Tracé des épures. — A ce sujet, nous indiquerons dès à

4 iO

présent les conventions suivantes, relatives au tracé des épures.

Celui qui lit une épure est toujours supposé placé dans le premier angle, c’est-à-dire au-dessus du plan horizontal et en avant du plan vertical. Il voit donc toutes les lignes comprises dans le premier angle, il ne voit pas les lignes comprises dans les trois antres angles.

Lorsqu'il s’agit des lignes principales d’une figure, c’est-àdire de celles qui correspondent aux données et aux inconnues de la question, on marque en lignes pleines les projections des parties visibles de ces lignes, en lignes ponctuées ou formées de points ronds les projections de leurs parties invisibles.

Les projections des lignes auxiliaires sont toujours figurées en traits discontinus, c’est-à-dire qu’elles sont formées d’éléments de ligne droite, séparés par un petit intervalle. Lorsque les lignes auxiliaires considérées sont très-importantes, on emploie des lignes mixtes ou composées d’éléments de ligne droite, séparés par un ou plusieurs points ronds.

Les lignes de projection, c’est-à-dire les lignes perpendiculaires à la ligne de terre qui unissent les projections d’un même point, sont tracées comme les projections des lignes auxiliaires, seulement à l’aide d’éléments moins longs et plus rapprochés.

On peut se reporter maintenant aux Jig. 3 et 3 bis.

10. Lorsque la droite proposée n'est pas située dans un plan perpendiculaire à LT, elle peut être :

I® Oblique aux deux plans de projection; ses deux projections sont alors obliques à la ligne de terre, en vertu des positions occupées par ses traces {Jig. 3 et 3 bis).

2“ Parallèle à l’un des plans de projection; dans ce cas, sa projection sur le plan auquel elle n’est pas parallèle, est parallèle à la ligne de terre; sa projection sur le plan auquel elle est parallèle, lui est parallèle et quelconque.

Soit if g. 4) droite AB parallèle au plan horizontal. Tous ses points seront à égale distance du plan horizontal, donc m projection verticale a' b' sera parallèle à la ligne de terre ; sa projection horizontale ab lui sera parallèle [Géom., 168), et pourra occuper une position quelconque oblique à LT.

3“ Parallèle aux deux plans de projection ; dans ce cas, la droite donnée est parallèle à la ligne de terre {Géom., 168), et il en est de même de ses deux projections {Jig. 5).

11. Lorsque la droite proposée est située dans ~un plan perpendiculaire à LT, elle peut être :

I® Oblique aux deux plans de projection; dans ce cas, les

deux plans projetant la droite se confondent avec le plan dans lequel elle est située; ses deux projections sont alors dirigées suivant une seule et même droite perpendiculaire à LT, qui représente en même temps les projections de toutes les droites situées dans le plan considéré. 11 faut donc, dans ce cas, si l’on veut complètement jiéterminer la droite proposée, qu’on indique les projections de deux de ses points (Jig. 6).

2" Perpendiculaire à F un des plans de projection ; sa projection sur le plan auquel elle est perpendiculaire se réduit à un point; sa projection sur l’autre plan est perpendiculaire à la ligne de terre.

Soit {Jig. 6) la droite AH perpendiculaire au plan horizontal; tous ses points sc projetteront horizonialemeiu au point où elle perce le plan horizontal; le plan (]ui projette verticalement la droite sera d’ailleurs perpendiculaire à la fois aux deux jilans de projection, par suite à LT; la projection verticale de la droite sera donc perpendiculaire à la ligne de terre.

12. Si la droite donnée rencontre la ligne de terre, ses deux projections partent d’un même point de LT, qui est la trace commune de la droite sur les deux plans de projection. Il peut arriver alors, la droite étant située dans le plan bissecteur du second et du quatrième angle, que ses deux projections soient dirigées suivant une seule et même droite (4).

13. Il résulte de ce qui précède, que deux droites tracées d’une manière quelconque sur les plans de projection peuvent toujours être regardées comme les projections d’une même droite de l'espace, pourvu qu’elles ne soient pas perpendiculaires à la ligne de terre.

Si l’une des projections est perpendiculaire à LT, il faut que l’autre le soit aussi et passe par le même point de la ligne de terre, à moins que la seconde projection ne se réduise à un point, situé alors sur le prolongement de la première.

14. Deux droites de l’espace sont ou non situées dans un même plan.

Si elles sont situées dans un même plan, elles se coupent ou elles sont parallèles.

Lorsque deux droites se coupent, le point de rencontre de leurs projections horizontales et le point de rencontre de leurs projections verticales doivent se trouver sur une même perpendiculaire à LT, parce que ces points de rencontre représentent les projections du point d’intersection des deux droites de l’espace/Les droites AB et CD [Jig- 7) se coupent, parce que les points de rencontre m et m' de leurs projections

4^2 GÉÜMÉTUIE DESCUII'TIVE.

horizontales ab, cd, et de leurs projections verticales a'b',c'd', sont sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

Lorsque deux droites sont parallèles, leurs prc'jections de même nom sont parallèles, parce que les plans projetajits correspondants des deux droites sont parallèles [Géom., 175).

Donc 8), si l’on veut mener jjar le point (m, m') une parallèle à la droite [ab, a! b'), il suffit de mener par le point m la parallèle cd à aft. et, par le point m' , la parallèle c' d' à a' b'.

On reconnaît que deux droites ne sont pas situées dans un même plan, à ce que les points de rencontre de leurs projections de même nom ne sont pas situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Les droites (ef, e'f) et [gi, g' i') ne sont pas situées dans un même plan [Jig. 9).

Remarque. — Le milieu d’une droite finie a évidemment pour projections les milieux des projections de cette droite.

Représentation du plan.

15. Un plan est déterminé par trois points non en ligne droite, par une droite et un point hors de cette droite, par deux droites qui se coupent, par deux droites parallèles, etc.

[Géom., 156). Par conséquent, on peut représenter un plan en géométrie descriptive par les projections de trois de ses points non situés en ligne droite, par les projections de deux droites concourantes de ce plan, etc.

Le plus souvent, on choisit pour représenter un plan les droites suivant lesquelles il coupe les plans de projection. Ces droites, appelées traces du plan, concourent en général au point où la ligne de terre perce le plan proposé.

Étant donné un plan P, nous désignerons sa trace horizontale par II'’ et sa trace verticale par V‘‘ (Jig. 10).

Lorsqu’on connaît les projections de deux droites^ qui se coupent, il est facile de trouver les traces du plan qu elles déterminent. En effet, lorsqu’une droite est dans un plan, ses traces sont nécessairement sur les traces de ce plan. Il suffit donc [fig. 10) de construire les traces des deux droites; en unissant leurs traces horizontales, on aura la trace horizontale du plan cherché; en unissant leurs traces verticales, on aura sa trace verticale. Comme vérification, les traces obtenues

ir et V doivent venir se couper en un même point a de la ligne de terre.

La construction serait la même si les droites considérées étaient parallèles. . .

Si l’on donne utie droite et un point hors de cette droite,

&ÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4^3

011 peut, en menant par le point donné une parallèle à la droite donnée, rentrer dans le cas précédent.

Si l’on veut construire les traces d’un plan déterminé par trois points non en ligne droite, on remarque que ces points déterminent trois droites se coupant deux à deux. On a, dans ce cas, deux moyens de vérification : ayant déterminé les traces du plan qui passe par deux des trois droites, il faut que ces traces viennent concourir en un même point de la ligne de terre, et qu’elles renferment les traces de la troisième droite.

16. Un plan peut occuper différentes positions par rapport aux plans de projection ;

1” Il peut être oblique aux deux plans de projection sans être parallèle à LT; dans ce cas, ses traces sont obliques à la ligne de terre qu’elles coupent en un même point; il peut arriver alors qu’elles soient dirigées suivant une seule et même droite, par exemple si 11' fait avec la droite de LT le même angle que V'* avec la gauche de LT.

2® Il peut être perpendiculaire à l’un des plans de projection; sa trace sur le plan auquel il n’est pas perpendiculaire, est alors perpendiculaire à la ligne de terre.

Soit le plan P perpendiculaire au plan vertical (Jig. 1 1). Le plan P et le plan horizontal étant tous deux perpendiculaires au plan vertical, il en sera de même de leur intersection II*' {Géoni., 184), qui sera dès lors perpendiculaire à LT.

De même [fig. 1 1), le plan Q étant perpendiculaire au plan horizontal, sa trace verticales^- sera perpendiculaire à la ligne de terre.

Lorsqu'un plan est perpendiculaire à l’un des plans de pro- ' jeclion, tout ce qui est dans ce plan se projette sur sa trace, par rapport à ce plan de projection.

3“ Il peut être perpendiculaire aux deux plans de projection; dans ce cas, il est perpendiculaire à LT, et ses deux traces 11 et' V** ii) se confondeiu suivant une seule et

même droite perpendiculaire à la ligne de terre.

4“ // peut être parallèle à l’un des plans de projection ; il n’a alors qu’ime seule trace, sur le plan auquel il n’est pas parallèle, et cette trace est nécessairement parallèle à LT. ..-V'* [Jig. 12) représente un plan parallèle au plan horizontal, 11*^ [Jig. 12) représente un plan parallèle au plan vertical.

5” Il peut être parallèle à la ligne de terre; dans ce cas, les deux traces du plan sont nécessairement parallèles à la ligne de terre. Il’’ et i3) représentent un plan parallèle à LT.

Lorsque la partie interceptée par les deux plans de projection sur le plan parallèle à la ligne de terre, est comprise daru le second ou le quatrième angle, les deux traces du plan proposé se confondent, lorsqu’il est en outre également incliné sur les deux plans de projection (i).

Lorsque le plan considéré passe par la ligne de terre, ses deux traces se confondant avec LT, il faut, si l’on veut le déterminer complètement, donner les projections d’un de ses points hors de LT.

XI. Parmi les droites d’un plan, il faut distinguer celles qui sont parallèles au plan horizontal, et celles qui sont parallèles au plan vertical.

On appelle horizontales d’un plan, les droites de ce plan parallèles au plan horizontal; comme elles sont nécessairement parallèles à la trace horizontale du plan, leur projection horizontale est parallèle à cette trace; leur projection verticale est d’ailleurs parallèle à la ligne de terre.

Les droites du plan, parallèles au plan vertical, ont de même leur projection verticale parallèle à la trace verticale du plan qui les contient, tandis que leur projection horizontale est parallèle à LT.

18. Connaissant la projection horizontale m d’un point situé dans un plan P, il est facile de trouver sa projection verticale par la considération d’une droite du plan, parallèle au plan horizontal ou au plan vertical.

Menons par le point m (Jig. i4) une parallèle gh à H*’, cette parallèle sera la projection horizontale de l’horizontale du plan qui passe par le point M. On obtiendra immédiatement sa trace verticale en g'' sur V**, et l’on aura sa projection verticale en menant g' h' parallèle à LT. En abaissant du point m une perpendiculaire sur LT, jusqu’à la rencontre de g' h', on aura ni'.

On peut aussi [fig. i4) mener par le point m une parallèle il à LT; cette parallèle sera la projection horizontale de la droite menée par le point M, dans le pian P, parallèlement au plan vertical. On obtiendra immédiatement la trace horizontale de cette droite en / sur II’’; projetant i en i', et menant i' l' parallèle à , on aura sa projection verticale qui achèvera de déterminer tn'.

On aurait pu aussi se servir, pour résoudre la question ' posée, d’une droite quelconque du plan. Menons, par exemple, par le point m [fig. lo) la droite cd qui coupe LT au point d et H** au point c. On pourra la regarder comme la projection horizontale d’une droite du jilan ayant le point c pour trace

GÉUMÉTBIE DESCniFTlVE.

horiaonlaie. Celle droite élanl contenue dans le plan P, aura d' pour trace verticale et, par conséquent, c'd' pour projection verticale, m' sera donc déterminée.

19. En géométrie descriptive, la représentation d’une ligne, d’une surface, d’un corps, est regardée comme complète, lorsqu’on peut, à l’aide de cette représentation, trouver la projection verticale d’un point de la figure considérée, quand on donne la projection horizontale, et réciproquement.

Ce qui précède montre qu’un plan est bien représenté par ses deux traces. Il est facile de voir que les autres modes de représentation indiqués (15) conviennent aussi bien.

Soit un plan donné par les trois points [a, a'), {b, b'], (c, c'), non situés en ligne droite (fg. i4 ni représentant la projection horizontale d’un point M de ce plan, on demande ni'. Faisons passer par le point m une droite quelconque ef qui coupe ab au point e et ac au point/. Les droites AB et AC appartenant au plan proposé, on pourra regarder ef comme la projection horizontale d’une droite EF de ce plan, qui s’appuie sur les droites AB et AC et passe par le point M. Si l’on unit les projections verticales des points E et F, on aura donc en e’f un lieu du point m' qui, devant se trouver en outre sur la perpendiculaire abaissée du point m sur LT, sera complètement déterminé.

20. On doit encore considérer les lignes de plus grande pente d’un plan, par rapport à l’un ou à l’autre des plans de projection.

Soit un plan P coupant le plan horizontal U suivant la droite CD [fig. i5). Prenons un point A quelconque dans le plan P, projetons-le horizontalement en a, et abaissons en même temps dans le plan P la perpendiculaire AB sur l’horizontale CD. Si nous joignons aB, cette droite sera perpendiculaire sur CD (Géom., 164.), et elle sera en même temps la ' ^projection horizontale de AB [Géom., 182). Menons maintenant la droite quelconque AB' dans le plan P, et joignons aB' qui sera également sa projection horizontale.

Ceci posé, le triangle rectangle AaB donne

. „ \a tangABa=— ;

Cl D

le triangle rectangle AaB' donne à son tour

, Aa

tangp'a=^,-

L’oblique aB' étant plus grande que la perpendiculaire aB à

4a6 GÉOMÉTBIE DESCRIPXIVE.

CD, il en résulte

lang AB'a -< lang ABa.

Ces tangentes, qui correspondent aux angles formés par les droites AB et AB' avec le plan horizontal H (Géom., 186), sont ce qus’on appelle les pentes de AB et de AB' sur le plan H. AB est donc la ligne de plus grande pente du plan P par rapport au plan II.

Ainsi, d’une manière générale, les lignes de plus grande pente d’un plan par rapport à un autre plan sont les perpendiculaires abaissées dans le premier plan sur l’intersection des deux plans.

Les lignes de plus grande pente d’un plan par rapport au plan horizontal sont les droites de ce plan qui sont perpendiciiiàires à sa trace horizontale; ses ^lignes de plus grande * pfiiite par rapport au plan vertical sont celles qui sont perpéndiculaires à sa trace verticale.

'On voit , que l’angle d’un plan avec l’un des plans de projection est mesuré par l’angle que forme l’une de ses lignes de plus grande pente par rapport à ce plan, avec sa projection sur ce plan.

21. Proposons-nous de mener par le point {m, m') du plan P les deux lignes de plus grande pente qui y passent (fig. i6). D’après ce que nous venons de dire (20), la ligne de plus grande pente par rapport au plan horizontal aura sa projection horizontale perpendiculaire à II’’: celle projection nè sera donc immédiatement déterminée, et l’on en conclura a' è' qui, qpmme vérification, devra passer par m'. La ligne de plus grande pente par rapport au plan vertical aura sa projection verticale perpendiculaire à V**: celte projection c' d' sera donc inémédiatement déterminée, et l’on en conclura cd qui, comme vérification, devra passer par m.

22. Deux plans parallèles ont leurs traces de même nom parallèles, comme intersections de deux plans parallèles par un troisième [Géom., 171).

Proposons-nous de mener, par un point donné, un plan parallèle à un plan donné.

Soient le point‘(m, m’) et le plan P [fig. 17); soit Q le plan cherché. Menons par le point m une parallèle gh à II et, par le point m', une parallèle g' h' à LT. Nous obtiendrons ainsi les projections d’une horizontale du plan Q. La trace verticale g' de cette horizontale appartenant à V'^,elV'^ devant être parallèle à V’’ , V'* sera déterminée. Il ne restera plus qu’à mener, par le point (3 où V'* rencontre LT, 11** parallèle à 11 .

Si le plan P était donné par deux droites concourantes, il

sufiiraii de mener des parallèles à ces droites par le point donné, pour déterminer le plan Q {Géom., 170).

Si le plan P était parallèle à la ligne de terre, il en serait de même du plan Q. II faudrait alors mener une droite quelconque dans le plan P. En conduisant par le point donné une parallèle à cette droite, et en en déterminant les traces, on obtiendrait un point de chacune des traces du plan Q.

23. Lorsqu’une droite et un plan sont perpendiculaires, la trace du plan et la projection de la droite sur un même plan sont perpendiculaires.

En effet, la droite AB et le plan P étant supposés perpendiculaires [fig. i8), projetons la droite AB en ab sur le plan H qui coupe le plan P suivant la droite CD. Le plan MAab étant ' à la fois perpendiculaire aux plans H èt P, sera perpendicu- *;■ laire à leur intersection CD : la trace CD du plan P sur le plan ~ II sera donc perpendiculaire à la projection ab de la droite AB sur le même plan.

La réciproque de cette proposition est vraie, pourvu que la condition de perpendicularité soit remplie à la fois par les deux traces du plan P et les deux projections de la droite AB sur les plans de projection; car les deux plans qui projettent la droite AB sont alors perpendiculaires au plan P.

Pour mener par un point donné une perpendiculaire à un plan donné, il suffit donc d’abaisser des projections du point, desf perpendiculaires sur les traces du plan.

24. Pour mener, au contraire, />ar un point donné, un plan perpendiculaire à une droite donnée, on opérera comme il suit r

Soient (^g". 19) la droite (aè, a' i') et le point [m, m'). Les traces du plan devant être perpendiculaires aux projections de la droite, si l’on mène par le point m la perpendiculaire gh à ab, on pourra regarder gh comme la projection horizontale de V horizontale du plan cherché, qui passe par le point [m, m').

La projection verticale de cette horizontale sera parallèle à Lï et passera par m'. En déterminant sa trace verticale g', on aura un point de la trace verticale du plan demandé. Il suffira donc de tracer par g' la perpendiculaire V** à a! b', puis par le point où V' coupe LT la perpendiculaire à ab. Comme vérification, on peut construire la droite du plan P qui, passant par le point [m, m'), est parallèle au plan vertical. La trace horizontale i de cette droite {il, i'I') doit se trouver sur H*^.