III. ' 3a

4g8 GÉOMÉIRIE DESCRITTIVE.

gentes aux courbes méridiennes, savoir z'n' el z \ n\, z'ni' et s' , doivent se couper respecii veinent en des points f/ eir' situés sur le prolongement de a'6'. Les deux plans P et R dont les traces horizontales sont parallèles, se couperont alors suivant une horizontale située dans le plan de l’équateur. La projection verticale de cette horizontale se confondra donc avec a' b'. En d’autres termes, le prolongement de a! b' passera, si les tracés sont exacts, par le point d’intersection i' des traces V et V*'.

Remarque. — Dans les surfaces de révolution à axe vertical, . le plan tangent a toujours sa trace horizontale perpendiculaire à celle du plan méridien qui passe par le point de contact. On s’en rend compte à priori en se rappelant (IIS) que le plan tangent est perpendiculaire à ce plan méridien. Ce dernier étant perpendiculaire au plan horizontal, une droite qui y sera tracée perpendiculairement au plan tangent y sera contenue tout entière, et aura pour projection horizontale la trace horizontale du plan méridien.

117. Nous savons mener le plan tangent à une surface de révolution 'par un point de la surface ; mais s’il faut faire passer ce plan tangent par un peint extérieur, ou le mener parallèlement à une droite donnée, ou le faire passer par une droite donnée, etc., la question devient un peu plus difficile que pour les cônes et les cylindres. Nous nous bornerons donc, pour compléter ce qui précède, à quelques généralités utiles à connaître.

118. Pour mener à une suif ace un plan tangent par un point extérieur, on fera passer par ce point des plans coupant la surface. Ces plans détermineront sur la surface des courbes auxquelles on mènera des tangentes par le point donné. Ces tangentes formeront un cône dont le point donné sera le sommet, et qui sera circonscrit à la surface le long de la courbe des points de contact obtenus. Les deux surfaces auront évidemment en tous ces points même plan tangent. Par suite, la question sera ramenée à construire le plan tangent à un cône en son sommet, et elle sera susceptible d’une infîniié de solutions (sauf les cas particuliers) à moins qu’il ne s’agisse d’une surface développable (108).

La méthode générale indiquée se simplifie, lorsque la surface proposée est de révolution (Note IV). *

On voit que l’esprit de cette méthode consiste à substituer à la surface donnée un cône circonscrit ayant pour sommet le point donné et pour courbe directrice la courbe suivant laquelle il touche la surface.

flÊOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ' 4,99

119. Pour mener à une surface un plan lancent parallèle à une droite donnée, on fera passer par celle tJroile des plans coupanl la surface. Aux courbes délerminées par ces plans, on mènera des langenies parallèles à la droiie donnée. Elles formeronl un cylindre circonscril à la surface le long de la courbe des poinls de conlaci oblenus. Les deux surfaces auroni évidemmeni en lous ces poinls même plan langenl. Par suile, la queslion sera ramenée à conslruire le plan langenl en un poini de la surface d’un cylindre, ei elle sera susceplible d’une infinilé de solulions (sauf les cas parliculiers] à moins qu’il ne s’agisse d’une surface développable (108).

La mélhode générale indiquée se simplifie, lorsque la surface proposée esl de révolulion (Noie IV).

On voil que l’espril de celle jnéihode consisle à subsiiiuer à la surface donnée un cylindre circonscril ayant ses générairices parallèles à la droile donnée el pour courbe direclrice la courbe suivani laquelle il louche la surface.

120. Pour mener à une surface un plan tangent passant par une droite donnée, il faul circonscrire successivemenl à la surface deux cônes donl les sommels soieni sur la droile donnée (118). Les courbes de conlacl de ces deux cônes se couperoni en cerlains poinls. Toul plan langenl mené en ces points à la surface proposée sera aussi tangent aux deux cônes circonscrits et contiendra leurs sommels, c’esl-à-dire la droite donnée.

Le problème énoncé esl impossible, lorsqu’il s’agit d’une surface développable (108). 11 se simplifie selon la nature de la surface donnée. Nous irailerpns, comme exercice, le cas ' particulier suivant :

Faire passer par une droite donnée un plan langent à une sphère donnée {fig. 8g).

Nous supposerons le centre o de la sphère placé sur la ligne de terre ; celte sphère sera alors coupée par les plans de projection suivant deux grands cercles qui se confondront dans l’épure. Soient ab, a'b' , les projections de la droile donnée. Menons par sa trace horizontale a deux tangentes ac, ad, au grand cercle situé dans le plan horizontal. Si l’on fait tourner ces tangentes autour de l’axe ao, elles engendreront un cône qui touchera la sphère suivani un petit cercle perpendiculaire à do, c’esl-à-dire au plan horizontal, et donl la projection horizontale sera le diamètre cd.

Par la trace verticale b' de la droile donnée, menons deux langenies b'e', bf, au grand cercle situé dans le plan vertical. Si l’on fait tourner- ces tangentes autour de l’axe b'o, elles engendreront un cône qui louchera la sphère suivani un petit

GÉOMÉTRIE nESCRIPTlVE.

5oo

rercle perpeiidirulaire à b'o, c’est-à-dire au jilan vertical, et dont la projection verticale sera le diamètre e'f.

Les points d’intersection des circonférences cd, e'f, sont, d’après ce qui précède, les points de contact des plans tangents demandés. Les projections horizontales de ces points tombant sur cJ, tandis que leurs projections verticales appartiennent à e'f, CCS droites représenteront la projection horizontale et la projection verticale de la corde qui joint les points de contact cherchés. Pour les déterminer, il suffira donc de construire les points de rencontre de cette corde avec l’une des deux circonférences cd, e'f.

Rabattons, par exemple, la circonférence cd sur le plan horizontal en la faisant tourner autour de son diamètre. Ce rabattement sera la circonférence décrite sur cd comme diamètre dans le plan horizontal. Pour obtenir le rabattement de la corde qui joint les points de contact, il faudra d’abord construire les points g"' et A où elle perce les deux plans de projection. On élèvera ensuite gg'> = gg' perpendiculaire à cd, et on joindra les points h et g,. La corde hg„ ainsi rabattue, coupant la circonférence cd rabattue en deux points l, et m„ ces points seront les points de contact rabattus. On obtiendra donc immédiatement leurs projections en (/, V) et en (m, m').

Le plan tangent à la sphère étant perpendiculaire à l’extrémité du rayon mené au point de contact, on aura les traces des deux plans tangents P et R, en abaissant des points a et b' des perpendiculaires sur les droites ol et ol', om et om’.

Comme vérification, on doit avoir

11' = II, et [im' = mm,.

Au lieu de la méthode générale appropriée au cas de la sphère, on aurait pu suivre la marche indiquée en Géométrie {Compl. de Géom., 117).

121. Pour trouver le plan tangent commun à deux surfaces, il suffira de circonscrire à ces surfaces deux cylindres dont les génératrices soient parallèles à une même direction. On déterminera les traces horizontales de ces cylindres. Tout plan tangent commun à ces cylindres le sera évidemment aux surfaces proposées.

On aura la trace horizontale du plan tangent commun aux cylindres circonscrits, en menant une tangente commune à leurs traces horizontales. Il sera facile ensuite de déterminer la trace verticale de ce plan. Il y aura autant de solutions qu’on pourra mener de tangentes communes aux deux traces horizontales.

On voit que le nombre des solutions du problème général

GÉO.UÉTIIIE DESCRIPTIVE. 5oi

csl illiniilé, puisque la direction commune des génératrices des cylindres circonscrils reste indéterminée.

Lorsque l’une des surfaces données devient développable, le cylindre qui lui est circonscrit se change en un ou plusieurs plans, et le problème devient déterminé ou impossible. Lorsque les deux surfaces données sont développables, le problème est impossible (sauf les cas particuliers). Dans le cas génépi, toutes les solutions se trouveront rassemblées lorsqu’on pourra construire une surface développable circonscrite à la fois aux deux surfaces proposées, en ce sens que tout plan tangent à la surface développable le sera aux deux surfaces considérées.

Nous indiquerons comme exercice la question suivante r

Par un point donné , mener un plan tangent commun à deux sphères données {Comgl. de Géom., 118).

On peut prendre pour plan horizontal de projection le plan déterminé par la ligne des centres des deux sphères et par le point donné. Ce plan coupera les sphères suivant deux grands cercles. Si l’on mène les tangentes communes extérieures .'i ces deux grands cercles, et si on les fait tourner autour de la ligne des centres, on engendrera un cône circulaire droit dont la même nappe sera circonscrite aux deux sphères. Tout plan tangent à ce cône le sera évidemment aux deux sphères. La question sera donc ramenée à conduire par le point donné un plan tangent au cône circonscrit’, ou, ce qui revient au même, à conduire un -plan tangent à l’une des sphères données par la droite qui joint le point donné au sommet du cône circonscrit (120).

En menant les tangentes communes intérieures aux deux grands cercles situés dans le plan horizontal de projection, et en les faisant tourner autour de la ligne des centres, on engendrera un autre cône circulaire droit dont chaque nappe sera respectivement circonscrite à l’une des sphères proposées. En considérant ce cône, on obtiendra deux nouvelles solutions. On peut donc, en général, mener par un point donné quatre plans tangents communs à deux sphères données.

L’exécution de cette épure fournira au lecteur un exercice utile.

Le problème dont on vient d’exposer la solution permettra^ de traiter le suivant : Construire les plans tangents communs à trois sphères données.

Hyperboloïde de révolution.

122. Nous avons vu (Géom. analyl., 432) que l’hyperboloïde de révolution à une nappe pouvait être engendré, soit par

5o?. GÉOMÉTniE DFSCBIPTIVE.

une hyperbole tournant autour de son axe imaginaire, soit par une droite non située dans un même plan avec l’axe autour duquel elle tourne. Nous voulons rappeler, en nous«ppuyani sur les seuls principes de la géométrie descriptive, les propriétés les plus importantes de l’hyperboloïde de révolution, et lui mener un plan tangent en un point donné.

123. L’axe (oz, o'z') de la surface étant vertical nous supposerons que la génératrice, lorsqu’elle est parallèle au plan vertical, a pour projections les droites gd, g'd'. Si du point O comme centre, avec og pour rayon, nous décrivons une circonférences elle représentera la trace de la surface sur le plan horizontal. La plus courte distance de la génératrice à l’axe ne peut changer. La génératrice étant donnée dans un plan parallèle au plan vertical et dont la trace horizontale est gd, cette plus courte distance s'obtiendra en abaissant du point O sur gd la perpendiculaire od (Géom., 185). Le cercle décrit du point o comme centre avec od pour rayon, sera alors la projection horizontale du plus petit parallèle de la surface ou de son cercle de gorge. Les projections horizontales de toutes les génératrices de la surface seront tangentes à ce cercle. Pour avoir la projection verticale du cercle de gorge, il suffira de mener par le point d' une parallèle à LT. Les projections horizontales des différents points de la surface tomberont en dehors du cerclé od. Le plan du cercle de gorge est un plan de symétrie de l’hyperboloïde.

Il est facile de voir que la surface considérée peut être engendrée par une droite de deux manières différentes. En effet, prolongeons g^c^usqu’à son autre rencontre en / avec la trace horizontale de l’hyperboloïde. La droite (Id, l'd') fera avec l’axe le même angle que la droite {gd, g' d'), et ces deux droites seront placées symétriquement par rapport au plan conduit suivant l’axe perpendiculairement à LT. D’ailleurs, la droite [Id, l'd') tournant autour de l’axe (oz, o'z') engendrera aussi un hyperboloïde de révolution. Il faut prouver que les deux hyperboloTdes se confondent. Considérons deux points (e, e'), ( f, /'), situés à la même hauteur sur les deux droites proposées. La symétrie de la figure montre qu’on aura

de=-df

et, par suite,

oe = of,

c’est-à-dire que les deux points décriront le nacme parallèle. Ainsi l'hyperbolo'ide de révolution à une nappe admet deux systèmes de génératrices rectilignes. Tout ce qu’on a dit rela-

I^ÉOMÉTRIK DESCRIPTIVE. ÔO.'Î

tivemenl a|ix génératrices du premier système, doit se répéter pour celles du second.

Si l’on (ail tourner la génératrice {gd, g'd') de deux droits, sa projection horizontale devient /, d, et sa projection verticale l'd', de sorte qu’elle est parallèle à la génératrice (/rf, l'd').

' Donc, à une génératrice du premier système, correspond toujours dans le second système une génératrice parallèle.

124. Pour construire {Jig. 90) la section méridienne de la surface qui est parallèle au plan vertical, nous n’aurons qu’à déterminer les points d’intersection de ses différents parallèles avec le plan vertical dont la trace horizontale est représentée par la parallèle aob à LT.

Par exemple, le parallèle dont la projection horizontale est le cercle oe ou of et dont la projection verticale est la droite e' f, coupe le plan méridien aob en deux points (e, e'), (9, <p'), qui appartiennent à la section méridienne.

En désignant par 0 l’angle constant de l’une des génératrices avec le plan horizontal et par r le rayon du cercle de gorge, le triangle d'p'f, par exemple, donnera

/'p'»= </'p'’cot’6.

Mais

f'p'^ =fd^= of^ — orf’ = p'9'* — r’;

par suite,

p'9" — rf'p"cot’6 = rL

p'9' et d'p' représentent les coordonnées d’un point 9' de la projection verticale de la section méridienne, par rapport aux axes a'j3' et o'z'. Celte section sera donc une hyperbole — j’cot*9 = r’) ayant pour axe Iransverse le diamètre du cercle de gorge. Les asymptotes de cette hyperbole seront Iq^ droites

y = ±a:tang6.

Ces asymptotes se projetteront donc verticalement suivant §•'</' et l'd', et horizontalement suivant y o et c’est-à-dire qu’elles seront parallèles aux génératrices principales {gd, g'd') et {Id, l'd').

125. L’hyperbole qu’on vient d’obtenir {Jig, 90) représente le contour apparent de la surface sur le plan vertical, car le plan tangent en un point quelconque dé celle hyperbole est perpendiculaire au plan méridien correspondant (115), et, par suite, au plan vertical auquel ce plan méridien est parallèle.

De même, en tous les points du cercle de gorge, la tangente au méridien est verticale, puisque le cercle de gorge est décrit par l’un des sommets de l’hyperbole anéridienne..

5o4 GÉOMÉTRIE DESCnlPTIVI^ * .

Donc, les plans tangents au\ différents points du cercle de ®

gorge sont verticaux, et la projection horizontale de ce cercle représente le contour apparent de la surface sur le plan horizontal.

• 126. Par un point pris sur la surface, passent toujours deux génératrices de systèmes différents (fg. 90).

Soit la projection horizontale m de ce pdint. On déterminera sa projection verticale ni' en construisant la projection verticale du parallèle auquel il appartient, à l’aide des points de rencontre de ce parallèle avec les génératrices (gd, g'd'),

(id, l'd'). Des deux points de la surface situés sur la verticale qui passe au point m, nous considérons celui qui est inférieur au cercle de gorge.

Ceci posé , si l’on fait tourner la génératrice [gd, g'd') jusqu’à ce qu’elle vienne passer par le point (m, m'), on obtiendra pour cette génératrice la projectipn horizontale pms tangente au cercle od, et la projection verticale p'm's'.

Si l’on fait tourner la génératrice [Id, /'</') jusqu’à ce qu’elle • vienne passer aussi par le point (m, m'), on obtiendra pour cette génératrice la projection horizontale qmt tangente au cercle od, et la projection verticale q'm't' .

On ssiil A’aiWeurs {Géom. anal., ïÔk) que deux génératrices '

il’un même système sont toujours dans deux plans différents.

127. Pour avoir le plan tangent au point [m, m'), il suffit de conduire un plan par les deux génératrices de systèmes différents (ps, p's') et [qt, q't') qui passent par ce point sur la surface (98). La trace horizontale H** de ce plan sera donc immédiatement connue, puisque c’est la corde st de la trace horizontale de la surfac-e. Quant à la trace verticale du plan tangent, on l’obtiendra en construisant l’horizontale du plan qui passe par le point [m, m'). On peut aussi déterminer la trace verticale de l’une des génératrices qui passent par ce point.

Le plan tangent P coupe l’hyperboloïde suivant les deux génératrices considérées, c’est-à-dire qu’il n’est langent qu’au point (m, m') de chacune d’elles. Qu’on fasse en effet glisser le point m sur ps, le point (m, m') variera sur la génératrice [ps,p's') et le point t changera lui-même de position sur la trace horizontale de la surface. En chaque point de la génératrice (ps, p's'}, il y a donc un nouveau plan langent. Le '

])lan P coupe le cercle de gorge suivant la droite {pq,p'q’)-