Représentation d’un dodécaèdre régulier [fig. 58 et
58 bis) .
En se reportant à ce que nous avons dit sur la construction du dodécaèdre régulier (fom/j/. de Géom., 125), on voit qu’on
*peul le regarder comme ayant pour bases deux pentagones réguliers identiques dont les plans sont parallèles, et sur chaque côté desquels on a construit un pentagone régulier. Les deux moitiés du polyèdre, ainsi composées de six pentagones, é^nt opposées l’une à l’autre, on fait tourner la base inférieure demi-circonférence autour de l’axe qui est perpendiculaire aux deux bases et qui joint leurs centres. On rapproche ensuite les deux calottes, de manière que les sommets des pentagones supérieurs.venant s’engager entre les pentagones inférieurs, et réciproquement, on obtient en chacun des vingt sommets du dodécaèdre trois pentagones réguliers égaux et également inclinés.
Ceci posé, prenons le plan horizontal parallèle aux deux bases du dodécaèdre. La base supérieure se projettera suivant le pentagone régulier abcde tracé en lignes pleines. L’épure su|>pose ab parallèle à LT. La base inférieure se projettera suivant le pentagoneygAiV tracé en lignes ponctuées. D’après la disposition relative des deux bases, les sommets de ces deux pentagones qui ont le point o pour centre commun, partageront en dix parties égales la circonférence de rayon oa. Supposons qu’on rabatte en iln,x,m, et en ihr,s,m,, sur le plan horizontal de la base inférieure, les deux pentagones ILNXM et IHRS.M construits sur les cotés IL et IH de cette base. On obtiendra, rabattues sur le même plap, les trois faces de l’angle iriédre formé autour du sommet I. Lorsqu’on relèvera ces deux pentagones, le sommet m, du pentagone ihr,s,m, restera dans lin plan vertical dont la trace sur le plan horizontal considéré est la perpendiculaire abaissée de ce point m, sur ih prolongé; et le sommet m, du pentagone iln,x,m, restera dans un plan vertical dont la trace sur le plan horizontal considéré est la perpendiculaire abaissée de ce point m, sur il prolongé. Les deux rabattements m, venant, dans leurs mouvements de rotation, se confondre avec le point M de l’espace, on voit que ce point appartient à l’intersection des deux plans verticaux indiqués, c’est-à-dire que sa projection horizontale est le point de rencontre m des deux perpendiculaires abaissées des points m, sur les charnières ih et il.
D’ailleurs’ la symétrie de la figure montre que les trois points O, i, m, sont en ligne droite. Par conséquent, si l’on décrit du point o comme centre et avec om pour rayon une circonférence, il suffira de prolonger les autres rayons du pentagone ilfgh jusqu’à la rencontre de cette circonférence, pour obtenir en n, p, q, r, les projections horizontales des autres sommets où viennent se rejoindre dans l’espace les pentagones qui s’appuient sur la base inférieure.
En vertu de la parfaite identité des deux parties du dodé-
464 GÉOMÉTRIE DESCRlPl'l VK.
raèdre, c’esi aussi sur la circonfél'ence om et sur les rayons du pentagone abcde que se trouveront les projections horizontales des sommets où viennent se rejoindre dans l’espace les pentagones qui s’appuient sur la base supérieure du polyèdre. On obtiendra donc ces projections en s, x, e, «, /, de sorte que les droites as, bx, cv, du, et, représenteront les projections horizontales des arêtes latérales qui correspondent aux cinq sommets de la base supérieure.
Si l’on remarque maintenant que les sommets où viennent se rejoindre dans l’espace les pentagones décrits sur les côtés de la base inférieure, sont en même temps les sommets les plus éloignés de la base supérieure sur les pentagones décrits sur les côtés de cette base (et vice versA), on voit que la projection horizontale du dodécaèdre est complétée par le décagone régulier qu’on a inscrit dans le cercle de rayon om en prolongeant les rayons des deux pentagones abcde, fgfiil ; ce décagone doit évidemment être tracé en lignes pleines.
Passons à la projection verticale du polyèdre. Supposons que A'/' parallèle à LT représente la trace de sa base inférieure sur le plan vertical. Il faut déterminer la hauteur du sommet M au-dessus de cette base. Remarquons, pour cela, qu’on connaît la projection horizontale im de l’arête IM dont l’extrémité I est dans le plan horizontal considéré, et la véritable longueur dé cette arête qui est égale à ab. 11 suffira donc d’élever en m une perpendiculaire à im, et de marquer sur cette perpendiculaire le point m', à l’aide de l’arc de cercle décrit du point i comme centre avec il pour rayon. La hauteur cherchée étant mm',, on aura m' en prenant sur la perpendiculaire abaissée du point i sur LT et à partir de i' une longueur i'm' = mm',. Les projections verticales»', p', q', r', seront évidemment à la même distance de LT que m'.
Il faut maintenant trouver la projection verticale du sommet S, c’est-à-dire sa hauteur au-dessus de la base inférieure du dodécaèdre. Nous avons en rabattement la distance du point S au côté III, et nous connaissons la projection horizontale «0- de cette distance. Nous élèverons donc en s une perpendiculaire à scr, puis nous marquerons sur cette perpendiculaire le point s', à l’aide d’un arc de cercle décrit du point a avec ir«o pour rayon. La distance de la projection verticale s' à h'I' sera alors ss,. Les projections verticales x' , v', seront évidemment à la même distance de LT que s'.
Enfin, d’après les remarques précédentes, la hauteur du point s' au-dessus de h'I fait nécessairement connaître la hauteur de la trace verticale du plan de la base supérieure du dodécaèdre au-dessus du point m'. On aura donc tous les
Digi:-^ bj
' CjOugU
GLOMÉTRIE DESCRirTlVE, ^65
éléments nécessaires pour achever la projection verticale du polyèdre telle que l’indique la Jig. 58.
Quant à son développement, nous supposerons qu’on le fende suivant toutes les arêtes qui n’appartiennent pas à ses bases, sauf une seule, de manière à étendre sa surface entière sur le plan de la base inférieure. On obtiendra ainsi la fig. 58 bis, dont l’échelle est moitié de celle de la fig. 58.
Pour mesurer l'inclinaison de deux faces adjacentes du dodécaèdre, il faudra {Compl. de Géom., 105) mesurer l’un des angles dièdres égaux de l’angle Irièdre 1, dont on a rabattu les faces sur le plan de la base inférieure du polyèdre (Jîg. 58). Le point m étant le point de rencontre des perpendiculaires abaissées des deux rabattements m, sur les arêtes ih et il, on élèvera en m une perpendiculaire sur w,X, puis du point X avec Xw.pour rayon, on décrira un arc de cercle qui viendra couper cette perpendiculaire en y. Comme le point ni se trouve à droite de il, l’angle mXy, au lieu d’être l’angle cherché, en est le supplément. v .
Comme vérification, on doit évidemment avoir
my = //j/m', .
Remarque. — L’unité d’angle étant l’angle droit, l’angle
d’un pentagone régulier est égal à ^ • Il en résulte que l’angle
/n//n, , moitié de l’angle m,im,, est égal à ^ - Il est facile de voir que le triangle inim, est isocèle. On aura donc
Mais [Trig., 29)
cos l8" :
im,
acüs i8“
Vio -I- 2^5
///?« étant le côté du pentagone régulier inscrit dans le cercle de rayon oa = r, on a (Géom., 129)
im, = - Vio — 2 db.
Par suite.
im
• a VS
2 vs
Ainsi im n’est autre chose (Géom., 129) que le côté du décagone régulier inscrit dans le cercle de rayon oa.
466 UEOMÉTRIE DESCnil’lIVfi.
Nous savons d’ailleurs (Compl. de Géom., 82, note) que le côté du décagone étoilé est égal au rayon du cercle circoncril augmenté du côté du décagone ordinaire. Le rayon ont est donc le côté du décagone étoilé inscrit dans le cercle oa, et on l’obtiendra immédiatement en prenant la corde qui sous-
tend les — de la circonférence oa [Compl. de Géom., 82).
Le triangle rectangle imm!, montre alors que la hauteur m/n', = i'm' est le rayon du cercle oa (73, Rem.).
Enfin il est facile de s’assurer que le côté w', du triangle <jss\ est égal au rayon om. Pour déterminer les hauteurs des sommets des pentagones qui s’appuient sur la base inférieure du dodécaèdre, aucune construction particulière ne sera donc nécessaire.
76. Étant donnée une pyramide triangulaire, lui circonscrire une sphère [Jig. 5g).
Nous avons vu [Compl. d’Àlg., 111) que toute pyramide triangulaire était inscriptible à une sphère, et que, pour obtenir le centre de cette sphère, il fallait chercher le point de rencontre des plans élevés perpendiculairement au milieu de chaque arête de la pyramide proposée.
Pour plus de simplicité, nous supposerons que la base abc de la pyramide donnée repose sur le plan horizontal, et que l’une de ses arêtes latérales(ia, s'a') est parallèle au plan vertical.
Les trois plans perpendiculaires aux arêtes de la base en leurs milieux seront des plans verticaux dont l’intersection, perpendiculaire au plan horizontal, sera le lieu de tous les points à égale distance des sommets a, b, c. Cette intersection contiendra donc le centre de la sphère circonscrite, qui se projettera dès lors horizontalement au point de rencontre m des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés ac et bc, c’est-à-dire au centre du cercle circonscrit au triangle abc. Pour avoir m’, nous remarquerons que le centre de la sphère circonscrite est aussi dans le plan mené perpendiculairement au milieu de l’arête [sa, s'a') parallèle au plan vertical; ce plan, perpendiculaire au plan vertical, a nécessairement pour trace verticale la perpendiculaire menée au milieu i' de la projection verticale s'a'. Cette perpendiculaire viendra couper le prolongement de la perpendiculaire mjx à LT en m', puisque tous les points d’un plan perpendiculaire au plan vertical se projettent verticalement sur sa trace verticale. Le rayon de la sphère demandée étant [ma, m'a'), on aura sa véritable grandeur m'a',, en prenant sur LT
P a', = ma.
CéOMÉTRlE UESCRiPTlVE. 4^7
77. Inscrire une sphère dans une pyramide triangulaire donnée {fig. 6o).
Nous avons vu {Compl. de Géom., 111) que loute pyramide triangulaire était circonscriptible à une sphère, et qu’en menant les plans bissecteurs des angles dièdres déterminés par la base de la pyramide proposée et ses faces latérales, on formait une nouvelle pyramide dont le sommet était précisément le centre de la sphère inscrite dans la pyramide donnée.
Ceci posé, nous admettrons pour plus de simplicité que la base abc de cette pyramide est dans le plan horizontal. Soit (*, i') son sommet. Menons sur le côté ab de la b'kse la perpendiculaire sd. L’angle sdS du triangle Ssd de l’espace mesure l'angle dièdre formé par la base avec la face latérale Sab. Le plan bissecteur de cet angle dièdre contient la bissectrice de l’angle irfS {Compl. de Géom., 101). Prenons sur LT, à partir de son point d’intersection <r avec ss', une longueur od\ =sd. L’angle (rd'y représentera l’angle sdS, et la bissectrice de l’angle od\s' sera la projection verticale de la bissectrice de l’angle srfS, lorsqu’on rend le plan de cci angle parallèle au plan vertical par une rotation autour de l’axe 8«.
En raisonnant d’une manière identique par rapport aux perpendiculaires se et sf abaissées du point s sur les côtés bc et ac de la base abc, on construira les angles <Te\s' et vf\s' qui mesurent les angles dièdres de la base avec les deux autres faces latérales. Les bissectrices des angles oe'^ et seront les projections verticales des bissectrices des angles «eS et sfS, rendus parallèles au plan vertical.
Supposons maintenant qu’on prenne un nouveau plan horizontal caractérisé par la ligne de terre L,T, parallèle à LT. Rien ne sera changé aux projections verticales ni à la projection horizontale du triangle abc. Le nouveau plan horizontal coupera la pyramide Maôc dont le sommet M est le centre de la sphère inscrite dans la pyramide Sabc, suivant un triangle a(3y qui aura ses côtés parallèles à ceux de la base commune abc. il faut construire le triangle aj3y.
Si l’on prolonge les bissectrices des angles od\s', ve\s', (sfy, jusqu’à leurs points de rencontre g',. A',, avec L,T, , et si l’on abaisse des points d\, e', , /', , les perpendiculaires d',d, e',e,/',9, sur L,T,, on obtiendra trois triangles rectangles qui feront connaître les longueurs des projections des bissectrices des angles sdS, ieS, sfS, entre les côtés des deux triangles abc et a(3y.
En effet, dans le triangle d\dg\, par exemple, est la véritable longueur de la bissectrice de l’angle sd& entre les deux plans horizontaux considérés, tandis que le côté d\S est la distance de ces deux plans-^t la différence de hauteur des
Diuiîi,iud b'/ CjOOglc
extrémités de la bissectrice par rapport au dernier plan. Le côté représente donc, à son tour (04.), la projection horizontale de la partie de la bissectrice comprise entre les deux plans. En portant sur sd prolongée une longueur d{; = $g\ , on obtiendra donc en g un point appartenant au côté a[3 parallèle à ab. En prenant de même sur se et sur sf prolongées les longueurs eh = tH, et = nous obtiendrons les points h et l appartenant aux côtés (3y et «y (pii sont parallèles aux côtés bc et ac. La section a|3y sera par suite déterminée.
Mais, connaissant les projections horizontales de deux sections parallèles faites dans la pyramide dont le sommet est le centre de la sphère demandée, on aiira immédiatement les projections horizontales de ses arêtes latérales en traçant les droites a.a, (3ô, y c. Si l’on a bien opéré, ces projections viendront se couper en un même point m, qui sera la projection horizontale du sommet de la pyramide Mnôc ou du centre de la sphère inscrite dans la jiyramide Srtôc. Comme les traces horizontales a, p, y, de ces arêtes, ont pour projections verticales sur L|T, les points a', (3', y', les projections verticales des arêtes latérales de la pyramide M«ôf seront (3'ô', y'c'; et ces projections viendront se croiser en un même point m', projection verticale du centre de la sphère cherchée.
Comme cette sphère est tangente à la base abc de la pyramide proposée, son rayon est la distance de son centre au premier plan horizontal [Géont., 261), c’est-à-dire que ce rayon est égal à m' a.
Le point de contact de la sphère et du plan abc est évidemment le point [m, g). Si l’on veut déterminer les points de contact de la sphère avec les autres faces latérales de la pyramide, il suffit de construire les points où elles sont coupées par les perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur leurs plans.
78. Trouver les points d’intersection d’une droite et d’une sphère {fg. 6i).
Nous emploierons la méthode générale indiquée au n® 48.
Soient (o, o') le centre de la sphère et {ab, a'i')la droite donnée. Si l’on décrit des points o et o' comme centres des circonférences ayant pour rayon celui de la sphère, elles représenteront : l’une la projection verticale du grand cercle de la sphère qui est parallèle au plan vertical, l’autre la projection horizontale du grand cercle de la sphère qui est parallèle au plan horizontal. Les projections de tous les points de la surface sphérique doivent évidemment tomber à l’intérieur de ces deux circonférences.
Menons un plan P par la droite (ab, a'b') et le centre (o, o'].
Ce plan coupera la sphère suivant un grand cercle, et les points où la droite (ab, a'b’) rencontrera ce grand cercle, seront ceux où elle perce la surface sphérique.
Si l’on trace par le point (o, o') une parallèle (oc, o'c') à la droite {ab, a'b'), et si l’on joint les traces horizontales a et c des deux droites, on aura H**. Rabattons le plan P sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de H*’. Abaissons od perpendiculaire sur II’’. Prenons sur LT, à partir de son point de rencontre X avec oo', une longueur Xô = od; joignons o'd et prenons à partir du point d, sur od prolongée, une longueur dot = o'è. Le point o, sera le rabattement du centre de la sphère, co, sera le rabattement de la droite (oc, o'c'). En menant ab, parallèle à co., on aura celui de la droite [ab, a'b').
Décrivons sur le plan horizontal, du point o. comme centre, une circonférence égale à celle d’un grand cercle de la sphère; elle représentera l’intersection rabattue du plan P et de la surface sphérique, ab, coupant cette circonférence en deux points m. et n,, il suffira de relever ces points pour avoir en (m, m') et en [n, n') les points d’intersection de la droite et de la sphère données.
Si ab, touche la circonférence o,, la droite {ab, a'b') est tangente à la sphère proposée; elle n’a aucun point commun avec cette sphère, si ab, n’en a aucun avec Iti circonférence o,.
