II. I
ou -7 -p -7 I = 7“>
4 4 cos’'7
d'est-à-dire
et
va O
cos 7 = .î— ) cos a = cos P = •
av^\ a a a j 4/3 la L'équation la plus simple de la surface sera donc
ou ^ =='22'.
Détermination des génératrices rectilignes. — On peut demander de trouver directement les génératrices rectilignes de la surface.
Il suffit pour cela de remarquer que, si l’on parvient à mettre l’équa-’ lion de la surface sous la formé
U, 'V, T étant des polynômes du premier degré en x, y, z, les équations des génératrices rectilignes seront, pour l’un des systèmes,
et pour l’autre système,
Prenons l’équation proposée, et résolvons-la par rapport à a. Il vient
a = x-Pj— r± ^jd—ixy+y^+x— i.
On peut donc mettre l’équation donnée sous la forme
[Z — X—J-+ i)’= x’— 2xy+y’+x—i.
D’ailleurs le second membre égalé à zéro donne à son tour
jr=x±y'i—x, de sorte que ce second membre peut s’écrire
L'équalion considérée reviendra donc finalement à celle-ci :
(z-x—jr-i- i)’ (j — x)’ = a: — 1.
4ii
En posant alors
les équations' des génératrices rectilignes seront pour l’un des systèmes,
/Il
et pour l’autre système,
3 — ax-4- I = - ) n
( 3 — aj-l- I - n[x~ i).
• Nota. — On peut baser, sur ce mode de décomposition de l’équation, une autre méthode de discussion des surfaces du second ordre.
3° Soit l’équation
x’+^’ + 3’-|-2x^ — ax3 — 7.jrz — 3x — a x+az-l-2 = o.
On a
Les équations'qui déterminent les coordonnées du centre sont
ax-4-aj — 23 — 3 = 0,
2 r-hax — 23 — a = o,
Les deux dernières n’en font qu’une, mais les deux premières sont incompatibles; par conséquent, il n’y a pas de centre, ou encore, il y en a une infinité, transportés à l’infini. Les intersections avec les plans coordonnés sont les courbes
l ’-(-3’ — ajz — ay-f-2 3-t- 2 = O. .
On déduit de ces équations
Z = .r — I rfc y/.r — i ,
Les courbes correspondantes iont trois paraboles; la dernière est imaginaire,. parce que la surface ne rencontre pas lo plan des . >3. Celte surface est donc un rylindrf parahoUniiv .
4i2 géométrie A»ALYT1QLF,.
Cherchons la direction des génératrices do la surface , en remplaçant dans l’équation donnée .r et y par az-\-p et bz + q (332). Il viendra
I + o.nb — 2(7 — 2é)z’+2(rir+ é — i)/7Z+ 2{é-f-rt — i)qz + (2 — 3a — 2é)34-/7’4-f/“ + 2/7(y— 3/7 — 27 + 2 = o.
Pour que r disparaisse, il faut qu'on ait /P + é’+i + 2/7é — 2« — 2i = o, a+b — 1=0, 2 — ,3« — 26 = 0.
On en déduit
0 = 0 et i = I .
On trouve ainsi que les génératrices du cylindre sont parallèles à la droite ^
bissectrice de l’angle zO r.
QUESTIONS PROPOSÉES
I. Dans l’ellipsoïde, la somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués sur une droite ou sur un plan quelconque est constante.
II. On peut regarder le paraboloïde elliptique comme un ellipsoïde ou comme un hyperboloïde à deux nappes dont l’un des sommets réels reste lixe et dont le centre se transporte à l’infini dans un sens ou dans l’autre. On peut do même regarder le paraboloïde hyperbolique comme un hyperbolo'ïde à une naiipe dont le centre se transporte à l’infini.
III. Quand l’équation générale du second degré représente un cylindre parabolique, les six termes du second degré forment un carré.
IV. Une surface conique circonscrite à une surfacAi du second ordre la touche suivant une courbe plane '{fo//- Note 111).
V. Lorsqu’on circonscrit à une surface du second ordre une série do surfaces coniques dont les sommets sont dans un même plan, les plans de toutes les courbes de contact se coupent en un même point, [Me du plan donné, et situé sur le diamètre do la surface qui est conjugué au plan tangent parallèle au plan donné.
Kéciproqueinent, si l’on mène par un même point à une surface du Siîcond ordre une série de plans sécants, les surfaces coniques circonscrites à la surface suivant les courlies déterminées, ont leurs sommets dans un même plan, pian polaire du point donné et parallèle au plan tangent qui est conjugué au diamètre de la surface passant par ce point.
VI. Trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés de leurs distances à autant de points fixes qu’on voudra soit constante.
Vil. Trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés de leurs distances à trois jilans donnés soit constante.
GÉOMÉTRIE ANAI.YTIQIIK. 4'-^
Vin. Trouver le lieu des points également disUmls d'une droite et d’un plan qui se coupent.
IX. Trouver le lieu décrit par l’arète d’un angle dièdre droit dont les faces passent constamment par deux droites données non situées dans un ipéme plan.
-X. Trouver le lieu des points également distants de deux droites données non situées dans un môme plan.
XI. Trouver le lieu des foyers des ellipses déterminées sur un ellipso'ide par ses plans diamétraux.
XII. Le sommet d’un angle trièdre tri-rectangle dont les faces restent constamment tangentes à une surface du second ordre à centre unique, décrit une sphère concentrique à ta srtrface (théorème de .Monge). Dans le cas où la surface est dénuée de centre, la sphère se transforme en un plan perpendiculaire à l’axe de la surface.
XIII. Dans une surface du second ordre (sauf le paraboloïde hjqierbolique), deux cercles quelconques a()partenant respectivement aux deux séries de sections circulaires qu’admet la surface, sont toujours situés sur une même sphère.
XIV. Étant donnés une sphère et un plan, trouver le lieu des points tels, que la tangente menée de chacun d’eux à la sphère soit égale à la distance du point considéré au plan donné.
XV. Trouver l’équation de la surface engendrée par une parabole tournant autour do son axe, et déterminer la position que doit occuper cet axe pour que l'intersection de la surface par un plan quelconque ait une projection circulaire sur un plan donné.
XVI. On donne les trois axes d’un ellipsoïde, et l’on demande de cal-
culer l’aire de la section faite dans ce corps par un plan mené par le centre perpendiculairement à la droite qui forme avec les trois axes les angles a, (5, 7. On demande en outre de trouver l’équation île la surface conique déterminée pâr les perpendiculaires élevées par le centre à tous les plans qui, passant parce point, donnent des sections ayant une même aire donnée. i"
XVII. On donne une droite RS et deux points A et B hors de cette droite, tels que RS et AB soient dans des plans différents. C étant un point quelconque de RS, on mène aux droites CA et CB, par les points A et B, deux plans perpendiculaires : trouver le lieu de leurs intersections.
XVIIl. On prend les cercles d’une sphère donnée pour bases de diffé-’ rents cènes, et l’extrémité d’un rayon pour sommet commun do ces cônes ; tout plan perpendiculaire à ce rayon coupera ct*s cônes suivant des cercles.' ••
XIX; X, jr, 3 désignant des coordonnées rectangulaires et m un paramétré variable, on demande de déterminer les diverses surfaces que peut représenter l’éiiuation
jt” -i- ( 2 -I- I ) ( j’-+- c’ ) — 2 ( .ry -q- .« -f- js ) =; 2 ni‘ 3 m -f 1 ,
4l4 GÉOMÉTIUE a>alytiqi;e.
lorsque tn varie de — « à -f- » ( Concours de l’École Polytechnique, i858).
XX. Par un point donné sur l’axe d’un paraboloïde de révolution on mène' une sécante, et par les points où cette sécante coupe la surface, on mène des normales à la section méridienne qui les contient : ces normales se rencontrent en un- point dont on demande le lieu. On examinera si tous les points de la surface obtenue font réellement partie du lieu [Concours général, 1869).
XXI. On donne deux ellipso'ides A et B. On demande le lieu des som-
mets des angles trièdres dont les faces sont tangentes à l’ellipso'ûle A et parallèles à trois plans diamétraux conjugués do l’ellipso'ide B ( Concours général, 1860). ^
XXII. Un ellipsü'ide étant donné, trouver le lieu des centres des jetions planes dont l'aire est égale à une constante donnée ( Concours général, 1861).
XXIU. Reconnaître les diverses surfaces que peut représenter l’équat tion
n{x' + 7.yz) + ù(y*-i-ïxz) + c(z’+ixy) = 1,
et démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour obtenir une surface de révolution est (en supposant les axes rectangulaires)
[Concours de l'Ecole Polytechnique, 1861).
XXrV. On coupe les trois arêtes d’un angle trîédre fixe par un plan qui se meut de manière que le volume du tétraèdre déterminé reste constant : trouver le lieu décrit par le centre de gravité de ce tétraèdre [Coru'ours général).
XXV. Trouver le lieu des centres des surfaces représentées par l’équation
x’-i-y’ — z^-i~2pxz-+- 2qyz — 2ax — 2by — 2 es — o,
où a, b, c, sont des nombres positifs connus : 1“ lorsque p&l q varient d’une manière quelconque; 2" lorsque p et 7 varient de manière que l’équation proposée représente un cène. Indiquer la partie du lieu qui répond à des hyperbolo'ides à une nappe et celle qui répond à des hyperîioloi’des à deux. nappes [Concours île F Ecole Polytechnique, 1862).
