L’intersection de deux plans est une droite. On trouve

immédiatement les projections de cette intersection, lorsque, les deux plans étant donnés par leurs traces, ces traces se coupent dans les limites de l’épure. *

Soient [Jig. 29) lès deux plans P et Q. Les traces ü'* et se rencontrant en a, ce point appartient à l’intersection cherchée, et comme il est dans le plan horizontal, il représente la trace • horizontale de cette intersection. De même, le point b' où sc coupent les traces V** et V®, est la trace verticale de l’intersection. Les droites ab, a'b', sont donc les projections de l’inlersection des deux plans donnés (8).

41. Le plus souvent, par suite de la disposition des traces ^des plans donnés, on ne peut employer ce procédé. 11 faut

alors recourir à une méthode complètement générale.

Pouf trouver l’intersection de deux surfaces "quelconques, on les coupe par des surfaces auxiliaires convenablement ■choisies. Chaque surface auxiliaire détermine sur les surfaçes considérées deux lignes : ces lignes se rencontrent, sur la surface auxiliaire employée, en un ou plusieurs points qui appartiennent évidemmenvà l’intersection cherchée. On peut ainsi la construire par points aussi rapprochés qu’on veut. En général, les surfaces auxiliaires sont des plans.

42. .Nous n’examinerons pas tous les cas particuliers qui peuvent se présenter lorsqu’on cherche l’intersection de deux plans. Nous choisirons les plus importants , de manière à in- I» * diquer surtout lesdifférents procédés dont on peut faire usage.

Trouver V intersection de deux plans dont les traces horizontales sont parallèles et dont les traces verticales se coupent dans les limites de l’épure {Jig. 3o).

Les deux plans pouvant^être regardés comme conduits par les parallèles H** et H**,. se coupent suivant une parallèle à ces droites (Géom., 168), c’est-à-dire suivant une horizontale.

Cette horizontale est déterminée, puisque sa trace verticale est nécessairement en g' , point de rencontre des traces verti- - cales V’’ et V®.

43. Trouver l'intersection de deux plans parallèles à la ligne de terre (Jig. 3 1 et 3 1 bis).

L’intersection.^^ deux plans est alors parallèle à la ligne de terre et il suffit d’en trouver un point. Nous

^indiquerons les procédés suivants.

Soient 3i) les deux plans P et Q parallèles à LT. Coupons ces deux plans par un plan auxiliaire quelconque R. Il faut que les traces de ce plan rencontrent les traces des plans donnés dans les limites de l’épure ; il faut de plus que les intersections du plan R avec les plans P et Q se coupent aussi dans les limites du dessin. .

Le plan R coupe le plan P suivant la droite (ab, a'b') et le Q suivant la droite (cd, c'</')(40). Les deux droites ÀB et CD se coupent en un point {m, m') qui appartient à la fois aux trois plans P, Q, R, c’est-à-dire à l’intersection des plans P et Q. En menant par les points m et m' les parallèles gh et g' h' à LT, on aura donc les projections, de l’intersection chere)^.

Siç^^deux plan? P et Q étaient parallèles, ôn en serait avertf par le parallélisme des droites AB et CD. Ce parallélisme n’est d’ailleurs possible que si étant plus éloignée de LT que V^, H** est aussi plus éloignée de LT que H®, et il est alors .facile à reconnaître à priori.

On peut aussi résoudre la question à l’aide d’un changement de plan.

Soient [fig. 3 i bis) les deux plans P et Q parallèles à LT. Prer lions un nouveau plan vertical de projection, déterminé par la ligne de terre L,T„ perpendiculaire à LT. Le nouveau plan ver- »^tical étant lui-même perpendiculaire à LT, est aussi, perpendiculaire aux plans.P et Q. L’intersection de ces deux plans dej^vlent ainsi une perpendiculaire au plan vertical , et elle sera déterminée si l’on trouve le point où elle perce le plan de projection.

En considérant l’horizontale du plan P dont la projection horizontale passe par le point de rencontre de LT et de L,Ti (28), on aura immédiatement en t',, par l’arc de cercle décrit du point I comme centre avec W pour rayon, un point de la nouvelle trace verticale du plan P. En joignant i\ avec le point où H* coupe L,T, , on aura. donc V^. On déterminera V® de la même manière. Le point de rencontre des deux nouvelles traces verticales étant g'^, c’est en ce point que l’intersection

perce le nouveau

438 GÉOMÉTaiE DESCRIPTIVE,

cherchée perce le nouveau plan vertical, et sa projection hifc ^ rizontale sera la perpendiculaire gh menée par g\ à L,T„ Si l’on revient aux premiers plans de projection, gh ne change, pas, la projection verticale du point G devient g', puisque sa distance au plan horizontal conservé ne doit pas varier. En menant par g' la parallèle g' h' à LT, on obtient donc la projection verticale de l’intersection GH des deux plans P et Q. *

Remarquons que celte dernière solutiort^vient à couper les deux plans donnés par un plan de c’est-à-dire per-

pendiculaire à LT, et à rabattre ce plan de profil sur le plan^ horizontal en le faisant tourner autour de sa trace horizontale.

On rabat en même temps les intersections du plan de profil avec les plans P et Q. Le point g\ où se coupent ces intersections, appartient à l’intersection des plans P et Q, et il ne reste plus qu’à relever ce point.

44. Trouver l’intersection de deux plans dont les quatre traces se croisent en un même point de la ligne de terre

{fis- 3*)-

Soient les deux plans P et Q dont les quatre traces se coupent en un même point a de LT. Leur intersection passera par le point a, ainsi que ses deux projections. 11 suffit donc d’en déterminer un second point ou de connaître sa direction.

Si l’on menait un plan auxiliaire parallèle au plan P, il cou- , perait le plan Q suivant une droite parallèle à l'intersection des plans P et Q [Géom., 171) ; on n’aurait donc plus qu’à conduire par le point et des parallèles aux projections de cette droite.

Si l’on préfère déterminer un second point de l’intersection cherchée, on peut employer un plan de profil (43), c’est-à-dire opérer un changement de plan vertical, en prenant le nouveau plan de projection perpendiculaire à LT. Les nouvelles traces verticales V I’ et VO se coupant en m\ {Jig. 3a), ce point appartient à l’intersection des plans P et Q ; il se projette horizontalement en m, et sa projection verticale par rapport aux premiers plans de projection est m'. am' et xni seront donc les , projections de l’intersection demandée.

On pourrait aussi (43) couper les deux plans P et Q par un plan auxiliaire quelconque. Les intersections de ce plan auxiliaire avec les plans P et Q se croiseraient en un point qui appartiendrait à l’intersection des plans P et Q.