DES PLANS COTÉS

79. Nous avons vu (5) qu’un point était déterminé .par sa projection sur le plan horizontal et par sa hauteur au-dessus de ce plan. Cette hauteur est donnée en général graphiquement par la distance de la projection verticale du point à la ligne de terre. Mais on conçoit qu’on peut l’indiquer aussi numériquement. Il est très-avantageux d’opérer ainsi , c està-dire de remplacer la projection verticale par une co/e de hauteur, dans un grand nombre d’applications de la Géométrie descriptive, notamment dans celles qui se rapportent à la topographie et à la fortification.

Dans ce système, un point est représenté par sa projection horizontale et par une cote qui donne sa distance au plan horizontal choisi.

Nous regarderons comme positives les cotes des points situés au-dessus du plan horizontal, comme négatives celles des

points situés au-dessous. Le point a (fig. 62) correspondant à la cote i,4o> est la projection horizontale d’un point A de l’espace situé à i“, 4o au-dessus du plan horizontal. Le point c correspondant à la cote — 2 est la projection horizontale d’un point G de l’espace situé à 2" au-dessous du plan horizontal.

Une droite est alors représentée par les projections horizontales ou (puisqu’il n’y plus qu’un plan de projection) par les projections et les cotes de deux de ses points.

On reconnaît qu’une droite est horizontale à l’égalité des cotes des deux points donnés. Lorsqu’elle est verticale, elle se projette suivant un seul point.

Tous les dessins relatifs aux plans cotés doivent être exécutés à une échelle déterminée [Géom., 122), pour qu’on puisse convertir immédiatement les nombres en longueurs ou réciproquement.

80. Construire l’échelle de pente d’une droite donnée {fig. 62).

Construire \ échelle de pente d’une droite donnée, c’est marquer sur la projection de cette droite les points dont les cotes sont entières.

Soit la droite définie en projection par les points a et b dont . les cotes sont 1,40 et 6,3. Élevons sur ab les perpendiculaires «A et 6B qui représentent à l’échelle les hauteurs des points A et B de l’espace au-dessus du plan horizontal de comparaison. AB sera le rabattement de la droite de l’espace. Menons A^ parallèle à ab. Si nous supposons que les cotes des points P et R diffèrent de i", les deux triangles semblables AB (3, PRp, nous permettront de poser

c’est-à-dire

Pp =

ab

Bè — Afl

Le triangle PRp étant évidemment constant par rapport à la droite proposée, il en est de même de Pp. D’une manière générale, on trouve donc la distance qui sépare sur une droite donnée les projections de deux points dont les cotes diffèrent de i“, en divisant la distance des projections de deux points connus de la droite par la différence de leurs cotes.

Il est commode de donner un nom à la distance Pp t on l’appelle ordinairement l’/nterea//e ou Yunité dç , l’échelle de pente, et nous la représenterons par d.

Dans le cas de la fig. 62, on a

eè = 4*'i9 Pi B^ — Art = 4">9>

GÉOMÉTIWE DESCRIPTIVE.

par suite,

A l’échelle adoptée, les projections des points de la droite AB dont les cotes diffèrent de i“, seront donc distantes de o",oo5. . Pour passer en projection du point a dont la cote est i,4o au point dont la cote est 2, il faut évidemment prendre à droite de a les 0,6 de Vintervalle , ou, à l’échelle adoptée, o“,oo3. En portant ensuite successivement à partir du point 2, à droite et à gauche, l'unité de l'échelle de pente ou o**,oo5, on obtiendra les points 3, 4, 5, 6, etc., et les points i, o, — I, — 2, etc. Quand on a marqué ainsi les projections des points de la droite dont les cotes diffèrent de i“, elle est graduée ou son échelle de pente est construite.

Il est facile alors de trouver sur cette droite la cote d’un point dont on a la projection, ou la projection d’un point dont on a la cote. Soit le point m qui tombe entre les points 3 et 4- On divisera l’intervalle entre ces points en dix parties égales; le point m tombant entre deux des divisions obtenues, on aura sa cote à moins de o,i. Si l’on divise encore en dix parties égales l’intervalle entre ces divisions, on connaîtra nécessairement la cote du point m à moins de 0,01 et même de o,oo5. Pour trouver au contraire la projection d’un point dont la cote est donnée égale à 3", 6 par exemple, il suffit de compter à partir du point 3 les 0,6 de l’unité de l’échelle de pente.

Si l’on demande la distance des deux points a et b, on peut obérer graphiquement comme nous l’avons fait (Jig.&'î), c’est-à-dire rabattre le trapèze rectangle aèAB, et mesurer à l’échelle la longueur AB, ou bien poser

AB = v/nè’-H (B6 — \af.

Dans le cas considéré, on trouve graphiquement

et, numériquement.

AB = 6“,9o, AB = 6", 93.