DES MÉTHODES

Changement des plans de projection.

25. On conçoit que la position d’une figure, par rapport aux plans de projection, puisse influer beaucoup sur la simplicité de la résolution du problème proposé. Par exemple, si l’inconnue est la longueur d’une certaine droite et si cette droite se trouve parallèle au plan horizontal, elle s’y projettera immédiatement en véritable grandeur. 11 est donc important d’indiquer la marche à suivre pour changer de plans de projection, afin qu’on soit toujours maître de rendre la disposition des lignes principales de la figure considérée aussi favorable que possible. La discussion nécessaire pour choisir les nouveaux plans de projection, est tout à fait comparable à celle qui conduit en analyse au système d’axes à adopter.

Le plus souvent, et en nous plaçant au point de vue pratique, nous laisserons le plan horizontal invariable, et nous changerons seulement de plan vertical. Toutes les projections horizontales seront alors conservées; quant aux nouvelles projections verticales, elles seront faciles à déterminer, puisque les hauteurs des différents points au-dessus du plan horizontal, ou les distances de leurs projections verticales à la ligne de terre, ne devront pas être modifiées. D’ailleurs, ce que nous allons dire, s’appliquera indifféremment au changement des deux plans de projection.

26. Changement des plans de projection par rapport à un point [Jig. 20).

La ligne de terre étant LT, on suppose que celui qui lit l’épure a la lettre L à sa gauche et la lettre T à sa droite.

Soit le point (m, m') rapporté aux plans de projection indiqués par la ligne de terre LT. Conservons le plan horizontal , et prenons un nouveau plan vertical indiqué par la nouvelle ligne de terre L,T,. La projection horizontale m ne changera pas, et la hauteur du point M au-dessus du plan horizontal sera toujours égale à la distance m'p de sa projection sur le premier plan vertical à la ligne de terre correspondante. Nous abaisserons donc du point m la perpendiculaire m p, sur L, T,, et nous la prolongerons d une longueur p, m \ = m'p. Le point m\ sera la nouvelle projection verticale du point M.

La figure montre comment on peut lier graphiquement les

constructions qui permettent de passer de la projection m' à la projection m\ .

On changera aussi facilement de plan horizontal par rapport à un point.

Il faut remarquer, au sujet de ce qui précède, que la position du point M, par rapport au nouveau plan de projection, peut n’ètre plus la même. Ainsi, dans le cas considéré {Jig. 20), le point M reste toujours situé au-dessus du plan horizontal et en avant du plan vertical ; mais le nouveau plan vertical pourrait être choisi de manière que le point M se trouvât derrière lui. On en serait averti par la place qu’occuperait alors la projection horizontale m relativement à la nouvelle ligne de terre L|T,; au lieu d’être au-dessous de LiT,, cette projection se trouverait au-dessus, et l’on en conclurait que le point M, toujours supérieur au plan horizontal conservé, est nécessairement situé dans le second des nouveaux angles formés par les plans de projection adoptés.

27. Changement des plans de projection par rapport à une droite {Jig. 21).

Soit la droite {ah, a'b') rapportée aux plans de projection indiqués par la ligne de terre LT. Conservons le plan horizontal, et prenons un autre plan vertical indiqué par la nouvelle ligne de terre L,T,. En changeant de plan de projection, par rapport à deux points de la droite proposée, nous changerons de plan de projection par rapport à cette droite.

Considérons , par exemple , les deux points {m m'), {n, «'). Nous abaisserons des points net m les perpendiculaires n v„ m a,, sur L, T, .Nous prolongerons nv, d’une longueur v,n', =vn', parce que le point N reste situé dans le premier angle; nous prendrons sur p,m, à partir de fx,, une longueur p,m\ = /xw', parce que le point M, qui était situé dans le /n-e/n/e/’ angle, se trouve maintenant situé dans le second par suite de la position du nouveau plan vertical. La nouvelle projection verticale de la droite AB sera donc représentée par la droite m\ n\.

La trace horizontale a de la droite donnée ne changeant pas, le point où m\ n\ coupe L,T, doit se confondre avec le pied de la perpendiculaire ad, abaissée du point a sur L,T,.

Si l’on cherchait seulement la nouvelle trace verticale de la droite, on remarquerait que le point p où la projection horizontale ab coupe L.T, est la projection horizontale de la nouvelle trace verticale p',, qu’on obtiendra alors immédiatement en prenant sur la perpendiculaire élevée au point p a L,T, une longueur pp\ = np'.

On changera aussi facilement de plan horizontal par rapport à une droite.

43o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

28. Changement des plans de projection par rapport à un plan (Jig. 33 et 33).

Soit le plan P rapporté aux plans de projection indiqués par la ligne de terre LT. Conservons le plan horizontal , et prenons un autre plan vertical indiqué par la nouvelle ligne de terre L.T,. En changeant de plan de projection par rapport à deux droites du plan proposé, nous changerons de plan de projection par rapport à ce plan.

Considérons, par exemple, la droite [ab,a'b') et l’horizontale (gh, g'h'). Tous les points de cette horizontale conservent la même distance au plan horizontaL Par suite, au point m où gh rencontre L.T,, élevons à L,Ti la perpendiculaire mm', = fj.m' — gg'. Le point m\ sera la nouvelle trace verticale de l’horizontale considérée, èt appartiendra à la nouvelle trace verticale du plan P. Déterminons de même la nouvelle trace verticale de la droite (ab, a'b'), en'élevant au point n où ab rencontre L,T,, la perpendiculaire ««', = v»'‘(27); le point n\ appartiendra aussi à la nouvelle trace verticale du plan P. On obtiendra donc cette nouvelle trace en traçant la droite m\n\, et, comme vérification, elle devra venir passer par le point |3 où la trace horizontale H** qui ne change pas vient couper L,T|.

L’emploi d’une seule horizontale suffit, lorsqu’on ne tient pas à une vérification et que II** rencontre L,T, dans les limites de l’épure. Si l’on choisit l’horizontale dont la projection horizontale passe par le point d’intersection i des deux lignes de terre LT et Li’T, (Jig. s3), on n’a pas besoin de tracer cette projection horizontale. On élève au point i une perpendiculaire à chacune des deux lignes de terre; la première fait connaître la trace Verticale i' de l’horizontale sur le premier plan vertical, et en prenant sur la seconde ii\ = ii' , on obtient la, trace verticale de l’horizontale considérée sur le nouveau plan vertical. En joignant le point i\ au point (3, où H'‘ coupe L,T,, on a V%

On changera aussi facilement de plan horizontal par rapport à un plan.

29. On peut rendre immédiatement une droite AB parallèle au plan vertical, ou mieux le plan vertical parallèle à une droite AB, en prenant L,T, parallèle à ab (10).

Comme les deux plans de projection doivent toujours demeurer perpendiculaires entre eux, on ne peut rendre une droite perpendiculaire au plan horizontal que par deux changements de plans successifs. Car pour que le nouveau plan horizontal perpendiculaire à la droite reste perpendiculaire au plan vertical , il faut que ce plan vertical ait été préalablement rendu parallèle à la droite donnée.

CÉOMÉTltlB DESCniPTlVE. 43 I

De même, on peut rendre immédiatement un plan P perpendiculaire au plan vertical, en prenant L,T, perpendiculaire à IF (16); mais il faut deux changements de plans successifs pour rendre un plan parallèle à l’un des plans de projection. Car tout plan parallèle au plan vertical, par exemple, est nécessairement perpendiculaire au plan horizontal.

Mouvements de rotation.

30. Au lieu de changer les plans de projection, en laissant fixe la figure considérée, on peut conserver les mêmes plans de projection en transportant dans l’espace ht figure proposée, de manière à l’amener dans une position plus favorable.

On la fait alors tourner autour d’un axe qu’on choisit ordinairement perpendiculaire à l’un des deux plans de projection.

Dans ce mouvement de rotation, chaque point du système ' restant toujours à la même distance de l’axe, décrit une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe et dont le centre se trouve sur l’axe. Cette circonférence se projette donc en véritable grandeur sur le plan auquel l’axe est perpendiculaire , et suivant une parallèle à la ligne de terre sur l’autre plan de projection.

31. Faire tourner un point d’un angle donné autour d’un axe perpendiculaire au plan horizontal {fig.

Soient le point {iji, m') et l’axe [ab, a' b') perpendiculaire au plan horizontal. Le rayon de la circonférence décrite par le point M dans son mouvement autour de l’axe aura pour projection horizontale initiale la droite am qui joint le pied de l’axe au point m. Si le point M doit tourner d’un angle égal à l’angle niam,, la droite am, sera la projection horizontale finale de ce rayon, de sorte que le point m, représentera la nouvelle projection horizontale du point M. D’ailleurs, si l’on mène par m' une parallèle à la ligne de terre, cette parallèle représentera la trace verticale et unique du plan de la circonférence décrite par M. On n’aura donc qu’à abaisser du point w, sur LT une perpendiculaire jusqu’à la rencontre de la parallèle indiquée, pour obtenir en m', la nouvelle projection verticale du point M.

C’est la question à résoudre qui détermine la valeur de l’angle, mam,f^

On opérera, d’une manière analogue pour faire tourner un point d’un angle donné autour d’un axe perpendiculaire au plan vcrticaU

32. Faire tourner une droite d’un angle donné autour d'un ’ axe perpendiculaire an plan horizontal i fig- 2^>)-

CÉOMÉTRIK DESCRIPTIVE.

Si la droite donnée est dans un même plan avec l’axe, le problème se ramène immédiatement au précédent. En effet, si cette droite coupe l’axe, le point où elle le rencontre ne change pas pendant le mouvement de rotation, de sorte qu’il suffit de faire tourner de l’angle voulu un seul point de la droite, sa trace horizontale par exemple. De même, si la droite proposée est parallèle à l’axe ou perpendiculaire au plan horizontal, comme la rotation ne modifie pas ce parallélisme, il suffit aussi de chercher la nouvelle position occupée par le point où la droite perce le plan horizontal.

Considérons donc seulement le cas où la droite et l’axe donnés ne sont pas situés dans un même plan. Le plan qui projette horizontalement la droite CD étant parallèle à l’axe AB, la perpendiculaire an abaissée du pied de l’axe sur cd sera précisément la projection horizontale de la plus courte distance de l’axe et de la droite (Géom., 185). Cette plus courte distance, pendant le mouvement de rotation, reste d’ailleurs constamment égale à elle-même et à la plus courte distance du pied de l’axe à la projection horizontale cd. Par suite, si l’on décrit une circonférence du point a comme centre avec an pour rayon, et si l'angle donné est égal à nani, on obtiendra la nouvelle projection horizontale de CD, en menant à cette circonférence une tangente c, </, au point n, ; puis, en traçant la^pdrallèle n'n^ à la ligne de terre, on aura en n, un point de la nouvelle projection verticale de CD. Pour en trouver un second point, on remarquera que la distance de la trace horizontale de CD à l’axe ne doit pas varier. Du point a comme centre, avec ac pour rayon, on décrira donc une nouvelle circonférence qui viendra couper Ci</, au point c,, nouvelle trace horizontale de CD. On projettera c, en c\, et en unissant les points </, et n, , on aura la nouvelle projection verticale c\ d\. On peut remarquer qu’on a nécessairement nc = n,c, . On peut remarquer aussi que, pour faire tourner une droite d’un angle donné autour d’un axe, il faut faire tourner deux de ses points du même angle autour de cet axe. C’est la question à résoudre qui détermine la valeur de l’angle non,.

On suivra une marche analogue pour faire tourner une droite d’un angle donné autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical.

33. Faire tourner un plan d'un arifrle donné autour d’un axe perpendiculaire au plan horizontal (fig. 26).

Pour faire tourner un plan d’un angle donné autour d’un axe, il suffit évidemment de faire tourner deux de ses droites • du même angle autour de cet axe.

Nous choisirons de préférence la trace horizontale du plan

el celle de ses horizontales qui passent par le point où il est percé par l’axe. Pendant le mouvement de rotation, H** restera à la même distance de l’axe; c’est-à-dire que si l’on abaisse du pied de l’axe la perpendiculaire an sur H , H restera toujours tangente à la circonférence décrite du point a comme centre, avec an pour rayon. Donc, si nare, représente l’angle donné, il suffira de mener par le point n, la tangente à cette circonférence, pour avoir la trace horizontale du plan P dans sa nouvelle position. D’ailleurs, l’horizontale {gh, g' h!) aura pour nouvelle projection horizontale ya parallèle à H^, et sa nouvelle trace verticale* sera y'. En unissant le point y' au point où rencontre la ligne de terre, on aura en la nouvelle trace verticale du plan P.

C’est la question à résoudre qui détermine la valeur de l’angle na/i,.

On suivra une marche analogue pour faire tourner un plan d’un angle donné autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical.

34. On peut rendre immédiatement une droite AB parallèle au plan vertical, en la faisant tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan horizontal, de l’angle nécessaire pour que sa projection horizontale devienne parallèle à LT.

On ne peut rendre une droite perpendiculaire au plan horizontal que par deux rotations successives. Car, pour que la droite devienne perpendiculaire au plan horizontal en tournant autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical, il faut, son angle avec le plan vertical n’étant pas modifié par cette rotation, qu’elle ait été préalablement rendue parallèle au plan vertical par une première rotation.

De même, on peut rendre immédiatement un plan P perpendiculaire au plan vertical, en le faisant tourner autour de l’axe perpendiculaire au plan horizontal, de l'angle nécessaire pour que sa trace horizontale devienne perpendiculaire à LT. Mais il faut deux rotations successives pour rendre un plan parallèle à l’un des plans de projection; car tout plan parallèle au plan horizontal, par exemple, est nécessairement perpendiculaire au plan vertical.

35. En relisant attentivement ce qui précède, il est facile de voir que les deux méthodes des changements de plans et des mouvements de rotation sont au fond complètement identiques. Seulement, dans les applications, au point de vue des constructions graphiques, la question proposée peut se résoudre plus ou moins simplement suivant le choix qu’on fait entre les deux méthodes.