PLANS TANGENTS AUX SURFACES DE RÉVOLUTION

115. Le plan langent en un point donné d’une surface de révolution jouit d’une importante propriété ; Il est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact.

En effet, par le point de contact passent un méridien et un parallèle de la surface, et ces deux plans, perpendiculaires entre eux (9G), se coupent suivant le rayon du parallèle qui correspond au point de contact. La tangente menée au parallèle par le point de contact est perpendiculaire à ce rayon : elle est donc perpendiculaire au plan méridien (Géoni., 183), et comme elle est tout entière dans le plan langent, le plan tangent lui-même est perpendiculaire à ce plan méridien , qu’il coupe suivant la tangente menée à la courbe méridienne par le point de contact.

La normale à la surface , ou la perpendiculaire menée au plan

langent par le point de contact, sera par suite comprise dans le plan méridien du point de conucl, et ira rencontrer l’axe. Ainsi la normale en un point quelconque d’une surface de révolution est dans un même plan avec l’axe.

Remarquons que, d’ajires la symétrie de la surface autour de ‘ l’axe, les normales ou les tangentes à la courbe méridienne, menées par les différents points d'un même parallèle, doivent venir eouper l'axe au même point. En d’autres termes, si l’on considère la courbe méridienne dans une certaine position, et un point pris sur cette courbe, la tangente à la courbe méridienne et la normale à la surface en ce point engendreront, pendant le mouvement de la courbe méridienne autour de l’axe, deux surfaces coniques ayant même axe que la surface de révolution et circonscrites à celle surface suivant le parallèle du point donné.

116. Nous pouvons maintenant nous proposer de mener un plan tangent à une surface de révolution par un point pris sur la surface [fig. 88).

Soit un ellipsoïde de révolution, que nous supposerons donné par son axe perpendiculaire au plan horizontal et par sa courbe méridienne parallèle au plan vertical. Cette courbe se projettera en véritable grandeur sur le plan vertical suivant l’ellipse a'b'c'd', et elle y formera le contour apparent de la surface. Le contour apparent sur le plan horizontal sera le cercle ab , projection de V équateur de la surface. En effet , aux différents points de l’équateur, les plans tangents sont perpendiculaires au plan horizontal comme contenant les tangentes verticales aux différentes courbes méridiennes passant par ces points. De même , aux différents points de l’ellipse méridienne parallèle au plan vertical’, les plans tangents sont perpendiculaires au plan vertical, puisqu’ils sont tous perpendiculaires au plan de l’ellipse méridienne (115).

La projection veriicalg de l’équateur se confond d’ailleurs avec a'b' , tandis que la projection horizontale de l’ellipse méridienne se confond avec ab. L’axe a pour projection horizontale le centre o du cercle ab, et pour projection verticale la perpendiculaire o'z' à LT.

Soit un point M de la surface donné par sa projection horizontale m. On aura immédiatement la projection horizontale om du parallèle passant paf ce point. Cette projection horizontale coupe en n la projection horizontale ab de l’ellipse méridienne. A ce point « correspondent sur la projection verticale de cette ellipse deux points n' et En menant par chacurv de ces points une parallèle à LT, on aura les pro-, jection.s verticales des parallèles qui, placés symétriquement

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GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ■' - 4s}7

par rapport à l’équaieur, se confondent en projection horizontale avec le cercle om. Le point de la surface dont la projection horizontale est m, peut donc avoir pour projection verticale m' ou ni\. Construisons d’abord le plan tangent qui passe par le point (m, m').

Par le point menons une tangente à l’ellipse a'b'v'd'. Cette tangente coupera o'z' en z'. Le point z' représentera, d’après une remarque précédente (tl5), la projection verticale du point commun à toutes les tangentes menées au\ méridiens de la surface par les différents points du parallèle auquel appartient le point (m, m'). En joignant le point z’ au point m', on aura donc la projection verticale de la tangente menée en ce point au méridien correspondant. Comme ce méridien (perpendiculaire au plan horizontal) a sa projection horizon- ' taie dirigée suivant om, il en sera de môme de la projection ‘ horizontale de la tangente considérée. On aura donc immédiatement sa trace horizontale en t. D’ailleurs la tangente menée par le point (m, m!) au parallèle qui passe par ce point, a pour projection horizontale la tangente ml au cercle om, et pour projection verticale la parallèle m'V à Lï (101). Cette tangente étant une horizontale du plan P cherché , on aura immédiatement H*’ en menant une perpendiculaire à om par le point t, et V’’ en joignant le point de rencontre de H’’ et de Lï au point V .

Si H** ne rencontre pas LT dans les limites de l’épure , on peut remarquer qu’en menant par le point n' à l’ellipse a'b'c'd' la normale n'a.', on obtient en a! sur o'z' la projection verticale du point commun à toutes les normales menées à la surface par les différents points du parallèle considéré. Par conséquent, a'm' sera la projection verticale de la normale à la surface au point (m, m'); et pour avoir V^, il suffira d’abaisser du point /' une perpendiculaire sur la direction a'm'. Dans tous les cas, la remarque qu’on vient de faire fournit une vérification coçimode.

On peut en avoir une secondé, en observant que le cône de révolution décrit par la tangente à la surface dont la projection verticale est n'z' (cette tangente est parallèle au plan vertical), a nécessairement pour trace horizontale la circonférence décrite du point o comme centre avec oO pour rayon. Le point t doit donc se trouver sur cette circonférence.

Pour conélruire le plan tangent R mené à la surface par le point (m,, m',), on opérera d’une manière identique, comme lÜndique l’épure.

Tout ayant lieu, pour les deux plans P et R, symétriquement à l’équateur de la surface , les projections verticales des tan-