PLANS TAJJGENTS AUX SURFACES CYLINDRIQUES ET CONIQUES

105. Mener un plan tangent à une surface cylindrique par un point pris sur sa surface, [fig. 80).

Nous prendrons pour directrice la trace horizontale abcd du cylindre, et nous supposerons cette trace circulaire. Les génératrices de la surface sont données parallèles à la droite (ghy <?'/*')•

Proposons-nous de déterminer d’abord les contours apparents du cy lindre (102). Le contour apparent sur le plan horizontal sera formé des projections des points de contact des plans tangents à la surface, qui sont perpendiculaires à ce plan. D’ailleurs, ces plans étant tangents tout le long de la génératrice qu’ils contiennent (99) et verticaux, leur trace horizontale ( projection horizontale de cette génératrice) sera à la fois parallèle à gh et tangente au cercle abcd. On mènera donc au cercle abcd, parallèlement à gh, les tangentes ae, bi, et le contour apparent de la surface sur le plan horizontal sera formé de la demi-circonférence acb et des tangentes ae, bi. Toutes les génératrices ayant leurs traces sur la demi-circonférence acb seront donc vues en projection horizontale, tandis que celles qui ont leurs traces sur la demi-circonférence adb demeureront invisibles.

De même, pour avoir le contour apparent de la surface sur

4gO CÉOMÉTUIE DESCRIPTIVE.

le plan vertical, on remarquera que les plans tangents perpendiculaires au plan vertical ont leurs traces horizontales perporuliculaires à la ligne de terre et leurs traces verticales nécessairement parallèles à ff'/t'. It’aillenrs ees traces iiorizonlalcs doivent être tangentes à la trace horizontale du cylindre, d’après la propriété déjà rapj)elée des plans tangents aux surfaces développables (9!)). On mènera donc à la circonférence aôcd les tangentes cc', r/r/', perpendiculaires à LT; par les points c' et t/', on mènera à g'/i' les parallèles c'/r' et et le contour apparent de la surface cylindrique sur le plan vertical correspondra à ces deux parallèles. En d’autres termes, toute génératrice dont la trace horizontale se trouvera sur la demi-circonférence cat/ sera vue en projection verticale, tandis que celles dont la trace horizontale appartiendra à la demi-circonférence cùd resteront liu'isihles.

Ceci posé, soit M le point situé sur la surface et donné par sa jirojection horizontale ni. Par le point ni i)asscnl les projections horizontales //> et f/ des deux génératrices FP et LU.

On ohtiendni inunédiaienient les projections verticales/'/»' et /'/■' de CCS génératrices. Le point M donné aura donc pour projection verticale soit /»»', soit m\ . Considérons en particulier le point (wi, m'). Le plan tangent mené en ce jioint à la surface aura sa trace horizontale tangente à celle de la surface, et celle trace passeia par le point /. En effet, le platt tangent P (jui passe au point [m, m') étant tangent tout le long de la génératrice FP, rerd'erme la tangente menée par le pidnt / à la trace horizontale abcd. ün obtiendra donc U** eu menant par/ une tangente au cerd« abcJ. La trace verticale V’ <lu plan tangent passera d’ailleurs par la trace verticale /»' de la génératrice FP, et on la déterminera en unissant p' au point de rencontre de II’ avec LT.

f)n opérera de la même manière pour mener le plan langent U au point {m,, m\).

Si l!*^ ne coupait pas LT, on mènerait par le point {m, m’) une iiorizontale du plan P, pour trouver un second point de sa trace verticale. Colle construction peut au besoin servir de vérilication.

On aura une nouvelle vérification s’il est itécessaire, en cou- * slruisanl l’intersection des deux plans P et 11. Comme iis contieiment chactin une génératrice du cylindre, leur intersection doit être parallèle à la direction de ces génératrices {Géoni., 108).

On peut déterminer facilement la trace verticale de la surface, en cherchant les traces verticales do scs génératrices cl en les unissant par un trait continu. Cette trace est ici une

ellipse, puisque le cylindre est circulair&(G^o/n. 332).

On peut facilement construire un système de diamètres conjugués de cette ellipse. V*’ doit lui être.. tangente au point p' et V^, au point r'; ce qui fournit une dernière vérilication.

Si l’on donnait les projections de la courbe directrice du cylindre au lieu de la trace horizontale de la surface, on mènerait par le point donné une génératrice qui couperait la courbe directrice en un certain point. Le plan langent clierclié contiendrait celte génératrice ainsi que la tangente menée en ce point à la courbe directrice; il serait donc déterminé. Mais le plus souvent, la trace horizontale de la surface est connue et, dans tous les cas, on la construira comme nous venons de l’indiquer pour la trace verticale.

lOG. Mener un plan tangent à une surface cylindrique par un point extérieur {Jig. 8i).

Par le point donné (m, m'), on mènera une parallèle {gh, g' h') aux génératrices de la surface ; elle sera tout entière dans le plan cherché qui doit contenir une de ces génératrices. La trace horizontale de ce plan passera donc par le point g, et sa trace verticale par le point h'. D’ailleurs la trace horizontale du plan langent doit être tangente à la trace horizontale abcd de la surface. Il suffira donc de mener par le point g^une tangente à cette circonférence, pour avoir 11*’. On aura ensuite en Joignant avec h' le point de rencontre de IL et de LT. Comme on peut mener par le point g deux tangentes à la circonférence abcd, les deux plans P et R répondront à la question. 11 sera, dans tous les cas, facile de construire v’’ et V“, puisque la génératrice de contact est connue pour chacun de ces plans.

107. Mener un plan tangent à une surface cylindrique, parallèlement à une droite donnée (fig- 8a).

Le plan tangent cherclié P devant être parallèle à la droite {ef, e'/'), si l’on mène par un point de celte droite une parallèle {gh, g'h') aux génératrices de la surface, ces deux droites détermineront un plan Q parallèle au plan P, puisque tout plan langent contient une génératrice de la surface.

devant être à la fois parallèle à II'^ et tangente à la trace horizontale rtftccf du cylindre, le problème reviendra à mener à celle circonférence une tangente parallèle à une direction donnée. On aura ainsi deux solutions II’’ cl II”.

Les traces verticales V” et V” seront toutes deux parallèles à V®. On les construira facilement dans tous les cas, puisque

492 GÉOMÉTRIE DESCniPTIVE.

les génératrices de contact des deux plans P et R sont déterminées. L’épure donne tous les détails nécessaires.

108. Remarque. — Il faut se rappeler qu’un plan dépend de trois conditions. Comme le plan tangent à une surface développable contient toujours une génératrice de la surface, on ne peut plus l’assujettir qu’à une seule condition.

109. On peut proposer relativement à la surface conique les mêmes problèmes que nous venons de résoudre pour la surface cjlindrique. Nous allons les exposer, en entrant seulement dans moins de détails.

Mener un plan tangent à une surface conique par un point pris sur sa surface [fig. 83J.

Nous supposerons la surface conique donnée par sa trace horizontale abcd (circulaire dans l’épure) et par son sommet [s, s').

On commencera par déterminer les contours apparents de la surface, en opérant comme nous l’avons fait au n“ 105. On verra ainsi que le contour apparent sur le plan horizontal est formé de la portion de trace horizontale acb et des tangentes sa, sb, menées à cette trace par le point s. Quant au contour apparent sur le plan vertical, il sera formé des droites s' c', s'd'. 11 faut remarquer que le sommet (s, s') séparant les deux nappes de la surface, les génératrices vues sur l’une des nappes ont leurs prolongements invisibles sur l’autre nappe, et réciproquement. C’est ce qu'indique l’épure.

Ceci posé, on veut construire le plan tangent en un point M de la surface, donné par sa projection horizontale m. Le plan langent cherché contient la génératrice qui passe par le point M cl dont la projection horizontale est nécessairement sm. Cette projection horizontale coupant la trace horizontale de la surface en deux points/ et l, les deux génératrices FP et LR répondront également à la question, cl la projection horizontale m correspondra à la projection verticale m' ou suivant qu’on regardera le point M comme appartenant à l’une ou à l’autre de ces génératrices. Considérons en particulier le point (m, m'). Le plan tangent qui passe par ce point contient la génératrice FP. Sa trace horizontale II’’ passe donc par la trace horizontale f de celte génératrice et est tangente à la trace horizontale abcd de la surface. Quant à sa trace verticale V**, on l’obtiendra ici en construisant la trace verticale p' de la génératrice FP et en se servant en outre de l’horizontale du plan (mg, m'g') qui passe par le point (m, m').

On construira de même le second plan tangent R qui passe par le point {/«,, m\). Comme 11'* rencontre LT, il suffira pour

CÉOM^.TniE DESCHIPTIVE. 4g3

déterminer V" de construire la trace verticale r' de la génératrice LR.

Comme vérification, l’intersection des plans tangents P et R, qui renferment chacun une génératrice, doit contenir le sommet (i, s') de la surface.

110. Mener un plan lancent à une surface conique par un point extérieur (jig- 84 )•

Soit (m, ni') le point donné. Le plan tangent mené par ce point renferme une génératrice de la surface et, par conséquent, son sommet. Donc le plan cherché contient la droite (sm, s' ni') dont la trace horizontale est/. La trace horizontale de ce plan passera donc par le point / et sera tangente à la trace horizontale abed de la surface. Il y aura, par suite, deux solutions H’’ et H*. Pour trouver les traces verticales des plans P et R, on n’aura qu’à joindre les points de rencontre de h’’ et de H“ avec LT, à la trace verticale de la droite [sm, s'm'). Si on ne peut le faire, on construira les génératrices de contact des plans P et R ou des horizontales de ces plans comme l’indique l’épure.

111. Mener à une surface conique un plan tangent parallèle à une droite donnée [fig- 85).

•Soit [gh, g' h') la droite donnée. Le plan tangent cherché devant passer par le sommet (s, s') et être parallèle à la droite (gfi, g' h'), contiendra la parallèle [sf, s'f) menée à cette droite par le point (s, s'). En menant par la trace horizontale f de cette parallèle des tangentes à la trace horizontale abcd de la surface, on obtiendra donc les traces horizontales Il‘“ et H*' des plans P et R qui répondent à la question. On déterminera les traces verticales V** et V‘‘ comme dans le cas précédent. Dans l’épure, on s’est servi de deux horizontales menées dans chacun des plans tangents par le sommet [s, s'),

112. Ce qui précède permet de résoudre simplement certains problèmes relatifs à la ligne droite et au plan.

Proposons-nous, par exemple, défaire passer par une droite donnée un plan dont l’angle avec le plan horizontal soit donné [fig. 86).

• Soit [ab, a' 6') la droite donnée. Prenons le point [b, b') pour sommet d’un cône de révolution à axe vertical, dont les génératrices fassent avec le plan horizontal l’angle donné cl. On obtiendra le rayon bc de la base de ce cône, en construisant l’angle bb'c complémentaire de l’angle a. Tous les plans tangents au cône ainsi déterminé, font évidemment l’angle «avec le plan horizontal; car la génératrice de contact et le rayon

4y4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

correspondant de la base du cône (qui font entre eux l’angle a), sont tous deux perpendiculaires à la trace horizontale du plan considéré. 11 suflira donc de mener par la trace horizontale a de la droite (ab, a'b') une tangente au cercle bc, pour avoir la trace horizontale Ir du plan demandé. On aura immédiatement sa trace verticale en joignant au point b', trace verticale de {ab, a'b'), le point de rencontre de 11®^ avec LT. |

Il y a en général une seconde solution qu'on n’a pas indi- • '

quéo sur l’épure. Pour que le problème soit possible, il faut *

qu’on ait ba > bc, c’cst-à-diro il faut que la droite donnée i

fasse avec le plan horizontal un angle inférieur à a. I

La méthode à suivre serait la même si l’on voulait mener !

par line droite donnée un plan faisant un angle donné avec un plan donné.

On ramènerait cette question à la précédente, en opérant ,

les transformations nécessaires pour pouvoir considérer le plan donné comme plan horizontal de projection.

113. On se baserait encore sur le même procédé, si l’on voulait me/icr é un cy lindre ou à un cône un plan tangent faisant un angle donné x avec le plan horizontal.

Dans le premier cas, on construira un cône de révolution à axe vertical ayant sa base sur le plan horizontal, et dont les génératrices feront avec ce plan l’angle voulu. Puis, remarquant que le plan cherché doit contenir une des génératrices du cylindre, on mènera par le sommet du cône une parallèle à la direction de ces génératrices. Par cette droite (qui contient le sommet du cône), on lui mènera un plan tangent (HO), et il restera à mener au cylindre un plan tangent parallèle au plan ainsi obtenu, c’est-à-dire parallèle à sa génératrice de contact avec le cône (107).

Si la parallèle menée par le sommet du cône aux génératrices du cy lindre tombe dans l’intérieur de la base du cône, le problème proposé n’admet aucune solution.

Dans le second cas, on construira le cône de révolution auxiliaire en lui donnant même sommet que le cône proposé.

La question sera alors ramenée à construire un plan tangent commun aux deux surfaces coniques. La trace horizontale du plan cherché sera donc la tangente commune aux traces horizontales de ces deux surfaces.

On pourrait opérer de la même manière dans le premier cas, en plaçant le sommet du cône de révolution sur l’une des génératrices de la surface cylindrique.