a" Section hyperbolique {Jig. 98 et

Coupons toujours le cône droit considéré, supposé placé relativement aux plans de projection comme dans le cas précédent, par un plan P perpendiculaire au plan vertical. Le plan sécant étant parallèle à deux génératrices du cône, l’intersection sera une hyperbole. La projection verticale de cette intersection sera V*", il faut en trouver la projection horizontale.

Nous prendrons ici pour plans auxiliaires des plans horizontaux. L’un d’eux, R par exemple, coupera le cône suivant un parallèle dont la projection verticale sera la droite e'f, et dont la projection horizontale sera la circonférence se. Le même plan R coupera le plan P suivant uqe horizontale qui se projettera verticalement au point m', et dont la projection horizontale sera une droite menée par ce point perpendiculairement à LT, Les points met/t où cette droite rencontrera la circonférence se appai tiendront à la projection horizontale demandée. En opérant de la même manière, on en consiruira autant deqioints qu’on voudra.

L’intersection étant symétrique par rapport au plan vertical conduit suivant le diamètre aù, ce diamètre sera un axe de la projection horizontale cherchée. Les points gel l, projections horizontales des points (g, g") et (/, /') où le plan sécant rencontre les génératrices limites (sa, s'a'), (sb, s'b'), seront les sommets de celte projection situés sur l’axe ab. Le point o.

5l8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

milieu de gl, sera le centre de l’hyperbole obtenue (Géom. anal., 393).

Il est commode de mener les plans auxiliaires deux à deux de part ei d’autre et à égale distance du sommet du cône. Les parallèles correspondants se confondent alors en projection horizontale.

Lorsqu’une section plane à branches infinies admet une asymptote, celte asymptote doit être à la fois dans le plan sécant et dans un certain plan tangent à la surface. Son point de contact avec la courbe devant se transporter à l'infini, appartient à une génératrice qui ne doit rencontrer le plan sécant qu’à l’infini, c’est-à-dire qui doit lui être parallèle.

Pour déterminer les asymptotes de la section obtenue, il faut donc considérer les plans tangents qui renferment des génératrices parallèles au plan P. Nous mènerons donc par le sommet du cône un plan Q parallèle au plan P : ce plan coupera le cône suivant deux génératrices (sp, s'p')[sr, s'r'), répondant à la question. Les traces horizontales des plans tangents qui contiennent ces génératrices parallèles au plan P, seront les tangentes pO et ro- à la circonférence ab. Par suite, les points 6 et (7 seront les traces horizontales des asymptotes ; et comme elles sont parallèles aux génératrices (sp,s'p'), (sr,s'r'), on obtiendra leurs projections horizontales en menant par les points G et <7 des parallèles à sp et à sr. Comme vérification, ces parallèles devront se croiser au point o, projection horizontale du centre de la section.

Quant au rabattement de la courbe sur le plan vertical, on l’obtiendra, comme dans le cas précédent, à l’aide de perpendiculaires menées à V** par les différentes projections verticales des points exactement déterminés sur l’épure. Par exemple, pour les points dont la projection verticale est m', on élèvera à V‘‘ par le point m' une perpendiculaire sur laquelle on prendra m'm, = et m'n, — (^n. Les points m, et n# seront les rabattements des points (m, m')ei{n, n').

Pour avoir les asymptotes en rabattement, on remarquera que leurs pieds G et <r se trouvent reportés en G, et en c, sur Hî, rabatlemenl de la trace horizontale II'* du plan sécant. D’ailleurs, l’axe iransverse de l’hyperbole devenant g,l,, le centre o se trouve rabattu lui-même en w, milieu de gtl,. On n’aura donc qu’à mener les droites o-joi et G, w.

Le développemjent {Jig. 99] s’opérera comme dans le cas de la section elliptique. Seulement il foudra indiquer aussi la nappe supérieure de la surface. En supposant que le cône soit fendu suivant la génératrice SA, on obtiendra donc deux secteurs. L’un, SAB V, représentera le développement de la nappe

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5ig

inférieure, l’autre, S(3«(3, représentera le développement de la nappe supérieure. Les doubles rayons SA et Sp qui limitent ces deux secteurs sont nécessairement en prolongement les uns des autres.

Pour déterminer la transformée de l’intersection, on commence par prendre sur SB, qui représente l’une des génératrices parallèles au plan vertical, une longueur Sy = S'g'. On a en •/ le sommet {g, g"). Pour un point quelconque (m, m') appartenant à la nappe inférieure, on mène sm projection horizontale de la génératrice correspondante SM. On mesure l’arc 6M = 6N sur la circonférence ab, et on le porte à droite et à gauche du point B sur l’arc ABA. La longueur comprise sur la génératrice SM ou sur la génératrice SN, entre le sommet (5, y) erle point (m, m') qu le point (ra, n'), étant égale à s'/', d’après ce qui précède (135), on n’a qu’à porter cette longueur, à partir du centre S, sur les rayons SM et SN, pour obtenir en et en v les points correspondants de la transiformée.

Sur la nappe supérieure, la transformée se trouve divisée en deux branches. En effet, le sommet (/, /') appartenant à la génératrice suivant laquelle on a ouvert le cône, génératrice qui se dédouble pour donner les deux rayons S(3, est représenté à la fois sur ces deux rayons par les deux points A, tels qu’on ait

Sl = s'l'.

Pour un point quelconque (/r, h') appartenant àia nappe supérieure, on mène sk, projection horizontale de la génératrice correspondante SK. On mesure l’arc ôK = 61 sur la circonférence ah, et on l’étend à droite et à gauche du point a sur l’arc (3«p. La longueur comprise sur la génératrice SK ou sur la génératrice symétrique SI, entre le sommet (s, «') et le point (/r, 6') ou le point {/, i'), est déterminée par la parallèle k'h' à LT. On n’a donc qu’à porter celte longueur s'h', à partir du centre S, sur les rayons SK et SI, pour obtenir en jc et en i les points correspondants de la transformée.

t)uani aux asymptotes, on les détermine comme il suit. On marque dans le développement les génératrices SP et SR auxquelles les asymptotes sont et restent parallèles. Sur la nappe inférieure {Jig. gq), on les obtient en SP et en SR. On construit alors en P et en R les tangentes P 6, =/> 6 et R a, = r<r; et en menant par Tes points 6, et <t, des parallèles aux génératrices SP et SR, on obtient les asymptotes de l’intersection en développement, c’est-à-dire les asymptotes de la transformée, puisque la disposition relative des éléments considérés dans le même plan tangent sur la courbe et sur l’asymptote doit

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rester identique. Par suite de la symétrie, les asymptotes doivent se couper en développement sur le ‘diamètre B«.

Aux points y et 1, les branches de la transformée coupent à angle droit les génératrices od les rayons correspondants. En effet, aux points {g, g') et (l, /') de l’intersection, la tangente est perpendiculaire au plan vertical ou aux génératrices qui lui sont parallèles.