Trouver l’intersection de deux platu dont les traces

sont respectivement en ligne droite {Jig. 33). ’

Soient le plan P, dont les deux traces sont en ligne droite, et le plan Q, pour lequel la même condition est remplie.

DiyiM.r«tJ -.:y CjOO^ÏC

V** et V® se coupent au point b', trace verticale de t^terseclion des deux plans, et b' se projette horizonlatement en é. H** et H® se coupent en a, trace horizontale de l’intersection des deux plans, et a se projette verticalement en a'. Le point b' se confondant avec le point a, le point b se confond avec le point a', et les projections de l’intersection des plans P et Q sont sur une môme droite perpendiculaire à LT. D’après la position des traces de cette intersection, on voit que la partie interceptée sur elle par les deux plans de projection est comprise dans le second angle. Elle est d’ailleurs inclinée à 45" sur ces deux plans, dans le plan perpendiculaire à LT qui la contient , puisque sa trace horizontale et sa trace verticale sont à égale distance de LT. En menant un plan de profil par le 4»oint a, ou^en prenant un nouveau plan vertical de projection, caractérisé par la ligne de terre L/l', perpendiculaire à LT, on obtiendra en ab\ la partie de l’intersection des plans P et Q qui est comprise dans le second angle.

Si l’on avait à considérer [fig. 33) les plans P et R dont les traces, deux à deux en ligne droite , se coupent en un même point fx de la ligne de terre, on mènerait le plan Q parallèle au plan P. On en conclurait immédiatement, d’après ce qu’on vient de voir, que les projections de l’intersection des plans P et R sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre passant par le point /x. De plus cette intersection, qui coupe LT au point p, est également inclinée sur les deux plans de projection , c’est-à-dire qu’elle est contenue dans le plan bissecteur du premier et du troisième angle. Par consé-r quent, si les points m et m' sont les projections d'un même point M de cette intersection, on devra avoir mp = pm' (4).

46. Trouver l’intersection de deux plans dont les traces ne se rencontrent pas dans les limites de l’épure, tout en ne présentant aucune autre disposition particulière {fig. 34 et 35).

Nous indiquerons les deux procédés suivants :

Soient 34) les deux plans P et Q dont les traces ne se rencontrent pas dans les limites du dessin. Changeons de plan horizontal, en le transportant parallèlement à lui-même en L,T|, c’est-à-dire aussi haut que possible eu égard aux dimensions de l’épure. Les traces verticales ne changeant pas, et les intersections de deux plans parallèles par un troisième étant parallèles, les nouvelles traces horizontales seront H, parallèle à et 11® parallèle à H®. Dans le cas considéré, ces nouvelles traces se coupent en un point m, qui appartient à l’intersection des plans P et Q. Ce point se projette verticalement en m' sur L|Ti. Si l’on revient au premier plan horizontal de

projecUon, le point m, devant toujours rester à la même distance du plan vertical, on obtiendra sa nouvelle projection horizontale en prenant sur la per|)endiculaire abaissée de m' sur LT, = .

Pour trouver un second point de l’intersection cherchée, nous changerons de plan vertical, et nous le transporterons parallèlement à lui-nième en L,T,, c’est-à-dire aussi en avant que possible eu égard aux dimensions de l’épure. Les traces horizontales ne changeant pas, les nouvelles traces verticales seront parallèle à V’’ et parallèle à V'^. Dans le cas considéré, ces nouvelles traces se coupent en un point n', qui appartient à l’intersection des plans P et Q. Ce point se projette horizontalement en «sur L,T,. Si l’on revient au premier plan vertical de projection, le jioint devant toujours rester à la même distance du plan horizontal, on obtiendra sa nouvelle projection verticale en prenant sur la perpendiculaire abaissée de n sur LT, vn'=nn,.

Les deux points (/«, m'), («, «'), appartenant à l’intersection des plans P et Q, celte intersection aura pour projections nm et «'/«'.

11 faut remarquer avec soin ce transport parallèle de la ligne de terre, qui double réellement dans un sens et dans l’autre les dimensions de l’épure.

Pour résoudre la question proposée, on peut aussi avoir recours à la méthode des figures semblables déjà indiquée en géométrie (Compl. de Géom., 6 et G8).

Soient { Jig. 35) les deux plans P et Q dont les traces sont supposées ne pas se rencontrer dans les limites de l’épure. Considérons un plan auxiliaire R parallèle au plan Q. Il coupera le plan P suivant une droite parallèle à l’intersection des plans P et Q. Remarquons de plus (|ue, le point a étant considéré comme centre de similitude (Compl. de Géom,, 65), la ligure formée par les traces des plans P et R cl par les projections de leur intersection CI) est complètement semblable à la figure formée par les traces des plans P et Q et pv les projections de leur intersection AD. Le rapport de similitude des deux figures sera ici celui de «c' à <xb' ou de ccy à Il suffira donc, si l’on a pris par exemple «y = de construire

l’intersection (cd, c'd') des plans P et R, puis de prendre aa'=^a.d' et ab = ^ac, pour avoir en a' et en b les points de rencontre des projections de l’intersection cherchée avec LT. Il ne restera donc plus qu’à mener par le point a' une parallèle a'b' à c'd' et par le point h une parallèle ba à cd.

On peut souvent employer avec profil, en géométrie descriptive, la méthode des figures semblables.

W. Trouver V inler&ecüon de deux plans dont l’un est donné par ses traces et l'autre par la ligne de terre et un point

(fis- 36)-

Soient le plan P donné par ses traces et le plan Q déterminé par la ligne de terre LT et le point [m, m'). Comme LT coupe le plan P au point a, le point a appartient à l’intersection cherchée et <à ses deux projections. Pour en trouver un second point, le plus simple est d’opérer comme il suit.

Menons par le point M un plan R parallèle au plan horizontal. La trace verticale V de ce plan passera parm'. Il coupera le plan P suivant une horizontale {g/i, g'h'), et le plan Q suivant la droite (mn, m'n' ) parallèle à la ligne de terre. L’horizontale Gll et la droite MN se coupent en un point {i, i') qui, appartenant aux trois plans P, Q, R, est situé sur l’intersection des plans P et (J. Enjoignant le point a aux points i eti', on aura donc les deux projections de l’intersection cherchée.

Intersection des droites et des plans.

48. Pour trouver l’intersection d’une droite et d’une surface, on fait passer par la droite une surface auxiliaire. On détermine l’intersection des deux surfaces; et les points où cette intersection coupe la droite donnée, sont les points où cette droite rencontre la surface proposée. On choisit ordinairement un plan comme surface auxiliaire.

49. Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan quelconque [Jig. 37).

Soient le plan P et la droite [ab, a' b'). On peut faire passer par la droite un plan quelconque R : II'' devra passer par a et V“ par b' et par le point de rencontre de H* avec LT. Les plans P et R se couperont suivant la droite {cd, c'd'). Les deux droites AB et CD étant situées dans un même plan R, se rencontreront en un point M, et ce point sera celui où la droite AB perce le plan P. Si l’on a bien opéré, le point m commun aux projections horizontales ab et cd, et le point m' commun aux projections verticales a'b' et c'd', doivent se trouver sur une même perpendiculaire à L’T.

Au lieu d’employer un plan quelconque tel que R, il est souvent préférable de prendre pour plan auxiliaire l’un des plans projetant la droite proposée. Considérons, par exemple [fig. 37), le plan Q qui projette horizontalement la droite AB. Ce plan coupera le plan P suivant une droite dont la projection horizontale se confondra avec 11® et avec ab, et dont la projection verticale coupera a'b' en un point m', qui représen-

lera la projection verticale du point M oommun à la droite AB

et au plan P.> Connaissant m', on en déduira immédiatement m.

50. Trouver l’intersection d’un plan quelconque et d’une droite perpendiculaire à l’un des plans de projection [Jig. 38).

Soient le plan P et la droite [ab, a'b') perpendiculaire au plan horizontal. Tout plan passant par la droite {ab, a'b') sera perpendiculaire au plan horizontal; soit Q l’un de ces plans. On construira l’intersection {cd, c'd') des plans P et Q. c'd' coupant a'b' au point b', la droite AB percera le plan P au point {b, b').

51. Trouver l’intersection d’un plan quelconque et d’une droite parallèle à la ligne de terre [fig. 38).

Soient le plan P et la droite {mn, m'n') parallèle à LT. Menons par cette droite un plan R parallèle au plan vertical : h“ se confondra avec mn. L’intersection du plan R et du plan P sera une droite [ef, e'f) parallèle au plan vertical : ef se confondra avec ou mn, e'f sera parallèle à V’’. e'f coupant m'n' au point/', ce point représentera la projection verticale du point où la droite MN rencontre le plan P : le point cherché est donc {/, /').

52. Trouver l’intersection d’un plan quelconque et d’une droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre

{fig- 3g)-

Soient le plan P et la droite [ab, a'b') située dans un plan perpendiculaire à LT. Nous savons que, dans ce cas, pour achever de définir la droite, il faut donner les projections (a, a'), (b, b'), de deux de ses points.

Nous prendrons pour plan de profil ou nous considérerons comme nouveau plan vertical de projection, celui même qui contient la droite. Le nouveau plan vertical sera donc déterminé par la ligne de terre L,T, . Un arc de cercle i'i'^ décrit du point I comme centre jusqu’à la rencontre de LT, fera immédiatement connaître la nouvelle trace verticale du plan P. Les nouvelles projections verticales des points qui déterminent la droite donnée, étant a, et 6', , cette droite contenue dans le nouveau plan vertical n’est autre que d,b',. et«',ù',

se coupant en w', , ce point est le point d’intersection cherché. Sa projection horizontale se trouvera donc en m sur L,T,, et sa projection par rapport au premier plan vertical s’obtiendra en prenant, sur L,T, , la longueur im' — mm', .

On suivrait une marche analogue pour trouver les traces d’une droite contenue dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre. Si l’on se reporte à la ftg. 3g, on voit que la droite

a\b\ a pour trace horizontale son point de rencontre A avec • ^

L,T, , et pour trace verticale son point de rencontre avec LT. En effet, le point A appartient au plan horizontal, et le point , v\ appartient au premier plan vertical de projection, puisque sa projection horizontale est en i, point commun aux deux lignes de terre perpendiculaires LT et L,T,.

S3. Comme application de ce qui précède, nous traiterons la question suivante :

Étant donnés un point et deux droites non situées dans un même plan, mener par le point une droite qui s’appuie sur les deux droites données [Jig. 4°).

Soient le point (w,/»') et les droites [ab, a'b'), {cd, c'd').

Par la droite (ab, a'b') et le point (m, m'), nous supposerons un plan, et nous chercherons son intersection avec le plan Q qui projette horizontalement la seconde droite [cd, c'd'). Le , plus simple, pour construire cette intersection, est de choisir deux points (e, e'), (g", g'), sur la droite (ab, a'b'), de les unir au point (m, m'), et de marquer les points de rencontre des droites correspondantes (em, dm'), (gm, g' ni'), avec le plan Q.

Ces points de rencontre étant sur l’épure (/,/') et (l, l'), l’intersection du plan MAB avec le plan Q sera la droite (fl,f’l'), qui coupe au point (x, x') la droite (cd, c'd')^ En joignant ce point (x, x') avec le point (m, m'), on obtiendra «ne droite qui, s’appuyant sur la droite (cd, c'd') et se trouvant renfermée dans le plan MAB, viendra couper la droite (ab, a'b') au point (j, y'), de manière à satisfaire à toutes les conditions de l’énoncé. *

'*On voit que la solution indiquée consiste à chercher le point d’intersection X du plan MAB et de la droite CD, et à joindre ce point X au point M.