Premier cas: Sections planes du tore [Jig. loa

Nous savons que le tore est la surface engendrée par une circonférence tournant autour d’un axe extérieur situé dans son plan. La courbe méridienne est donc ici une circonférence.

L’axe {oz, o'z') étant supposé vertical et la courbe méridienne étant dans un plan parallèle au plan vertical, les projections de cette courbe seront la circonférence a'b'e'd' et la droite ah. L’équateur de la surface, son cercle de gorge et son parallèle moyen auront respectivement pour projections horizontales les circonférences ob, oa et oc.

La surface est formée d’une nappe extérieure convexe engendrée par la demi-circonférence qui se projette verticalement suivant c'b'd' , et d'une nappe intérieure non convexe engendrée par la demi-circonférence qui se projette suivant c'a'd'. Les deux circonférences oa et ob forment son contour apparent sur le plan horizontal ; son contour apparent sur le plan vertical se corn pose des demi-circonférences c'ô'rf',/j3'ô', et des droites c'y' et d'3'.

Coupons la surface par un plan quelconque P. Pour obtenir les projections de l’intersection, nous emploierons des plans auxiliaires horizontaux qui couperont la surface suivant des parallèles et le plan sécant suivant des horizontales.

Soit, par exemple, le plan auxiliaire R. Ce plan coupera le tore suivant deux parallèles dont les projections horizontales auront des rayons oe et of égaux aux distances &ic' et (■)/'; il coupera le plan P suivant l’horizontale (^A, g'h'). Les quatre points de rencontre de celle horizontale avec les deux parallèles appartiendront à l’intersection cherchée. On aura immédiatement les projections horizontales de ces points en ni,n,p,r; et l’on obtiendra leurs projections verticales à l’aide de perpendiculaires abaissées sur LT, jusqu’à la rencontre de jç'A'.

En opérant de cette manière, on construira autant de points qu’on voudra des projections de l’intersection cherchée.

5aa GÉOHÉTIUE DESCRIPTIVE.

Il est commode de mener les plans auxiliaires deuxà deux de part et d’autre et à égale distance de l’cquateur de la surface ; les parallèles déterminés sur le tore par deux plans auxiliaires symétriques se confondent alors en projection horizontale.

Les points-limites correspondent aux plans des deux parallèles moyens qui se projettent horizontalement suivant la circonférence oc. En ces points, le plan tangent au tore est évidemment horizontal et coupe le plan P suivant une horizontale dont les projections doivent être tangentes aux projections de l’intersection.

On peut trouver facilement les tangentes en d’autres points remarquables. Si l’on considère le plan auxiliaire confondu avec le plan commun de l’équateur et du cercle de gorge du tore, aux points correspondants de la courbe d’intersection, le ^ plan tangent à la surface est évidemment perpendiculaire au plan horizontal : sa trace horizontale n’est donc autre chose que la tangente menée à la projection horizontale de l’équateur ou du cercle de gorge par les projections horizontales des points de l’intersection qui sont situés sui* ces circonférences. Pour comprendre cette remarque, il suffit de se rappeler que le plan tangent en un point d’une surface est déterminé par les tangentes menées en ce point au méridien et au parallèle qui y passent. On voit donc que les plans tangents aux points indiqués coupent le plan sécant suivant des droites faciles à construire, puisque leurs projections horizontales sont respectivement tangentes à celles de l’équateur et du cercle de gorge. Il résulte de là qu’aux points dont il s’agit la projection horizontale de la courbe d’intersection est tangente aux projections horizontales de l’équateur et du cercle de gorge.

Pour trouver la tangente {mt, m't') en un point quelconque (m, m') de l’intersection, il faut déterminer le plan tangent T en ce point de la surface, et chercher son intersection avec le plan sécant. Il est inutile de revenir sur cette construction connue (116); l’épure renferme tous les détails nécessaires.

On a tracé en trait plein les parties de l’intersection qui se trouvent, par rapport au plan vertical, en avant du contour apparent correspondant de la surface, et, par rapport au plan horizontal, au-dessus du contour apparent par rapport à ce môme plan. Les autres parties, invisibles pour l’observateur d’après les conventions adoptées (9), ont été ponctuées.

L’intersection, d’après les données choisies, est formée de deux courbes séparées (*). Suivant la position du plan sécant.

(*) Lorsqu'on coupe le tore par un plan hi-tangent^ lequel passe alors par le centre do la siirrncc» rinterseelion sc compose de doux cercles égaux rpii ont pour corde commune celle qui joint les deux points de contact.

GÉ0MÉTH1E DESCRIPTIVE.

la nature de la section varie. Le tore, comme le cône, peut fournir trois genres de sections. Nous les avons examinées en Géométrie analytique (100).

Le rabattement de l’intersection s’effectuera sans peine. On suivra la même marche qu’au n" 133.

141. Second cas : Sections planes de Vhyperboîoïde de révolution à une nappe (Jig. io3 et io4).

Nous supposons l’hyperboloïde engendré par une droite tournant autour d’un axe vertical avec lequel elle n’est pas située dans un même plan. D’après ce qui précède (123), la surface est suffisamment représentée , si l’on donne son axe {oz, o'z’) et l’une ou l’autre de ses génératrices princi- * pales {gd, ^d'), (Id, l'd'), parallèles au plan vertical.

La plus courte distance de l’axe et de la génératrice est la perpendiculaire od abaissée du point o sur gl, et le cercle de gorge de la surface a pour projection horizontale le cercle od. " • La trace horizontale de l’hyperboloïde est le cercle og.

Si l’on transporte l’une des génératrices principales parallèlement à elle-même, de manière que ses projections deviennent {ao, g'd') ou [bo, l'd'), c’est-à-dire jusqu’à ce qu’elle vienne couper l’axe de la surface, elle engendre en tournant autour de cet axe un cône ayant pour sommet le point («, a'), centre du cercle de gorge, et pour base le cercle oa. Ce- cône . est le cône asymptote de la surface gauche de révolution (128).

'• Les sections faites par un même plan dans la surface gauche et dans son cône asymptote étant des courbes semblables et semblablement placées, il sera facile de déterminer d’avance la nature de la section obtenue. H suffira, en effet, de mener par le sommet du cône asymptote un plan parallèle au plan sécant ; et, suivant que ce plan aura en commun avec le cône un point Unique, deux génératrices ou une seule, la section sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole (138). De plus, dans le cas d’une section hyperbolique, les deux génératrices construites pour s’assurer du genre de la courbe seront pa-* rallèles aux asymptotes de la section (144).

Pour plus de simplicité , nous prendrons le plan sécant P > perpendiculaire au plan vertical. La solution restera la même dans le cas d’un plan quelconque. Seulement la projection verticalede l’intersection devra alors être aussi construite (140), tandis que dans l’hypothèse adoptée elle se confond avec V' .