REPRÉSENTATION DU POINT, DE LA DROITE ET DU PLAN

* Préliminaires. 3

1. Le dessin ordinaire suffit pour représenter exactement les figures planes. Il devient insuffisant lorsqu’il s'agit de représenter les figures de l’espace, c’est-à-dire les polyèdres, les bâtiments; les machines, etc., dont on veut pouvoir conserver, ou retrouver d’une manière précise et sûre, non-seulement la disposition générale, mais surtout les dimensions. Ces dimensions, en effet, sont altérées par la perspective (*).

•• On emploie alors la Géométrie descriptive. .1'

« Cet art a deu\ objets principaux.

' » Le premief est de représenter avec exactitude', sur des » dessins qui n’ont que deux dimensions, les objets qui en » ont trois, et qui sont susceptibles de définition rigoureuse.

» Sous ce point de vue, c’est une langue nécessaire à » l’hpmme de génie qui conçoit un projet, à ceux qui doi- » vent en diriger l’exécution, et enfin aux artistes qui doivent » eux-mêmes en exécuter les différentes parties.

« Le second objet de la Géométrie descriptive est de dé- » duire de la description exacte des corps tout ce qui suit » nécessairement de leurs formes et de leurs positions respec- » tivGS. Dans ce sens, c’est un moyen de rechercher la vén rité; elle offre des exemples perpétuels du passage du » eonimà. l’inconnu ; n {i/ioscs. Géométrie descrip-

tive, Pr^ramme, p. viij.)

.^^Ainsi^'ïa géométrie descriptive est surtout un art , indispen-

■ ■ ’i ^ ‘ SV.

(*) objet est rcnsemble des intersections d'un plan appelé

^hhl'-aa et des rayons \isucis menés du point de vue ou du point où l’on sc suppose placé, à Ions les points do Vobjot qu’on dessine.

4l6 GÉOMÉTrtlE DliSCIllPTlVE.

sable dans une foule d’applicaiions lelles que : la Perspeclivc , la délemiinalion des Ombres, la Sléréoloniie ou roupe des pierres, la Charpente, etc.; mais c’est encore une science, qui peut rendre dans certains cas, comme procédé logique, sous le rapport de la clarté et môme de la simplicité, de très-grands services.

Représentation du point.

2. Comme toutes les surfaces sont composées de points , il faut d’abord .savoir fixer la position d’un point dans l’espace, suivant les principes de la géométrie descriptive.

Pour cela, nous prendrons [fig. i) deux plans perpendiculaires entre eux : l’un, IIH, est supposé l'autre, VV,

est alors vertical. Nous désignerons par LT leur intersection, et nous les supposerons indéfiniment prolongés de part et d’autre de cette intersection ou ligne de terre.

Le plan VV,’appelé plan vertical, partage le plan HH, appelé plan horizontal, en deux régions: l’une antérieure, l’autre postérieure par rapport au plan vertical. Le plan horizontal partage à son tour le plan vertical en deux régions: l’une supérieure, l’autre inférieure par rapport au plan horizontal.

Les deux plans partagent l’espace en quatre fégions ou angles dièdres. L’angle dièdre formé par la partie antérieure du plan horizontal et la partie supérieure du plan vertical, peutêtre désigné sous le nom d’angle antérieui^supérieur; le suivant sera alors appelé angle supérieur-postérieur, etc. Mais il sera plus simple de les indiquer en disant premier , second angle, etc., et en convenant de les numéroter dans le sens d’une rotation régulière autour de l’intersection LT.

Ceci posé, considérons un point M situé dans le premier angle. Abaissons de ce point la perpendiculaire M/n sur le plan horizontal , la perpendiculaire M/n' sur le plan vertical j /y sera -la projection du point M sur le plan horizontal ou la projection horizontale de ce point, ni' sera sa projection verticale.

Le plan mMm' étant perpendiculaire à la fois aux deux plans HH et VV, qui forment le système des plans de projection, est perpendiculaire à leur intersection LT qu’il coupe au point p, de sorte que la figure ///^l///'a est un rectangle, et qu’on a m'p = M/n, n/ft = M m'. Ainsi la distance du point ,M nu plan horizontal est égale ù la distance de sa projection verticale m' à la ligne de terre LT, et la distance du point M^«« plan vertical est égal à la distance de sa projection horizontale’’ à la ligne de terre.

La remarque faite prouve en outre que' les projcclion.s »/ et m' suffisent pour déterminer le point M; car les pcrpe^flW ciliaires niM, /n'M, élevées respectivement par cès poinljjp aux^

OÉOMÉTIUE DESCniTTIVE.

deux plans de projection, étant situées dans un même plan, se coupent au point M de l’espace, comme leurs parallèles m' m fx, au point fx de la ligne de terre.

3. Pour ramener les constructions de l’espace à être effectuées sur un seul plan, on suppose que le plan vertical tourne autour de la ligue de terre de manière à se rabnitre sur \e plan horizontal. Dans ce mouvement (dont la Jlg. i indicjue la direction), la partie supérieure du plan vertical vient recouvrir la partie postérieure du plan horizontal, tandis que sa partie inférieure vient se placer sous la partie antérieure du plan horizontal. Le point ni', entraîné avec le plan vertical, reste toujours sur la perpendiculaire m'fx à LT, de sorte qu’après le rabattement cette perpendiculaire se confondant avec le prolongement de niti, les projections ni et m' du point ]il de l'espace se trouvent situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

On appelle épure le dessin obtenu en réunissant ainsi sur une même feuille ce qui a rapport aux projections verticales et aux projections horizontales.

Lire une épure, c’est, en la pliant par la pensée autour de la ligne de terre, de manière à reproduire les deux plans de projection, concevoir ou reconstituer la figure de l’espace d’après le tracé graphique exécuté.

4. Il est facile de voir que les positions occupées par les projections d’un point de l’espace, relativement à la ligne de terre, varient suivant l’angle auquel il appartient.

Dans le prehieE angle, la projection horizontale tombe sur la partie antérieure du plan horizontal ou au-dessous de la ligne de terre, la projection verticale se trouve sur la partie supérieure du plan vertical ou au-dessus de la ligne de terre.

Dans le second angle, les deux projections sont situées audessus de la ligne de terre.

Dans le troisième angle, la projection horizontale est audessus de la ligne de terre, tandis que la projection verticale est au-dessous.

Enfin, DANS LE QUATRIÈME ANGLE, les deux projections sont situées au-dessous de la ligne de terre.

La Jig. 2 présente le tableau de ces différents cas.

Lorsqu un' point est sur l'un des plans de projection, il est ri lui-méme sa propre projection sur ce plan, et son autre projection est sur la ligne de terre.

I.es deux projections d’un point se confondent avec lui lorsqu’il appartient à la ligne de terre.

Lorsqu’un point est situé sur l’un des plans bissecteurs des angles dièdres formés par les plans de projection, ses projec-

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r.éOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

4lS

lions sont également éloignées de la ligne de terre, parce qu’il est liii-mème à égale distance des deux plans de projection (2); lorsque ce point appartient au second ou au quatrième angle, ses projections se superposent donc dans l’èpure.

5. En résumé , pour que deux points de l'épure représentent les projections d’un même point de l’espace, il faut et il suffit que ces deux points soient sur une même perpendiculaiie à la ligne de terre. La distance de la projection horizontale A la ligne de terre représente la distance du point de l’espace au plan vertical ; la distance de la projection verticale à la ligne de terre représente la distance du point de l'espace au plan horizontal.

On voit que l’ensemble des plans de projection revient identiquement au système des plans coordonnés employés en géométrie analytique.

En géométrie descriptive, on obtient le point de l’espace en faisant passer par sa projection borizonlale une perpendiculaire au plan horizontal, et en prenant sur cette perpendiculaire une longueur égale à la distance de la projection verticale à la ligne de terre. En géométrie analytique, Yx et 1’^- du point déterminent la position de sa projection sur le plan des xj', et le Z du point fait connaître sa distance au plan des xy. Les signes des coordonnées remplissent en géométrie analytique le même rôle que les différentes positions occupées par les projections d’un point relativement à la ligne de terre, en géométrie descriptive.

6. Nous représenterons toujours un point de l’espace par une grande lettre, sa projection horizontale par la petite lettre correspondante , et sa projection verticale par la même petite lettre affectée d’un accent. Ainsi, le point M aura m pour projection horizontale et m' pour projection verticale.

Représentation de la ligne droite.

7. Nous savons (Géom., 183) que la projection d'une droite sur un plan est une droite.

Le plan conduit suivant la droite donnée, perpendiculairement au plan horizontal, est le plan qui projette horizontalement cette droite; de même, le plan conduit suivant la droite donnée, perpendiculairement au plan vertical, est le plan qui la projette verticalement.

Une droite est, en général, déterminée par ses deux projections; car ces projections permettent de reconstruire les deux plans projetants dont la droite de l’espace représente l’intersection.

OÉOMÉTIUE DESCniPTlVE.

4 II

Lorsqu’on connait deux points d’une droite, on obtient ses projections en joignant les projections de même nom des points donnés. La droite de l’espace étant la droite AB, sa projection horizontale sera donc désignée par ab et sa projection verticale par a' 6'.

Le point où la droite considérée perce le plan horizontal de projection, est sa trace horizontale ; le point où elle perce le plan vertical, est sa trace verticale. Lorsqu’on connaît les traces d’une droite, on peut juger immédiatement de sa position par rapport aux plans de projection.