Pente d’une droite [Jig

L’angle i du triangle ABj3 mesure l’inclinaison de la droite donnée sur l’horizon. La tangente de cet angle est ce qu’on nomme la pente de la droite { voir t. II, à la fin de la Note IV). Le triangle AB (3 donne

»k — Ka

ab

GÉOMÉTRIB DESCIIIKilVE.

On voit que la pente d’une droite est l’inverse de l’unité de son échelle de pente (80).

Si l’on désigne celle pente par p, on aura la relation générale

pd = I .

82. Remarque. — Au lieu du triangle AB (3, on peut, dans tout ce qui précède, considérer le triangle «66. C’est comme si l’on relevait le plan horizontal de i“,4o de manière à le faire passer par le point A. Au point de vue de la simplicité et de la rapidité des constructions, celte remarque est importante, car on n’a alors besoin de recourir à l’échelle graphique ^ qu’une seule fois, pour marquer la hauteur 66, différence des cotes des deux points a et 6.

83. Mener par un point donné une parallèle à une droite donnée {fig. 63).

Deux droites parallèles ont des projections parallèles et la même pente, par suite la même unité pour leurs échelles de pente (81).

Soit le point c dont la cote est 2,25 et par lequel on veut mener une parallèle à la droite ab. On tracera par le point c une parallèle ef 'a ab. On prendra sur ab les 0,26 ou le quart de l’intervalle, et on le portera sur ef à partir du point c dans le sens convenable. On obtiendra ainsi le point 2. Pour avoir l'écbelle de pente de ef, il suffira de porter sur celle droite, à partir du point 2, l’unité de l’échelle de pente de ab.

84. Un plan limité est représenté par les projections de ses côtés et les cotes de leurs extrémités {fig. 64). En marquant et en joignant les points de même cote sur le contour de la projection obtenue, on obtient des horizontales du plan donné.

Si l’on trace une perpendiculaire à la direction de ces horizontales, on a la projection d’une ligne de plus grande pente du plan donné par rapport au plan horizontal (20), et l’échelle de pente de cette ligne de plus grande pente se trouve alors toute construite (80).

On représente un plan illimité par la projection et l’échelle de pente d’une de ses lignes de plus grande pente par rapport au plan horizontal. Pour marquer qu’on considère le plan et non la ligne elle-même, on double le trait qui représente la projection de la ligne, et l’on a ce qu’on appelle \ échelle de pente du plan {fg. 64 et 64 bis).

La pente de l’échelle de pente du plan mesure son inclinaison sur le plan horizontal, et en menant des perpendiculaires à cette échelle de pente, on obtient les projections d’autant A’ horizontales du plan qu’on le veut. Les cotes de ces

horizontales correspondent aux cotes de l’échelle de pente, de sorte que l’horizontale menée à la cote o est la trace horizontale du plan. Ce mode de représentation revient donc à regarder le plan comme engendré par une de ses horizontales, glissant parallèlement à elle-même le long d’une de ses lignes de plus grande pente.

Comme deux parallèles déterminent un plan, on peut représenter un plan par deux quelconques de ses horizontales; on en déduit, s’il est nécessaire, l’échelle de pente du plan en menant une perpendiculaire à leur direction.

Lorsqu’un plan est horizontal, tous ses points ont la même cote, et on peut le représenter par deux droites quelconques, parallèles ou non, satisfaisant à cette condition.

Lorsqu’un plan est vertical, son échelle de pente est verticale, et on le représente alors simpleirient par sa trace horizontale.

85. Deux droites qui se coupent déterminent ou représentent un plan.

Pour reconnaître si deux droites dont les projections se coupent se rencontrent effectivement, il suffit de joindre sur ces droites les points de même cote. Si les droites proposées se coupent, on doit obtenir ainsi les projections des horizontales correspondantes du plan qu’elles définissent, c’est-à-dire des parallèles. Dans le cas contraire, les sécantes obtenues ne peuvent être parallèles.

Ayant vérifié que les droites données ab et cd {fig. 64 se rencontrent, on peut demander la cote de leur point d’intersection. On l’obtiendra immédiatement (80), si les projections des deux droites se coupent dans les limites du dessin. Sinon, il faudra opérer comme il suit.

Menons, par exemple, par le point e pris sur la droite cd et dont la cote est 12, une parallèle e/" à la droite ab jusqu’à la rencontre de l’horizontale i4 du plan des deux droites. Si l’on désigne par m la projection du point d’intersection cherché, les deux triangles semblables efc, mac, donneront

ma

= -^i d ou ma = ef

fi

ac

fi'

Si l’on exprime ef par le nombre d’intervalles correspondants de la droite ab, la distance ma sera aussi exprimée en inter-

valles. Pour avoir le rapport on mesurera à l’échelle les

fi

longueurs ac et fc. Dans le cas de la Jig. 64 bis, on trouve directement g, 4o environ pour la cote du point m; et le calcul

basé sur les mesures graphiques effectuées conduisant à ma = 4,5 donne, pour cote de ce point,

86. Construire l’échelle de pente d’un plan donné : 1“ par trois points; 2® par une horizontale et un point [JîfÇ. 65).

Soient a, b, c les trois points donnés dont les cotes sont respectivement 6, 10,7 et 8,5. Déterminons sur la droite ab 'le point d qui a la même cote que le point c (80); la droite cd sera une horizontale du plan considéré. En menant a cette horizontale par le point c la perpendiculaire P, on aura l’échelle de pente du plan. Pour graduer cette échelle, il suffit de mener ae parallèle à cef; le point e aura la même cote 6 que le point a, et l’on rentrera dans un cas déjà examiné (80).

Si le plan P est donné par le point c et l’horizontale ae, il suffit pour avoir son échelle de pente de mener par le point c une perpendiculaire à ae.

Connaissant la projection d’un point d’un plan, on voit qu’en menant par cette projection une horizontale du plan, on peut lire immédiatement sur son échelle de pente la cote du point donné.

87. Intersection de deux plans donnés par leurs échelles de pente (Jîg. 66 et 66 bis).

Soient les plans P et Q donnés par leurs échellesde pente. Pour avoir leur intersection, nous emploierons la méthode générale, c’est-à-dire que nousles couperons par des plans auxiliaires (41).

Considérons le plan horizontaj à la cote 10 : il coupera {Jig. 66) les plans P et Q suivant deux horizontales de même cote. On aura les projections de ces horizontales en menant par le point 10 une perpendiculaire à l’échelle P, et par le point 10 une perpendiculaire à l’échelle Q. Ces projections se couperont en un point i qui appartiendra à l’intersection des plans P et Q.

Considérons le plan horizontal à la cote 7 : il coupera les plans P et Q suivant deux horizontales de même cote dont on construira les projections de la même manière. Ces projections se couperont en un point / de l’intersection cherchée, de sorte que cette intersection aura pour projection il et sera complètement déterminée.

Il peut arriver que les échelles de pente des plans donnés soient presque parallèles. Il en est de même alors des projections des horizontales de ces plans, qui vont dans ce cas se rencontrer très-loin hors de l’épure. Pour lever celte difficulté, on emploie comme plans auxiliaires des plans quel-r conques.

GÉOMÉTBIF, DESCRIPTIVE. 473

Un plan quelconque peut être représenté par deux de ses horizontales (84-); ou bien, deux parallèles quelconques, définies chacune par deux points de même cote ( ces cotes étant quelconques), représentent un plan.

Traçons donc sur l’épure (fig. 66 bis) deux parallèles ab et cd, aux cotes 24 et 27, et cherchons les intersections de leur plan R avec les plans P et Q. Si l’on mène les horizontales du plan P qui correspondent aux cotes 9.4 et 27, elles couperont les horizontales de même cote du plan auxiliaire R en des points a el d : ad représentera alors l’intersection des plans P et R. Si l’on mène les horizontales du plan Q qui correspondent aux cotes 24 et 27, elles couperont les horizontales de même cote du plan auxiliaire R en des points è et c : bc représentera alors l’intersection des plans Q et R. Les deux droites ad et 6c comprises dans le plan R, se coupant en un point I, ce point sera commun aux trois plans P, Q, R, c’està-dire qu’il appartiendra à l’intersection des plans P et Q.

En traçant sur l’épure deux autres parallèles ef et gh que nous prendrons aussi, pour plus de simplicité, aux cotes 24 et 27 , et en cherchant de même les intersections du plan S qu’elles déterminent avec les plans P et Q, intersections qui seront représentées par les droites eh elfg, nous trouverons un second point / de l’intersection des plans P et Q. Cette intersection sera donc il.

Si les plans P et Q avaient leurs échelles de pente parallèles, leurs traces horizontales seraient parallèles : leur intersection serait donc une horizontale, el il suffirait d’en déterminer un seul point par le procédé qu’on vient d’appliquer.