III

GÉOMÉXaiE DESCRIPTIVE. •

Nous ajouterons que leur emploi n’est commode, en général, que lorsqu’on peut se borner à un seul changement de plan ou à un seul mouvement de rotation. En général aussi, il faut faire suivre un changement de plan d’un mouvement de rotation plutôt que d’un second changement de plan.

Rabattements.

36. Il peut arriver que toutes les lignes qui se rapportent au problème considéré soient situées dans un même plan. On comprend alors que si l’on prenait ce plan pour l’un des plans de projection, toutes les constructions devant s’effectuer, non plus dans l’espace, mais sur un seul et même plan, toute difficulté disparaîtrait en ce sens qu’on serait ramené aux procédés de la géométrie élémentaire.

Au lieu d’opérer un changement de plan, on peut rabattre le plan qui renferme les lignes du problème, avec tout ce qu’il contient, sur l’un des plans de projection, en le faisant tourner autour de sa trace dans ce plan, prise comme axe de rotation. Une fois ce rabattement opéré, on résoudra directement la question proposée, et il ne restera plus qu’à relever le plan' qu’on a rabattu, pour placer les inconnues déterminées dans leur véritable position par rapport aux plans de projection.

Lorsque le plan qu’on doit rabattre est perpendiculaire à l’un des plans de projection, le rabattement à faire n’est autre qu’un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire à l’un des plans de projection (33).

Lorsque le plan considéré est oblique par rapport aux deux plans de projection, on peut commencer par le rendre perpendiculaire à l’un d’eux en effectuant un changement de plan ou un mouvement de rotation ; mais il est préférable de suivre la marche que nous allons indiquer.

37. Soient le plan P et le point [m, m') situé dans ce plan (fig. 27). On veut rabattre le plan P sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale, et marquer dans le plan rabattu la position du point M.

Menons par le point M une horizontale [gh, g' h'). Abaissons gy perpendiculaire sur H*’. D’après le théorème des trois perpendiculaires, la droite g' y de l’espace est perpendiculaire sur h’’, et elle ne cessera pas de l’être pendant le mouvement de rotation. Sa longueur est d’ailleurs égale au côté de l’angle droit d’un triangle rectangle ayant «y pour autre côté de l’angle droit et g' a. pour hypoténuse. Ainsi, pour avoir le rabattement g, du point g' de la trace verticale V** , il suffit de décrire,

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jusqu’à la rencontre de gy prolongée, un arc de cercle ayant a pour centre et otg' pour rayon. En joignant ensuite le point g, au point a, on aura en II «V, le rabattement de la partie du plan P comprise entre ses deux traces.

L’horizontale dont la trace verticale est g', demeure parallèle à II** pendant la rotation. On obtiendra donc son rabattement en menant par g-» une parallèle à II’’. Le point M appartenant à cette horizontale, son rabattement m, appartiendra à la parallèle indiquée; de plus, si l’on mène la perpendiculaire mu à h’’, la droite Mu de l’espace sera perpendiculaire à II’’, • de sorte que le rabattement du point M se trouvera aussi sur la perpendiculaire /nu prolongée. Il sera donc en m, 'a la ren-' contre des deux lieux.

Il est facile de déduire de ce qui précède une règle pratique. • Il faudrait modiüer un peu la construction, si l’on ne connaissait pas V’’. Nous en donnerons plus loin un exemple (S8).