MESURE DES DISTANCES

54. Trouver la longueur de la droite qui unit dans l’espace deux points donnés par leurs projections (Jig. 40- Soient les deux points (a, a'), (b, b'); il s’agit de déterminer leur plus courte distance AB. Pour cela, nous remarquerons que si la droite finie AB était parallèle à l’un des plans de projection, elle se projetterait sur ce plan en véritable grandeur. Nous sommes ainsi conduit à prendre, par exemple, un nouveau plan vertical de projection parallèle à la droite

considérée, c’esl-à-dire défini par une ligne de lerre parallèle à la projection horizontale de cette droite (29). Le plus simple est alors de choisir pour nouvelle ligne de terre L.T, la projection horizontale ab elle-même convenablement prolongée. . La droite qu’on veut mesurer se trouve alors située dans le nouveau plan vertical, au lieu de lui être simplement parallèle. On élèvera donc sur L,T, les perpendiculaires ad^ = aa', bb\ = ^b', et la distance cherchée sera représentée par la., droite a\ b\.

Si l’on mène à L,T, la parallèle a', c',, on forme le triangle rectangle a', c\ b\ , dans lequel on a

a', c, = ab et c\ b\ = pb' — aa! .

Par suite, la longueur d’une portion de droite finie est l'hypoténuse d’un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit sont la projection horizontale de la droite et la dijférence de hauteur de ses extrémités par rapport au plan horizontal.

Si l’on avait rendu la droite parallèle au plan horizontal, sa longueur aurait été représentée par l’hypoténuse d’un trian- ^ gle rectangle ayant pour côtés de l’angle droit la projection verticale de la droite et la différence des distances de ses extrémités au plan vertical.

11 est bien entendu qu’on doit affecter de signes différents les distances des points qui sont placés de côtés différents par rapport aux plans de projection.

Pour rendre la droite parallèle au plan vertical, on peut aussi la faire tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan horizontal (34). Choisissons, par exemple, l’axe vertical qui se projette en b, et faisons tourner la droite autour de cet axe jusqu’à ce que sa projection horizontale ab devienne parallèle à LT. Le point b ne changera pas et le point a se portera en a, . D’ailleurs, la hauteur du point A au-dessus du plan horizontal restant la même, la nouvelle projection verticale a, se trouvera sur la parallèle menée par le point a! à LT. Quant à la projection b', comme elle appartient à un point de l’axe, elle ne variera pas. Le mouvement de rotation effectué ayant rendu la droite parallèle au plan vertical, sa nouvelle projection verticale 6' a, la représente en véritable grandeur; et la considération du triangle b'd,c', obtenu en menant c' parallèle à LT, ramène à la règle énoncée plus haut.

Ce qui précède montre qu’en général la longueur d’une droite finie surpasse respectivement les longueurs de ses projections.