SECTIONS PLANES

Notions préliminaires.

129. Dans les applications de la Géométrie descriptive, ou a souvent besoin de déterminer l’intersection de deux surfaces.

La méthode générale consiste à couper les deux surfaces proposées S et S' par une série de surfaces auxiliaires P convenablement choisies. L’une de ces surfaces auxiliaires coupera la surface S suivant une courbe t et la surface S' suivant une courbe a’. Si les courbes u et <7' présentent des points communs, ces points appartiendront à la fois aux deux surfaces S et S'. On reconnaîtra d’ailleurs que les courbes a et a' se coupent, en vérifiant que les points d’intersection des projections horizontales et verticales de ces courbes, sont deux à deux situés sur une même perpendiculaire à LT.

En faisant varier la position de la surface auxiliaire P, on obtiendra les projections d’autant de points de l’intersection des deux surfaces qu’on voudra ; il restera à unir par un trait continu les points obtenus sur chaque plan de projection, tyest ainsi qu’on construira les projections de l’intersection des deux surfaces données.

5od ' GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Les surfaces auxiliaires doivent être choisies aussi simples que possible : ce seront donc, en général, des plans. On construira, pour chaque plan auxiliaire, les projections horizontales des courbes u et ff'; et l’on déterminera les projections verticales de leurs points d’intersection par la seule condition que ces points se trouvent dans le plan auxiliaire considéré.

Lorsque la nature de la question laissera arbitraire la direction à donner' aux plans auxiliaires, il sera préférable de les prendre parallèles au plan horizontal. Comme les courbes a et a' auront alors pour projection verticale commune la parallèle à LT qui représente la trace verticale du plan employé, on trouvera tout de suite les projections verticales de leurs points d’intersection.

Dans tous les cas, les surfaces auxiliaires doivent être choisies ou dirigées de manière à couper les surfaces proposées suivant des lignes qu’on puisse, s’il est possible, construire immédiatement, comme des droites ou des circonférences.

S’il s’agit, par exemple , de deux surfaces cylindriques, on devra prendre les plans sécants parallèles aux génératrices des deux surfaces. Chaque plan sécant coupera alors les deux surfaces suivant quelques-unes de leurs génératrices, c’està-dire suivant des lignes droites.

130. On sera aidé dans la construction des projections de la courbe d’intersection des deux surfaces^ar la détermination de la tangente aux différents points de cette courbe. Il faut, en effet, se rappeler (101) que les projections de la tangente à une courbe sont tangentes aux projections de cette courbe.

Or la tangente en un point de la courbe d’intersection appartient à la fois aux deux plans tangents menés en ce point aux deux surfaces ; elle est donc l’intersection de ces plans tangents.

On peut aussi remarquer que les deux normales menées aux deux surfaces par le point considéré déterminent un plan perpendiculaire aux deux plans tangents, c’est-à-dire à’ leur intersection. Ce plan n’est autre que le plan normal mené à la tangente par son point de contact (Géom. anal., 345). Dans certains cas, la construction du plan normal (dont on déduira immédiatement les projections de la tangente cherchée) sera plus simple que celle des deux plans tangents, et devra être préférée ; par exemple, lorsqu’il s’agira de surfaces de révolution.

Quand les deux surfaces considérées sont circonscrites l’une à l’autre, les deux plans tangents menés à ces surfaces en l’un des points de leur intersection se confondent ; il en est

GÉÜMÉTniE DESCRIPTIVE.

de même dès normales correspondantes. En général , il faut alors tracer mécaniquement, c’est-à-dire à vue, les projections de la tangente à la courbe d'intersection; et la construction de cette tangente n’est plus d’aucun secours pour le tracé des projections de la courbe d’intersection.

131. Des détails précédents, il résulte qu’avant d’étudier les intersections des surfaces entre elles, il faut montrer comment on doit procéder pour obtenir leur section par un plan déterminé.

Quand on saura résoudre ce problème, on pourra trouver les points de rencontre d’une surface et d’une droite. En effet, on mènera paf cette droite un plan sécant, et les points où la droite coupera la courbe déterminée sur la surface parle plan sécant, seront aussi ceux où elle perce la surface.

Celte marche est générale et peut s’appliquer à une ligne quelconque, en remplaçant le plan auxiliaire par une surface auxiliaire sur laquelle soit tracée la ligne donnée : le cylindre qui la projcUe-sur le plan horizontal, par exemple.

Sections planes dn cylindre.

132. Construire la section d'un cylindre droit par un plan perpendiculaire au plan vertical [fig. 91).

Considérons un cylindre droit perpendiculaire au plan horizontal, ayant pour base dans ce plan la circonférence abef, et, pour hauteur, a'y'. Le plan sécant P est supposé perpendiculaire au plan vertical. Le contour apparent du cylindre sur le , plan horizontal sera sa base, son contour apparent sur le plan vertical sera le rectangle «'y'P'o'.

La courbe d’intersection aura alors pour projection horizontale la circonférence abef, et pour projection verticale la longueur a'b', interceptée sur V*’ par les projections verticales des génératrices limites.

Cherchons celte courbe en véritable grandeur. Pour cela, rendons le plan sécant parallèle au plan horizontal , en le faisant tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical, et ayant pour pied dans ce plan le point e'. La nouvelle projection horizontale de la courbe d’intersection sera celle courbe en véritable grandeur.

L’axe choisi passant par le point de rencontre du plan sécant et de l’axe (oz, o'z') du cylindre, les tracés seront symétriques, et un quart de la courbe suffira pour l’obtenir tout entière.

^ Prenons sur celte courbe le point {m, m'). Dans le mouvement de rotation indiqué, il décrira un cercle de rayon ^n'

CÉOMÉTMIf DESCRIPTIVE.

qui se projettera en véritable grandeur sur le plan vertical comme parallèle à ce plan. La nouvelle projection verticale m\ de ce point se trouvera donc reportée, à l’aide d’un arc de cercle décrit du point e' comme centre avec e'm' pour rayon, sur la nouvelle trace verticale V^’ du plan sécant. La nouvelle projection horizontale «i, se trouvera d’ailleurs sur une parallèle menée à LT par le point m, puisque la distance du point {m, m') au plan vertical ne varie pas. On opérera de même pour les autres points [n, n') {a, a'] . . . et il ne restera " plus qu’à unir leurs nouvelles projections horizontales par un Irait continu pour avoir la courbe d’intersection en véritable grandeur.

Cette courbe, comme on le sait, est une ellipse. Legrandaxe de cette ellipse est évidemment a, b„ son petit axe est ef {Géom. anal., 223). '•

La tangente au point (m, m') de la section plane a pour projection horizontale la tangente mt à la circonférence abef, et sa projection verticale est m't'. On en conclura facilement la tangente m, /, au point correspondant de la section projetée en véritable grandeur. En effet, la trace horizontale t de la tangente [mt, m't') se transporte dans le mouvement de rotation en comme l’indique l’épure. Il n’y a donc, pour résoudre la question, qu’à joindre le point m, au point

On peut dire aussi que le point de rencontre i de mt avec la projection horizontale de l’axe autour duquel s’effectue la rotation ne pouvant varier, il suffit de joindre le point i au point TO, de la section projetée en véritable grandeur pour obtenir la tangente demandée. Cette remarque fournit d’ailleurs une vérification.

Si l’on fend le cylindre suivant la génératrice projetée verticalement en a'y', son développement est un rectangle dont, la base ABA [Jtg. 92) est égale à la circonférence abef rectifiée, et dont la hauteur est celle du cylindre (Géo/n., 231). Pour obtenir la circonférence abef rectifiée, on peut se rappeler

qu’elle est très -approximativement égale aux — de son

diamètre. Sur l’épure, cette circonférence a été divisée en douze parties égales aux points a, n, m, e, .... On marquera donc facilement ces points en A, N, M, E, . . ., dans le développement.

Cherchons ce que devient dans ce développement la courbe d’intersection, c’est-à-dire traçons sa transformée. 11 suffira évidemment de porter, à partir des points A, N, M, E, . . . , sur les perpendiculaires élevées en ces points à la base AA, des distances égales aux longueurs que présentent les génératrices co^espondantes du cylindre entre le plan sécant et la circonfé-

GÉOMÉTniE DESCnil'TlVE.

rence abef. Ainsi on prendra

Aa = a'«', Mu = a'/n', Èe = oV, Bp = P'6',....

En unissant les points construits par un trait continu, on aura la transformée

Les ordonnées de cette courbe se reproduisent en ordre inverse, à partir et à égale distanre de l’ordonnée du milieu B(3 qui est maximum. Si l’on suppose que la transformée se continue par répétition du développement, on voit que les ordonnées extrêmes Aa seront des ordonnées minimums. Par suite, aux points a, [3, a, de la transformée, les tangentes seront horizontales ou perpendiculaires aux ordonnées.

Les angles et les longueurs ne changeant pas en développement, le triangle rectangle formé par une tangente à la courbe d’intersection, la projection de cette tangente sur le plan horizontal et la portion de gértératrice correspondante, reste identique à lui-même en venant s’appliquer sur le plan de développement. Pour avoir la tangente au point de la transformée, on prendra donc dans lesens convenableMT=m/, et l’on joindra le point T au point

Remarque. — Soit r le rayon du cylindre. Si l’on rapporte la transformée à l’axe vertical eE' et à l’axe horizontal ey, on voit qu’on a {Jig. gi et 92), pour le point è, par exemple ;

d’où

c’est-à-dire

D’ailleurs

SI l’on désigne maintenant par 0 l’angle de V’’ avec LT, ou l’angle du plan sécant avec le plan horizontal, on a

(3>' rf'A' = c'A'tang0.

L’équation de la transformée" rapportée aux axes indiqués deviendra donc, en vertu des relations (1), (2), (3),

/> . ^ y=:rtangOsin--

X = arc ed.

X ed , . e A

— = arc - =î angle sm >

e'A' = rsin -• r

GÉOMÉTRIE DESCnll'TIVE.

âio

Celle iransformée esl donc une variélé de la sinusoïde (C^oni. anal., 103). Elle présenlera par suile des points d'inflexion aux poins e cl 9 où elle coupe l’axe des x choisi.

133. Construire la section d’un cylindre droit par un plan quelconque {fig. g3).

Considérons un cylindre droil perpendiculaire au plan horizontal, ayant pour base, dans ce plan, la circonférence cdef.

Le plan sécant P est quelconque.

La projection horizontale de la courbe d’intersection esl la base du cylindre ; il faut trouver la projection verticale de ' cette courbe.

Pour cela, nous couperons les deux surfaces considérées par des plans verticaux parallèles à la trace horizontale H** du plan P, c’est-à-dire ayant leurs traces horizontales parallèles à H**. Chacun de ces plans auxiliaires coupera le plan P suivant une horizontale, et le cylindre suivant deux de ses génératrices. Les points de rencontre de l’horizontale et des génératrices obtenues appartiendront à l’intersection cherchée.

Prenons, par exemple, le plan auxiliaire dont la trace horizontale est II". Il" coupant la circonférence cdef aux points m et a, le plan R coupe le cylindre suivant les deux génératrices verticales qui se projettent horizontalement en m et en n. Ce même plan coupe le plan P suivant l’horizontale (um, p'm'). Celle horizontale rencontrant les deux génératrices aux points (m, m'), {n, n'], ces points sont à la courbe d’intersection. On en construira ainsi autant qu’il sera nécessaire, et , en joignant par un trait continu leurs projections verticales, on obtiendra la projeciior\verlicale de la courbe d’intersection.

Pour déterminer sur cette projection le point maximum et le point minimum par rapport à LT, il suffit de considérer parmi les plans auxiliaires ceux qui sont tangents au cylindre.

En effet, la tangente aux points correspondants {c,c'), [d, d'), étant l’intersection du plan tangent au cylindre et du plan sécant, sera une horizontale de ce plan, c’est-à-dire aura uneprojection verticale parallèle à LT.

Les points de séparation de la partie visible et de la partie invisible sur la projection verticale de la courbe d’intersection, répondent évidemment aux génératrices limites qui pnl leurs pieds en a et en b, c’est-à-dire que ces points sont a' et b'. En ces points, les tangentes à la projection verticale sont verticales. En effet, les plans tangents en {a, a') et [b, b') sont perpendiculaires à LT.

Quant à la tangente à la courbe d’intersection au point [m, m') par exemple, il suffira de construire l’intersection du plan sé-

GÉOMÉTIUE DESCRIPTIVE. 5ll

canl et du plan tangeiil au cylindre en [m, m']. Or la trace horizontale du plan tangent étant la tangente menée en m à la base du cylindre, on obtiendra immédiatement en t (intersection de h’’ et de la trace horizontale de la tangente demandée. On en connaîtra ainsi deux points (t, t') et [ni, m'), et l’on pourra tracer ses projections.

Le plus simple, pour avoir la courbe d’intersection en véritable grandeur, sera de rabattre le plan sécant sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa trace V'*; ce qu’on fera facilement en se servant d’une ligne de plus grande pente du plan P par rapport au plan vertical, viendra ainsi prendre la position H^. Toutes les horizontales du plan P se rabattront ' alors suivant des parallèles à 11^. Leurs longueurs entre la tracé et les différents points de l’intersection, sont d’ailleurs , égales à celles de leurs projections horizontales entre la ligne de terre et les projections horizontales de ces points. Par conséquent, pour avoir, par exemple, les points [m, ni') et («, n') en rabattement, on mènera par le point (x! une parallèle à MJ, et l’on prendra sur cette parallèle

fr'm, = /am, a'n, = fxn.

Ayant obtenu de cette manière les rabattements des points- de la courbe d’intersection construits primitivement, on n’aura plus qu’à les unir par un trait continu pour avoir cette intersection en véritable grandeur.

Le point t, trace horizontale de la tangente au point se rabattant en t, sur 11',’, on aura la tangente au point m, de la courbe rabattue en joignant le point t, au point ni,.

Le développement de la surface du cylindre et la construction de la transformée de la courbe d’intersection s’effectueront absolument comme dans le cas précédent.