viendra donc, en se reportant à l’exemple proposé et en faisant, « = ,5, i = S, c = 2, f/ = I ,
En posant alors
GfiOM^'.TlUK. AKALVTlQt'E.
V = 5x — 5/ H- 5a, T = Aa ^6,
les équations des génératrices du premier système seront (en divisant [»ar a) ‘ •
^ 5x 4- A3 = /« (>/4 + : tÆ),
et celles des génératrices du second système seront
5x 4- aa = n (y'5 — a
Si l’équation donnée renferme l’un des carrés des variables, on suivra la marche que nous indiquerons en traitant un exemple relatif au paraboloïde hyperbolique (439, a”).
4° Soit l’équation ^
On a
aj44-aj’4-aa’4 ax> + axa a/a 4- i = o.
L’équation caractéristique en a est
Comme elle présente trois variations, elle aura trois racines positives. La surface sera donc un eUipsoülc réel ou imaginaire. Cherchons R. Les termes du premier degré manquant, l'origipe est le centre do la surface et l’on a
La surface est donc un ellipsoïde i mugi /taire.
Sturfaces ayant une infinité de centres.
436. On a alors M = o. D’ailleurs le lieu des centres est une droite on 'lin plan (360): une droite dans le ras des cylindres eUiptupie et hyperbolique, un plan dans le eas de deux plans /uirallèles ( 376 ) .
Dans le premier cas, deux des coordonnées du centre restant finies, la troisième doit devenir arbitraire, c’est-à-dire tpic les trois équations qui déterminent les coordonnées du centre doivent se réduire à deux.
Dans le second cas, une des coordonnées du centre restant finie, les deux autres doivent devenir arbitraires, c'est-à-dire que les trois équations qui déterminent les coordonnées du centre doivent se réduire à une seule.
Les sections par les plans coordonnés achèveront d'éclairer, s’il est nécess;iire, sur la nature delà surface.
4o6 GÉOMÉTKIK AMALYTIQUE.
M étant égal à zéro, l’équation caractéristique admettra une racine nulle, et il sera facile de ramener l'équation de la surface à sa forme la plus simple.
Il faut enfin se rappeler qu’on peut trouver, comme cas particuliers : une droite, rien, deux plans sécants, un plan unique.
