Trouver l’angle de deux droites {Jig

On peut toujours supposer que les droites données se coupent en un point dont la cote est entière, puisque l’angle de deux droites est en général l’angle formé par deux parallèles menées à ces droites d’un point quelconque de l’espace.

Soient donc les droites A et B qui se coupent au point C dont la cote est 9. Les droites A et B déterminent un plan. En joi-

' gnant les points de ces droites qui ont la cote 6, on aura l’horizontale de ce plan qui est située dans le plan horizontal à la cote 6. L’angle cherché est l’angle au sommet d’un triangle qui a pour base la partie ab de cette horizontale, comprise entre les deux droites, et dont le sommet G se projette en c. Si l’on abaisse cd perpendiculaire sur la base du triangle et si l’on joint le point C de l’espace au pointe?, on aura la hauteur de ce triangle, Lorsqu’on le rabattra sur le plan horizontal à la cote 6, son sommet viendra se placer en C, sur le prolongement de de. Pour obtenir la distance rfC,, il suffit de rabattre le triangle rectangle C ce? en ycd. On a

Un arc de cercle décrit du point d comme centre, avec dy pour rayon, donnera C»; et en joignant ce point aux points a et b, on aura en aCtb l’angle demandé.

On pourrait aussi avoir recours à la Trigonométrie, en mesurant ou en calculant les trois côtés du triangle eiéC.

Lorsque les droites considérées sont situées dans un plan vertical, on les rabat comme l’indique la Jig. 70 bis, en partant pour mesurer les cotes de tel plan horizontal qu’on veut (82). La Jig. 70 bis suppose qu’on part du plan horizontal à la cote i . En trouvant l’angle BMD des deux droites, on trouve leur point d’intersection M (88) qui se projette en m, et dont il est facile de déterminer la cote égale à 2", 6.

Pour trouver l'angle d’une droite et d’un plan, on abaisse une perpendiculaire sur le plan d’un point quelconque de la droite. L’angle que forme cette perpendiculaire avec la droite donnée est le complément de l’angle cherché.

93. Trouver l’angle de deux plans donnés par leurs échelles de pente ( fig. 71).

Nous suivrons la méthode déjà exposée (65). Soient les plans P et Q. Déterminons leur intersection il (87). Supposons qu’on mène un plan R perpendiculaire à cette intersection. Il coupera le plan horizontal à la cote 12, suivant une droite ab perpendiculaire à il, et qui s’appuiera (w a et en 6 sur les horizontales des plans P et Q qui ont la même cote. Si l’on désigne par M le point où le plan R rencontre l’intersection des plans P et Q, l’angle cherché sera l’angle aM6 du triangle Mflé. La hauteur de ce triangle est à la fois perpendiculaire à ab et à l’intersection des plans P et Q, et son pied sur ab est le point de rencontre c de il avec ab, car le point M se projette sur il. On rabattra donc l’intersection des plans P et Q sur le plan horizontal à la cote 12, en élevant ?L= a“ (la cote du

48o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

point l étant i4) perpendiculaire à il, et en joignant iL. Le rabattement de la hauteur du triangle M«6 s’obtient alors en abaissant cm, perpendiculaire sur iL prolongé s’il est nécessaire. Prenant cM = cm,, on a en «M6 l’angle cherché.

On pourrait aussi suivre la seconde méthode indiquée au commencement du n” 65.

94. Ce qui précède suffit pour montrer comment on doit appliquer les procédés ordinaires de la géométrie descriptive, lorsqu’on veut faire usage des plans cotés. Nous laisserons donc de côté les questions qui se rapportent plus spécialement au nivellement, et nous nous contenterons de donner ou d’indiquer dans le second Livre quelques applications de la méthode des plans cotés aux surfaces.

QUESTIONS PROPOSÉES

I. Vérifier que deux droites se coupent, en supposant l’une oblique aux deux plans de projection, et l’autre située dans un plan perpendiculaire à la ligne do terre.

II. Trouver Tintorseclion do deux plans dont l’un est parallèle à la ligne de terre, et dont l’autre est déterminé par la ligne de terre et un point donné.

III. Par un point donné, mener un plan parallèle à un autre plan donné qui est parallèle à la ligne de terre.

IV. Trouver la distance d’un point à un plan donné, dans le cas où le plan donné est parallèle à la ligne de terre.

V. Trouver la distance de deux plans parallèles (méthode des changements de plans).

VI. Trouver la distance d'un point à uil plan donné : i” lorsque le plan donné a ses traces en ligne droite ; a” lorsqu’il est déterminé par la ligne de terre et un point.

VU. Abaisser d’un point donné, sur une droite donnée située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre : i° un plan perpendiculaire; a" une droite perpendiculaire.

Vni. Trouver l’angle de deux droites situées dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre.

IX. Trouver l’angle de deux droites qui ont même trace horizontale.

X. Trouver l’angle de deux droites qui coupent la ligne de terre au , mémo point.

XI. Trouver Tangle de deux plans : 1“ dans le cas où leurs traces passent par un même point de la ligne de terre; dans le cas où le pre-

GÉOMÉTIUE DESCniPTlVE. 48*

mier étant donné par ses traces, le second ost donné par la ligne de terre et un point.

XII. Trouver l’intersection de deux plans donnés chacun : i“ par leur trace horizontale et un point; a“ par leur trace horizontale et leur angle avec le plan horizontal. (On peut, dans ce cas, se proposer de déterminer leurs traces verticales.)

XIII. Mener par une droite donnée un plan faisant un angle donné avec l’un des plans de projection.

XIV. Par une droite donnée dans un plan donné, mener un plan faisant « avec le plan donné un angle donné.

XV. Étant données deux droites non situées dans un même plan , mener une droite qui, s’appuyant sur elles, fasse avec chacune d’elles un angle donné.

X\T. Dans un plan donné, construire sur une base donnée un triangle équivalent à un triangle donné, et dont le sommet se trouve sur une droite donnée.

XVII. Inscrire dans une circonférence donnée un hexagone régulier dont l’un des sommets soit un point déterminé de cette circonférence.

XVm. Trouver les centres et les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un triangle donné.

XIX. Étant donnés le plan d’un cercle, l’une des projections du centre et la longueur du rayon, construire les projections du cercle.

XX. Connaissant le plan de la base d'un cube et l’une des projections d’un côté de cette base, construire les projections du cube.

XXI. Connaissant le plan de la base d’un cylindre circulaire droit, le rayon de cette base, l'une des projections du centre et la hauteur du cylindre, construire les projections de ce corps.

XXII. Mener par un point donné une droite qui fasse un angle donné avec une droite donnée (méthode des plans cotés).

XXIII. Mener par une droite donnée un plan qui ait une pente donnée (plans cotés).

XXIV. Mener dans un plan, par un point donné, une droite qui ait une pente donnée (plans cotés).

XXV. Inscrire une sphère dans un tétraèdre donné (plans cotés).

XXVI. Trouver la plus courte distance d’un point à une sphère donnée (plans cotés).

GÉ0MÉTH1E DESCaiPTlVE.