Intersection d’une droite et d’un plan (fig

Nous emploierons la méthode générale (48).

Soient le plan P et la droite ab. Menons par les points 2 et 6, par exemple, de la droite ab, deux parallèles de direction quelconque : elles représenteront les horizontales de même cote d’un plan auxiliaire R passant par la droite ab, el comme elles couperont les horizontales correspondantes du plan P aux points i et l, la droite il sera l’intersection des plans P el R. Celte intersection il coupant ab au point m, c’est en ce point que la droite ab perce le plan P.

On peut se servir du même tracé pour trouver le point d’intersection de deux droites situées dans un plan vertical (fig. 67 bis).

Ces droites ont pour projection commune la trace horizontale H du plan qui les renferme; seulemént leurs échelles de pente sont différentes. Par les points 3i el 34 de la première droite ab, menons deux parallèles al et bi : elles repré-

CéOMÉTlUE DESCRIPTIVE.

senleronl deux horizontales d’un plan R passant par la droite ab. Par les points .3i et 34 de la seconde droite cd, menons^ deux parallèles cl et di : elles représenteront deux horizontales d’un plan S passant par la droite cd. Les horizontales de même cote des plans R et S se rencontrant aux points i et /, la droite il sera l’intersection des plans R et S. Cette intersection doit d’ailleurs contenir le point commun aux droites ab et cd. Le point m cherché se trouvera donc à la rencontre de il et de H.

89. Mener par un point donné une droite perpendiculaire à un plan donné, trouver son pied dans le plan et sa longueur

(fg- 68).

Lorsqu’une droite et un plan sont perpendiculaires, la piojection de la droite est parallèle à l’échelle de pente du plan. En effet, la projection de la droite doit être perpendiculaire à la trace horizontale du plan (23) ou aux projections de ses horizontales.

De plus, les pentes de la droite et du plan sont inverses l’une de l’autre. On le voit [fig. 68 bis) en menant par la normale N un plan vertical. Ce plan est à la fois perpendiculaire au plan considéré et au plan horizontal, c’est-à-dire à leur intersection. Il coupe donc le plan propose suivant une ligne de plus grande pente AC, le plan horizontal suivant la projection BC de cette ligne de plus grande pente. L’angle ABC — J mesure donc l’inclinaison du plan donné sur l’horizon. MaisBC représente aussi la projection de la normale NR, dont la pente correspond à l’angle R«B = i' . Le triangle rec- . tangle BR/t donne

lang i = cot i' ou tang 1 . tang f ' = i .

On a, par suite, en désignant par p et par p' les pentes du plan et de la normale,

pp'^i.

L’unité de l'échelle de pente du plan étant ^ — l’unité

de l’échelle de pente de la droite éunt t/' = — , (81), on aura nécessairement

dd'—i.

Ainsi, lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan, sa projection est parallèle à l’échelle de pente du plan, et les unités des deux échelles de pente sont inverses.

La Jig. 68 bis montre d’ailleurs que, si l’on suit dans le même sens l’échelle de pente du plan et la projection de la droite, les cotes étant croissantes sur l'échelle du plan, sont décroissantes sur celle de la droite, et vice versa.

GÉOMÉTHIE DESCRIPTIVE. 477

Ceci compris, revenons à la question posée. On donne le plan P par son échelle de pente et le point m dont la cote est i3,25 [fig. 68). En menant par le point m une parallèle à l’échelle du plan, on aura la projection de la perpendiculaire demandée. Pour graduer cette projection, on aura recours à la relation

ihl' = I.

D.ans le cas considéré, on a

rf = o«,5.

11 en résulte

On déterminera alors le point i3 en portant sur la projection de I.T droite, au-dessus du point m, le quart de l’intervalle

trouvé, c’est-à-dire, l’échelle graphique étant ici — o",oo5.

lOO

Il sera facile ensuite de construire l’échelle de pente de la perpendiculaire N (80).

Pour avoir son pied dans le plan P, nous ferons passer par N un plan quelconque R déterminé par deux droites parallèles aux cotes i3 et i5. La droite il, intersection des plans P et II, coupe N en un point a qui est le point cherché. Ce point a pour cote i4«7> - H restera à calculer ou à mesurer la véritable longueur comprise sur la normale entre les points m et a. La projection ma étant égale à 2", g, le calcul donne pour la distance MA

MA = v^2 , g’-i- 1 , 46' = 3 , 24 .

C’est ce qu’on trouve aussi en rabattant la droite en mA, en comptant les cotes à partir du plan horizontal qui passe par le point M (82).

90. Trouver la distance d’un point à une droite {fig. 68). Il suffit de mener par le point un plan perpendiculaire à la

droite, et de joindre leur point de rencontre au point donné.

En se reportant à la fig. 68, on peut supposer que le point c est le point donné et la droite ant la droite donnée. On mènera par le point c le plan perpendiculaire à la droite am. Le plan et la droite se coupant au point a, il restera à chercher la véritable grandeur de la droite oc.

91. Trouver la plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan {fig. 6g).

Nous emploierons la méthode déjà exposée (39). Soient A et B les deux droites données. Par le point 12 de la droite B, me-

lions à la droite A la parallèle C (83). Traçons l’échelle de pente du plan R (parallèle à A) qui passe par les droites B et C. Il suffira pour cela de joindre des points de même cote sur B et C, ce qui donnera des horizontales du plan R, et d’abaisser d’un point du plan une perpendiculaire sur ces horizontales.

Prenons maintenant un point quelconque sur A, le point 12 par exemple, et abaissons de ce point la perpendiculaire D sur le plan R. La projection de D sera parallèle à l’échelle de pente du plan R, et l’unité de l’échelle du plan étant o^,5, l’unité de l’échelle de la droite sera

D’ailleurs, les cotes allant en croissant sur l’échelle de pente du plan lorsqu’on marche vers la droite de l’épure, elles iront en décroissant sur l’échelle de la droite. Les droites A et D détermineront un plan P perpendiculaire au plan R, et dont on construira l’échelle de pente comme on a construit celle du plan R.

On prendra de même sur B un point quelconque, le point i4 par exemple, et on abaissera de ce point la perpendiculaire E sur le plan R. Les droites B et E détermineront un plan Q perpendiculaire au plan R.

L’intersection des plans P et Q donnera la plus courte distance demandée. En employant les horizontales de ces plans dont les cotes sont 10 et 11, on trouve que leur intersection est dirigée suivant la droite il (87). Cette droite coupe la droite A au point m et la droite B au point n, La plus courte distance cherchée va donc du point m au point n. La cote du point m est ii,53, celle du point n est 10,25 : la différence de ces cotes est donc i",28. D’ailleurs la longueur de la projection horizontale mn est 3“,45. On aura donc, pour la véritable longueur de la plus courte distance,

MN = ^3)45’-+- 1 ,28- = 3”, 68 (par excès).

Comme vérification, MN étant perpendiculaire au plan R, mn doit être parallèle aux droites D et E.