Construire la section droite d'un cylindre oblique

iffi- 94 95)-

Soit le plan sécant P perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Supposons que ce cylindre ait pour base dans le plan horizontal la circonférence abcd, et que les projections horizontales de ses génératrices soientparallèlcs à 11 est inutile d’inàiquer les projections verticales de ces mêmes génératrices, puisque ces projections doivent être perpendiculaires à

Le plus simple, pour répondre à la question posée, est d’opérer un changement de plan de projection qui rende le plan sécant P perpendiculaire au plan vertical ou les génératrices du cylindre parallèles à ce plan.

5 ta GÉOMÉTIUE DESCRIPTIVE.

Nous prendrons donc une nouvelle ligne de terre LiT, perperdiculaire à 11'’, et nous déterminerons lu nouvelle trace verticale V’ du plan sécant (28). Nous construirons alors le contour apparent du cylindre sur le nouveau plan vertical : ce contour sera formé des projections verticales a',, b\ Ç>\, dçs génératrices du cy lindre qui ont pour traces horizontales les extrémités a et 6 du diamètre ab parallèle à L,T,. La projection verticale de la base supérieure du cylindre sera a', (3',. Pour simplifier, nous n’indiquerons pas la circonférence, projection horizontale de cette base supérieure. Quant au contour apparent du cylindre sur le plan horizontal, il sera formé de la demi-circonférence cad et des tangentes menées par les extrémités du diamètre cd parallèlement à la direction des projections horizontales des génératrices. .

La projection verticale de l’intersection sera immédiatement la paMie m\ n', interceptée sur par les droites a, et 6',p', .

Pour obtenir la projection horizontale de cette intersection, nous couperons la surface par des plans parallèles au plan vertical.'Ces plans couperont le cylindre suivant des génératrices et le plan sécant suivant des droites parallèles au plan vertical. Les points de rencontre des droites comprises dans un même plan auxiliaire appartiendront à la section.

Soit, par exemple, le plan auxiliaire dont la trace horizontale est II". Ce plan coupe le cylindre suivant deux génératrices ayant pour traces horizontales les points où H" rencontre la circonférence abed. On construira donc facilement les projections verticales de ces génératrices. Le plan R coupe d’ailleurs le plan sécant suivant une droite dont les projections sont H et V^. Par suite, les projections verticales des points de la section qui se trouvent dans le plan R seront en r\ et en i\ ; et des perpendiculaires à L,Ti donneront leurs projections horizontales sur H“ en r et en i.

On déterminera de cette manière autant de points jie la projection horizontale de l’intersection qu’on voudra, et il ne restera plus qu’à les unir par un trait continu.

La section elliptique obtenue (Géom. anal., '2'^) est évidemment symétrique, soit par rapport au plan auxiliaire, dont la trace horizontale se confond avec le diamètre ab, soit par rapport au plan perpendiculaire au plan vertical mené par les deux génératrices dont les pieds sont aux extrémités du dia- .mètre cd. Il s’ensuit que la projection horizontale de cette intersection, qui est aussi une ellipse, a pour axes les droites mn et pq. On a donc la direction de la courbe aux quatre sommets. Les points p ei q séparent, en projection horizontale, la partie vue de la partie cachée.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5l3

Pour mener la tangente en un point de la section, par exemple au point [r, r'), il suffit de construire la trace horizontale du plan tangent au cylindre qui passe en ce point. Cette trace horizontale sera la tangente menée à la base abcd du cylindre par le point e, pied de la génératrice qui correspond au point (r, r'i. Les deux plans T et P se coupant suivant la tangente demandée, II*^ et H' se couperont en un point t qui sera la trace horizontale de celte tangente. Elle aura donc pour projections les droites Ir et /•', .

Pour avoir l'inlersection en véritable grandeur, on rabattra le plan sécant sur le plan horizontal , en le faisant tourner autour de sa trace horizontale H . Le point (r, r'), par exemple, restera sur la perpendiculaire rp abaissée du point r surir et viendra se placer à une distance pr, du point p égale à t\ En effet, la droite qui joint dans l’espace le point (r, /) au point p, est parallèle au plan vertical et s’y projette en véritable grandeur. La tangente au point {/•, r') se rabattra en /n.

On aura alors tous les éléments nécessaires pour construire le développement du cylindre et la transformée de sa base.

Le développement du cylindre oblique peut ici être effectué , parce que nous venons de déterminer sa section droite. Cette section, dont tous les éléments sont perpendiculaires aux génératrices du cylindre, aura seule pour transformée dans le développement une ligne droite MM {Jig. gS). Si l’on fend le cylindre suivant l’arête {am, d,ni,), on portera sur cette droite MM des longueurs MS, SR, RP, . . ., égales aux arcs m,s„Scr„ r,p„ ....On rectifiera ces arcs, en cherchant combien chacun d’eux renferme une ouverture de compas assez petite pour que l’arc partiel correspondant se confonde sensiblement avec sa corde. On élèvera, par les points ainsi déterminés, des perpendiculaires à la droite MM, et l’on portera sur ces perpendiculaires des longueurs égales aux portions de génératrices comprises entre la section droite et la base inférieure du cylindre. Comme les génératrices du cylindre sont parallèles au plan vertical , elles se projettent sur ce

plan en véritable grandeur. On n’aura donc qu’à prendre

MA = /n,a,, SF = 4,/',, RE = r',e',, VC= p\c\,. .

pour obtenir, à l’aide d’un trait continu unissant les différents points A, F, E, C, . . ., la transformée de la base inférieure du cylindre. »

Pour avoir la transformée de la base supérieure , supposée dans l’épure parallèle à la base inférieure , on n’aura qu’à prendre A a égale à la longueur totale de la génératrice, puis à prolonger de même toutes les perpendiculaires déjà 111. 33

5l4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

menées à la droite MM, de maniéré à leur donner à toutes la longueur a\ .

Si l’on a eu soin de diviser la circonférence abcd rcgulièremenl par les traces des plans auxiliaires, il suffira de mesurer les arcs qui composent un seul quart de l’ellipse qui représente le rabattement de la section droite : les mêmes longueurs se reproduiront ensuite successivement dans un ordre inverse. Les longueurs des portions de génératrices qui correspondent à la première moiüé du développement, se reproduisent également dans la seconde moitié en ordre inverse.

Pour avoir la tangente à la transformée au point E, par exemple, il suffit de remarquer que le triangle rectangle projeté horizontalement suivant ret reste identique à lui-même lors du développement. Les deux côtés de l’angle droit de ce triangle sont, l’un HE, l’autre /r,. On prendra donc sur MM, à partir du point H et dans le sens convenable, R0 = ; et en

joignant le point E au point 0, on aura l’hypoténuse du triangle rectangle considéré, ou la tangente à la transformée de la base au point E.

Comme les tangentes aux points a et t de la base du cylindre sont évidemment perpendiculaires à la direction des génératrices, et que les angles ne sont pas modifiés en développement, la transformée de la base du cylindre présentera par rapport à la droite MM les points maximums A et le point minimum B. De même, pour la transformée de la base supérieure, les points a seront minimums et le point (3 maximum.

11 y a inflexion aux points C et D ; mais nous n’insisterons pas sur ce sujet(*).

Nous avons considéré dans tout ce qui précède un cylindre circulaire ; mais nos raisonnements s’appliqueront sans aucun changement à un cylindre à base quelconque.

Sections planes du cône.

135. Construire la section d’un cône droit par un plan perpendiculaire au plan vertical.

I® Section elliptique [fig. 96 et 97). ,

Soit un cône droit ayant pour base dans le plan horizontal la circonférence abcd et pour sommet le point (*, /). Son contour apparent sur le plan horizontal sera la circonférence abcd. Les projections verticales s'a' e\.s'b' des génératrices parallèles

(*) Th; Olivier a démontré que les points d’inflexion de la transformée étaient situés sur les génératrices do contact des plans tangents perpendiculaires au plan sécant.

Le théorème est vrai pour toutes les surfaces développables.

au plan vertical , formcronl son contour apparent sur le plan vertical. Coupons ce cône par un plan P perpendiculaire au plan vertical. Le plan sécant rencontrant toutes les génératrices sur une meme nappe, l’intersection sera une ellipse. La projection verticale de cette intersection sera la partie e'I' interceptée sur V'' par les projections des génératrices limites : il faut trouver la projection horizontale de cette intersection.

Nous nous servirons de plans auxiliaires menés par le sommet du cône parallèlement à II’’. Ces plans couperont le cône suivant des génératrices, et le plan sécant suivant des horizontales. Dans l’épure, les traces horizontales des plans auxiliaires, nécessairement parallèles à II’’, divisent la circonférence abcd en douze parties égales.

Considérons le plan auxiliaire R. 11 coupe le cône suivant deux génératrices dont les projections verticales se confondent suivant V" ou s'tp', et dont les projections horizontales sont i<p et sp. Le plan R coupe d’ailleurs le plan P suivant une horizontale dont la projection verticale se réduit au point/', et dont la projection horizontale rencontre les droites et sp aux points/ et r. Ces points seront donc les projections horizontales des deux points de l’intersection qui se projettent verticalement en /'.

En opérant de cette manière , on trouvera autant de points qu’on voudra de la projection horizontale de l’intersection; et il ne restera plus qu’à les unir par un trait continu.

11 faut remarquer que la construction est en défaut pour les points situés sur les génératrices qui se trouvent dans le plan auxiliaire dont la trace horizontale est dirigée suivant le diamètre cd perpendiculaire à LT. En effet , pour ce plan auxiliaire, les génératrices du cône et l’horizontale du plan sécant se confondent en projection horizontale. Comme les points dont il s’agit appartiennent au parallèle de la surface dont l’un des points est projeté verticalement en h', il suffira de construire la projection horizontale de ce parallèle, pour obtenir les projections horizontales des points demandés en h et en p.

Les plans auxiliaires dont les traces verticales se confondent avec s'a' et s'b', sont tangents au cône suivant les génératrices (sa, s'a') {sb, s'b'), parallèles au plan vertical. Chacun de ces plans ne donne donc qu’un point de la projection horizontale de l’intersection. Ces points e et / sont des sommets de l’ellipse obtenue en projection , car l’un des axes de cette ellipse est dirigé suivant ab. Le point o, milieu de el, sera le centre de la courbe ; et l’on obtiendra facilement son second axe, si on le juge nécessaire, en construisant le parallèle de la surface dont l’un des points est projeté verticalement en o'. Les

r- -J byf

5l6 GÉOMI^lTRIE DESCRIPTIVE.

extrémités de ce second axe appartiennent , en effet , à la projection horizontale de ce parallèle et à la projection horizontale de l’horizontale du plan sécant qui se projette verticalement en o'.

Pour mener la tangente en un point {g, g') de l’intersection, on construira la trace horizontale du plan tangent au cône qui contient la génératrice passant par ce point. La tangente demandée étant l’intersection des plans T et P, sa trace horizontale sera le point de rencontre t de et de H’’, et elle aura pour projections les droites tget t'g'.

Pour obtenir l’intersection en véritable grandeur, on rabattra le plan sécant sur le plan vertical en le faisant tourner autour de V**. H restera perpendiculaire à V‘’ et viendra se placer en 11^. Les points G et Q de l’intersection, par exemple, resteront sur la perpendiculaire menée à V par le point ^ , et viendront se placer sur cette perpe;ndiculaire à des distances de V** marquées par les distances de leurs projections horizontales à LT. Ainsi on prendra g'g« = go( et g'q, = qcc, et l’on aura en g, et en les rabattements des points G et Q.

Le point t venant en t, dans le rabattement effectué, on n’aura qu’à joindre le point G au point g, pour avoir la tangente en gt à la courbe rabattue.

Quant au développement de la surface et à la construction de la transformée de la courbe d’intersection, nous fendrons le cône suivant la génératrice SA. En le déroulant , nous obtiendrons un secteur ayant pour rayon SA et pour base un ar’c ABA (Jig. 97) égal en longueur à la circonférence abed. On sait [Géom., 231) que le nombre de degrés de cet arc est

H sera donc facile de délerminer ce secteur et de le diviser en douze parties égales comme la circonférence abed.

Pour avoir la transformée, on portera alors, à partir du centre 8, Sur les rayons des différents points de division, des longueurs égales à celles qui sont comprises sur les génératrices correspondantes entre le sommet du cône et le plan sécant.

On obtiendra ces longueurs comme il suit. Supposonssîï qu'on fasse tourner les génératrices du cône autour de l’axe , de manière à les faire co’ihcider successivement avec l’une ou l’autre des deux génératrices parallèles au plan vertical. Dans ce mouvement, les projections verticales des points de l’intersection restent à la même distance du plan horizontal et viennent se placer sur s'a' 011 sur s'b' en/', ,y»’, ,..., ou en , /r', ,...,

GÉUMLTHIE DESClllPTIVE.

s\ f\ , s, g\,. . représentent donc les véritables longueurs interceptées par le plan sécant sur les différentes génératrices rendues ainsi parallèles au plan vertical.

La transformée EFILN RE {fig. 97 ) coupe les ray ons SA, SB, SA , à angle droit. Nous savons, en effet, que les angles et les longueurs ne varient pas dans le développement. La tangente étant l’intersection du plan "sécant et du plan tangent mené à la surface par le point considéré, les tangentes aux points E, L, E, sont perpendiculaires au plan vertical , et, par suite, aux génératrices de contact correspondantes qui sont parallèles à ce plan.

Pour construire la tangente au point G de la transformée, nous nous rappellerons que le triangle rectangle qui a pour côtés de l’angle droit la 'portion de génératrice Gy et la tangente y < à la base du cône, et pour hypoténuse la tangente G t à la courbe d’intersection, reste identique à lui-même dans le développement. Nous en avons déjà le côté Gy; il ne restera donc plus qu’à porter dans le sens convenable, sur la perpendiculaire menée au rayon Sy par le point y, une longueur yï = y/. En joignant le point ï au point G, nous aurons la tangente demandée.