Comme nous l’avons déjà dil (G^om. 328), tome

surface peut être regardée comme engendrée par une ligne qui se meut (en variant ou non de forme) suivant une loi déterminée ; cette ligne est la génératrice de la surface.

On exprime en général la loi de son mouvement par sa rencontre constante avec d’autres lignes fixes qui sont les directrices de la surface.

La génératrice et les directrices peuvent être \>\mcs{à simple courbure) ou gauches [à double courbure). Si la génératrice, alors plane, doit rester constamment parallèle à un plan, ce plan est un plan directeur Aq la surface.

Une surface peut évidemment admettre plusieurs modes de génération.

96. On peut diviser les surfaces en deux grandes classes : les surfaces réglées, c’est-à-dire à génératrice rectiligne; les surfaces courbes proprement dites, qui n’admettent pas de génératrice rectiligne.

Parmi les surfaces réglées, il faut distinguer les surfaces développables, qui sont telles, que la génératrice rectiligne reste dans un même plan en passant d’une position à la suivante. Au point de vue pratique, on peut alors les considérer comme formées d’une infinité d’éléments plans , et l’on comprend comment on peut les étendre, les développer sur un môme plan sans déchirure ni diiplicature. Nous avons montré {Géom., 231) de quelle manière ce développement s’opère pour le cylindre et le cône considérés en Géométrie élémentaire.

Lorsque la génératrice rectiligne ne reste pas au contraire dans un même plan, en passant d’une position à la suivante, la surface réglée est gauche.

Parmi les surfaces courbes proprement dites, il faut distinguer les surfaces de révolution qui sont engendrées par une

ligne quelconque lournanl autour d’un axe fixe. Tous les plans perpendiculaires à l’axe coupent alors la surface suivant des cercles qui ont leurs centres sur l’axe et qui constituent les parallèles de la surface. Tous les plans passant par l’axe cotipent la surface suivant des courbes identiques, qui constituent ses rtiéridiens ou ses courbes méridiennes. Les parallèles et les méridiens sont perpendiculaires entre eux. Lorsque la génératrice est dans un mêpie plan avec l’axe , elle se confond avec la courbe méridienne ; sinon, celle-ci peut être prise à son tour pour génératrice de la surface [Géom. analyt., SW). Nous citerons comme exemple l’byperboloïde de révolution à une nappe [Géom. analyt., 343).

97. Parmi les surfaces réglées développables, nous considérerons spécialement les cylindres et les cônes; parmi les surfaces réglées gauches , nous considérerons spécialement la surface {'auche de révolution, ou l’hyperboloïde de révolution à une nappe.

Toute surface cylindrique est engendrée par une droite qui glisse parallèlement à elle-même, en s’appuyant sur une certaine courbe directrice {Géom, analyt., 330).

Toute surface conique est engendrée par une droite qui passe constamment par un point. fixe (centre ou sommet de la surface), en s’appuyant sur une certaine courbe directrice (Géom. analyt.’, 333).

La surface gauche de révolution est engendrée par une droite tournant autour d’un axe fixe avec lequel elle n’est pas dans un même plan (Géom. analyt., 343).

98. Une droite tangente à une courbe tracée sur une surface est tangente à cette surface. Nous avons démontré (Gêo/n. analyt., 346) que le lieu de toutes les tangentes menées à une surface par un point pris sur cette surface, était en général un plan appelé plan tangent à la surface en ce point. Nous avons remarqué de plus (Géom. analyt., 349) qu’aux points singuliers qu’une surface peut présenter, il en était quelquefois autrement. Ainsi le lieu des tangentes menées à un cône par son sommet est ce cône lui-même.

On peut aussi établir par la Géométrie le théorème fondamental qu’on vient de rappeler, en sous-entendant les mêmes restrictions.

Soit une surface quelconque. Par un point M pris sur cette surface (y?g. 72), menons un plan sécant qui détermine sur elle la courbe G. Menons à cette courbe par le point M la tangente MT. Concevons alors par le point M, sur la surface, d’autres courbes A, B, ..., qui coupent la courbe C aux

484 GÉOMÉTniE descriptive.

points a, 6, .... Les sécantes M«, M6, ..., seront dans un même plan avec la tangente MT, puisqu’elles seront dans le plan de la courbe C. Supposons maintenant qu'on fasse tourner ce plan autour de MT dans le sens convenable. On obtiendra d’autres courbes C', C", ..., dont les points d’intersection af,b', a", h", . . . , avec les courbes fixes A, B, .... se rapprocheront du point M; et les sécantes Ma', Mè', ..., Ma", Mb", ..., continueront toujours d’être dans un même plan avec la tangente MT. A la limite, lorsque les sécantes successives aux courbes A, B, . . . , seront remplacées par les tangentes M/, M/', . . . , menées par le point M à ces courbes, la même condition se trouvera donc encore remplie.

Ainsi, en général, toutes les tangentes menées à une surface par l’un de ses points sont dans un seul et même plan. .

Deux droites qui se coupent déterminant un plan, il suffira, pour construire le plan tangent en un point, d'avoir deux des tangentes à la surface qui passent par ce point.

Une droite étant à elle-même sa propre tangente, dans le cas d’une surface réglée, le plan tangent contiendra la génératrice rectiligne qui passe par le point de contact.

99. Belativement au plan tangent , il existe une différence essentielle entre les surfaces réglées développables et les surfaces réglées gauches.

Comme deux génératrices infiniment voisines sont dans un même plan sur une surface développable, toutes les tangentes aux courbes qu’on peut tracer sur la surface par les différents points de Ttyie des génératrices, sont situées dans le plan tangent mené à la surface par un point de cette génératrice. Ce plan est alors tangent à la surface tout le long de cette même génératrice.

Considérons, par exemple, un cylindre quelconque (fg. 73). Soit la courbe Mo'a" tracée sur sa surface. Le plan tangent au point A contiendra la génératrice AB passant par ce point (98), et la tangente AT menée par ce même point à la base du cylindre (en admettant que la courbe AA' A" soit cette base).

Prenons maintenant les plans sécants au cylindre menés par l’arête AB et les génératrices voisines A"B", A'B', .... Ces plans détermineront, relativement à la courbe Ma'a", les sécantes Ma", Ma', , . et relativement à la base du cylindre, les sécantes AA", AA', .... A mesure que le plan sécant considéré tournera ainsi autour de l’arête AB, pour se rapprocher du plan tangent BAT, les sécantes à la courbe Ma'a" tendront vers la tangente Mt menée à cette courbe par le point M : et les sécantes à la courbe AA' A" tendront vers la tangente AT. A la limite, le plan sécant se confondra donc avec le plan tan-

genl BAT qui contiendra alors la tangente Mt menée d’une manière quelconque en un point quelconque de la génératrice AB. Ce plan BAT sera donc tangent au cylindre tout le long de la génératrice AB du point de contact.

Comme deux génératrices infiniment voisines d’une surface réglée gauche ne sont pas, au contraire, dans un même plan , le plan tangent en un point d’une surface gauche ne l’est qu’en ce point de la génératrice rectiligne qu’il contient.

De même qu’une droite peut être à la fois tangente et sécante à une courbe, un plan peut être à la fois tangent et sécant à une surface.

100. La perpendiculaire menée au plan tangent par son point de contact est fa normale à la surface en ce point. On pourra donc, suivant les cas, déduire la consiruction de la normale de celle du plan tangent ou réciproquement.

101. Il est essentiel de montrer que la projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de cette courbe [Jig. 74).

Soit la courbe C et le plan de projection H. Pour obtenir la projection c de la courbe C sur ce plan, il faut concevoir le cylindre qui projette C perpendiculairement au plan H. Pour projeter alors la tangente MT menée à la courbe C par le point M, il faut déterminer l’intersection du plan conduit suivant MT perpendiculairement au plan II, avec ce même plan. Le plan projetant de MT contenant la génératrice Mm du cylindre Ce, sera tangent à ce cylindre tout le long de cette génératrice (99). Il contiendra donc la tangente mf menée par le point m, projection du point de contact M, à la base c du cylindre; et cette tangente sera précisément sa trace horizontale ou la projection horizontale de la tangente MT.

S’il s’agit d’une projection oblique, la proposition subsiste encore; mais elle est en défaut, dans le cas d’une tangente perpendiculaire au plan de projection considéré.

La réciproque du théorème énoncé est vraie. En effet, si la droite mt est tangente à la projection horizontale c de la courbe C, le plan projetant horizontalement MT sera tangent au cylindre Ce tout le long de la génératrice mM qui passe par le point de contact m, et contiendra la tangente menée au point M à la courbe C. De même, si la droite m' t' est tangente à la projection verticale c' de la courbe C, le plan projetant verticalement MT sera tangent au cylindre Ce' tout le long de la génératrice m'M qui passe par le point de contact m', et contiendra la tangente menée au point M à la courbe C. Donc MT, intersection des deux plans projetants, sera cette tangente.

GÉOMÉTME DE3CHIPT1VB.

Ainsi, les deux projections d’une droite étant tangentes aux deux projections d’une courbe, et leurs points de contact étant les projections d’un même point de la courbe, cette droite est tangente à la courbe.

102. On représente graphiquement une surface, en donnant les projections de certains points et de certaines lignes liés ou appartenant à la surface. Cette représentation graphique n’est complète que lorsque, un point appartenant à la surface, la connaissance de l’une de ses projections suffit pour qu’on puisse déterminer l’autre.

On a une image très-nette de la surface, quand on peut indiquer en outre ses traces sur les plans de projection (intersections de la surface par ces deux plans) et ses contours apparents sur les mêmes plans.

Nous savons [Géorn. analyt., 350) que le contour apparent d'une surface sur un plan, est la projection sur ce plan de tous les points de la surface pour lesquels le plan langent est perpendiculaire au plan de projection choisi.

Graphiquement, on entend par contour apparent la ligne qui, pour l’observateur, sépare sur la surface d’un corps les . parties visibles des parties invisibles. Cette ligne est formée par les points de contact de tous les rayons visuels menés tangentiellcment à la surface par l’œil de l’observateur. Pour que le contour apparent ne dépende pas de la position de l’observateur, on convient de regarder dans toutes les épures le point de vue comme placé à l’infini par rapport à chacun des plans de projection; ce qui fait concorder la définition graphique avec celle adoptée en Géométrie analytique. Les contours apparents sur les deux plans de projection sont alors les limites dans l’intérieur desquelles tombent, sur chacun d’eux, les projections de tous les points de la surface.

103. Les surfaces qu’on a fe plus souvent à considérer en Géométrie descriptive sont, outre les surfaces cylindriques, coniques et de révolution, déjà définies, les cinq surfaces du second ordre, savoir : l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à une nappe, l’hyperboloïde à deux nappes, le paraboloï'de elliptique et le paraboloïde hyperbolique. Nous ne reviendrons pas en détail sur la génération de ces surfaces, déjà complètement exposée (Géom. analyt., 373, 37à, 373, 379, 380).

Nous rappellerons seulement que, si les trois axes de l’ellipsoïde sont aa, 26, ic (fig. ■;5), on peut concevoir deux ellipses, l’une parallèle au plan horizontal et construite sur les axes ia, 2b; l’autre paiallèle au plan vertical et construite sur les axes 2a, ac. En faisant alors mouvoir l’ellipse hori-

GÉOMÉTHIE DESCRIPTIVE.

zontale perpendiculairement à l’axe ac, de manière que son centre décrive cetlc droite, que ses axes conservent entre

eux le rapport ^5 et que l’axe parallèle à OA soit toujours une

corde de l’ellipse (2 a, ?.c), on obtiendra l’ellipsoïde.

Des modes de génération analogues peuvent être Indiqués pour les autres surfaces du second ordre.

Nous ajouterons que l’hyperboloïde à une nappe peut toujours être engendré par une droite qui se meut en s’appuyant constamment sur trois droites fixes non parallèles à un même plan et situées deux à deux dans des plans différents; et que la môme génération convient au paraboloïde hyperbolique, si les trois droites directrices sont parallèles à un même plan directeur [Géom. analyt., 411, 430).

Le paraboloïde hyperbolique peut encore être engendré par une droite qui s’appuie sur deux droites fixes non situées dans un même plan, en restant parallèle à un certain plan directeur (Géom. analyt., 430).

104. Les définitions qui précèdent vont nous permettre de donner quelques exemples de représentation des surfaces par la Géométrie descriptive.

1“ Une surface cylindrique est complètement déterminée, si l’on donne la direction de ses génératrices et les projectioits G et G' de la courbe directrice.

En effet [fig. 76), le point M appartenant à la surface, si l’on connaît sa projection horizontale m, on pourra trouver sa projection verticale m' (102). La droite {ab, a' b') représentant la direction des génératrices, il passe par le point M une génératrice dont la projection horizontale contient m et est parallèle à ab. Gctte génératrice coupe la courbe directrice en un point P qui a pour projection horizontale le point de rencontre p de la courbe G et de la parallèle menée à ab par le point m. Par suite, la projection verticale de P est p'. En menant par le point p' une parallèle à a' b', on aura la projection verticale de la génératrice considérée, et l’on en déduira immédiatement la projection verticale ni' du point M.

2“ Une surface conique est complètement déterminée, si l’on donne son sommet (s, s') et la courbe directrice (G, G') ifig- 77)-

En effet, soit le point M de la surface, dont on connaît la projection verticale m'. s'ai' sera la projection verticale de la génératrice tracée sur la surface par le point M. s'm' coupant G' au point p’, les projections de cette génératrice seront s'p' et sp, et l’on en déduira immédiatement la projection horizontale m du point M.

3“ Une surface de révolution est complètement déterminée, lorsqu’on donne l’axe de la surface et la courbe génératrice (qu’on peut aussi regarder comme courbe directrice que doit suivre le cercle ou pcq^llèle générateur dans son mouvement).

On peut toujours supposer l’axe [ab, a' b') de la surface per-j pendiculaire au plan horizontal. Les parallèles se projettent alors horizontaleiuent en véritable grandeur, et verticalement suivant des droites parallèles à LT. Soit (fig. 78) le point M de la surface dont la projection horizontale est m. Le parallèle qui passe par le point M aura pour rayon am, sa projection horizontale peut donc être immédiatement tracée. Elle coupe la projection horizontale G de la courbe directrice en un point n. Le parallèle du point M coupe donc la courbe directrice (G, G') en un point (re, n'), et sa projection verticale m' s’obtiendra en menant par «' une droite parallèle à LT, et en abaissant du point m une perpendiculaire sur LT jusqu’à la rencontre de cette parallèle.

Le plus souvent, la surface de révolution est donnée par son axe (ab, a' b') et sa courbe méridienne (G, G') qu’on peut regarder comme parallèle au plan vertical. G' représente alors cette courbe en véritable grandeur, et G est une parallèle menée à LT par le pied de l’axe dans le plan horizontal. Pour trouver m', connaissant m, on suit la même marche que dans le cas précédent. G’est ce qu’on peut voir sur la fig. 78 bis. Elle montre qu'à une même projection- horizontale m, peuVent correspondre plusieurs projections verticales m', m\. Suivant la forme de la surface, une verticale peut en effet la percer en plusieurs points.

4“ Un ellipsoïde à trois axes inégaux est déterminé, lorsqu’on connaît deux de ses ellipses principales, l’une parallèle au plan horizontal, l’autre parallèle au plan vertical (fig. 79).

Soit m' la projection verticale d’un point M de la surface. En menant parm' une parallèle à LT, nous déterminerons en x'a, la projection verticale et le grand axe de l’ellipse qui, sur la surfoce, passe par le point M parallèlemenlau plan horizontal (103). Nous reporterons a' a', en «a, sur ««,, nous joindrons ab,, et nous mènerons «(3, parallèle à ab,. Le demi-petit axe de l’ellipse considérée sera égal à ; on pourra donc construire la projection horizontale de cette ellipse. Abaissant alors du point m' une perpendiculaire sur LT, on obtiendra en m et en m, les projections horizontales des deux points quj, sur l’ellipsoïde, ont la même projection verticale m'.

5° Pour représenter un hyperboloïde à une nappe, il suffit de donner les projections de ses trois droites directrices A, B, G (103).

Supposons qu’on veuille trouver la génératrice qui passe

ni.,.;-, c J by Cîoogk

GÉOMÉTRIE nESCniPTlVE.

par le point (m, m') de la directrice A. Nous savons {Géom. analyt., 403) que l’hyperboloïdc à une nappe admet deux systèmes de génératrices rectilignes ; deux génératrices d’un même système sont toujours dans des plans différents, deux génératrices de systèmes différents sont toujours dans un même plan; de plus, en un même point de la surface, passent seulement deux génératrices rectilignes de systèmes différents. Par suite, les trois directrices A, B, G, appartiennent à un même système; et par le point(m, m'), outre A, il ne peut passer qu’une seule génératrice. Le problème est donc ramené à conduire par un pointdonné une droite qui s’appuie sur deux autres droites données non situées dans un même plan, problème déjà résolu (53).

Pour déterminer la projection verticale d’un point M de la surface, connaissant sa projection horizontale ni, on mènera par M un plan perpendiculaire au plan horizontal, et l’on cherchera son intersection avec l’hyperboloïde. On aura ainsi un second lieu du point m'.