Exemples
1° Soit l'équation
a s’ 4- ax/4-ax3 4-a73 4- ix-^ ijr — az+ i = o.
On a
Les équations qui déterminent les coordonnées du centre sont ax4-/4-z -t- I = o,
Z -\-X+jr— I = o.
Les deux dernières sont identiques et les deux premières' donnent
La surface admet donc une infinité de centres situés sur la droite
Si l’on coupe la surface par le plan des x/, on obtient pour équation de la section
ax’4-j’4-ax> -f-ax — a/4- 1 ^o. ,
On déduit de cette équation
Si l’on égale à zéro la quantité placée sous le radical, les racines trouvées sont réelles et in^les. Donc la section est une ellipse, et la surface con* sidérée est un cylindre elliptique.
L’équation en s (débarrassée de sa racine nulle) est ici . .
- d’où
Cette équation présentant deux variations, les coefficients P et P' seront bien de même signe. Quant à R, on aura, en rapportant la surface au centre situé dans le plan des xy,
R=— (ix — a — 1x3 — ixo4-i) = 4-
L’équation la plus simple du cylindre elliptique donné sera doue
, /â (v/a4- i)x’-f- (v^â— i)y= 4 ou
av/â(i/â — i) av/a (v/a4-i) ■
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GÉOMtrrlUIC AN ALYTIQlü.
•a“ Soit l’équation
On a
i’ — Gjv — a^z 4- 6)z — x + 3y-l-z— a = o. M = 94-i8— 9 — 9 — 9 = 0.
Les équations qui ilétcrminent les coordonnées du centre sont
ax — 0/ — 2 Z — 1 = 0,
6^' — ax 4- 2 Z 4- 1 = O,
2Z — ax4-6/4- I = O.
Elles sont identiques. La surface admet donc une infinité de centres situés dans le plan
2X — Gf — 2Z — I — O.
La section do la surface par le plan des x/ a pour équaliun x’4-9 r’ — 6x1' — x4-3^> — 2 = 0.
On déduit de cette équation
La section est donc composée des deux droites parallèles
La surface considérée est donc, comme on aurait pu le dire déjà, l’ensemble do deujc plans parallèles.
En etfet, si on résout son équation par rapport à z, on trouve qu'elle se partage en ces deux autres
L’équation en s (débarrassée de sa racine nulle) est ici
•f’ — iif=o ou s {s — n) = o.
L’un des deux coefficients P et P' est donc nul comme le coefficient P", et l’autre est égal à 1 1 . Quant à R, on aura, en rapportant la surface au centre situé sur l'axe des x,
U=— I X--f-;jX04--X0 — 2) = ^-
L’équation la plus simple des deux plans parallèles sera donc
1 1 x’ = 2 ou X = ± .
n. . 4 aa
Surfaces dénuées de centre.
-tSS. On a encore M = o, mais l’une au moins des coordonnées du contre est infinie , c’est-à-dire que les équations qui déterminent les ' coordonnées du rentre doivent être inconqmtibles (360).
4<>8 GÉOMÉÏRIE A^ALYTIQL■E.
Il s’agit de distinguer entre les deux paraboloïdes et le cylindre parabolique (378). Les sections par les plans coordonnés siilTisent pour y arriver. En effet, les trois plans coordonnés ne pouvant être parallèles à la fois à l’axe de l'un des paraboloïdes, si la surface considérée rentre dans cette classe, l’une au moins des trois sections obtenues sera : une ellipse dans le cas du pnrabolnide elliptitiuc ( il 6), une hyperbole dans le cas du parabolnïdc hyperbolique ( i20). Quant au cylindre parabolique, les sections ne peuvent être dans ce cas que des paraboles ( 38i). Il est bien entendu qu’au lieu d’une des trois coniques on peut, dans chaque cas, trouver l’une de ses variétés. >
Puisque M = o, l’équation en s admet encore une racine nulle, et l’on peut facilement ramener l’étpiation donnée à sa forme la plus simple.
i39. Exemples :
i" Soit l’équation
On a
î. » ’ 4- z’— ixz — ^yz — 3.r — vi r-(- AS-t- i = o.
Les équations qui déterminent le centre sont
4,r — 'iz — ’i = o,
Z— .C— JC -1-1 = 0. ;
Eu ajoutant les deux premières, on obtient
ix-y^y—.^z — b^o OU Z — X- ~ r-y- = li,
équation incompatible avec la troisième. Dune le centre est à l inüni. Le plan des xy coupe la surface suivant la courbe
■i J.’ -4-2 4"’ — 3.C — ly -1-1 = 0.
Un déduit de cette &]uation
= I ± v/^4 "C‘ -f- bx — I .
Les racines du trinôme placé sous le radical étant réelles et inégales, la section obtenue est une ellipse, et la surface un paraboloïde elliptique. L’éiiuation en s (débarrassée de sa racine nulle) est
,v' — 5.Ï -4 ü = o, d ou s — — I
Cette équation présentant deux variations, les coefficients P' et 1’'' ont bien le môme signe. Pour calculer aQ, il faut se rappeler qu’on a (309, 434), le coefficient P correspondant à la racine .« = o ou air carré x’,
Q = U cos X -4 H cos fi -f- K cos 7, co.s y. DF — BE co.s fi DE — AF
cüsy AB — D’’ cosy ~ AB— D'’
nis’a-t-Cos-fi I cos’y - i.
Diqi;'.
Il viendra donc ici
CÉOMÉTIUE AN.VLYTIQCE.
cos a I cos P __
■ — — 5 — “ > d où 7 *1" 7 “I" * ■
cos 7 2 cos 7 2 4 4
Par suite,
cos7 = ^i cosa = cosf>—
et
2 yfî \ 2 2 2 J
L’équation la plus simple de la surface sera donc
3)-4-2i’— ?.. x = o ou ^ + ~ =
2" Soit l’étjuation
Z'+ 4 •ce — 2XS — 2>-3 — 3x — 2/+ 2Z+ -,
On a ■
Les équations qui déterminent le centre sont 4j-^2.z — 3 = 0,
Si l’on élimine x entre les deux dernières, il vient
On peut d’ailleurs mettre la première sous la forme
équation incompatible' avec la précédente. Donc le centre est à l’infini. Le plan des xjr coupe la surface suivant la courbe
^.ry — 3x — 2 r+5j=o.
On déduit de cette équation
l.a section obtenue est donc une hyperbole. Par suite, la surface est un pnraholoïtle hrpcrbolitjue.
L’équalion en .t est (en supprimant la racine nulle)
.(■ — ,v — 0 = 0, don
4lO GÉOMÉTRIE AIHALYTIQOE.
Celle équation présentant une seule variation, les coefficients P' et P' sont bien de signes contraires. Pour calculer aQ, on suivra la même marche que dans l’exemple précédent. On aura ici
ros a I cos P I jj,
cos 7 a* cos 7 a’
