Section elliptique [Jig. io

Nous emploierons toujours des plans auxiliaires horizontaux : ces plans couperont la surface suivant des parallèles, le plan sécant suivant des horizontales. Les points communs au

parallèle et à la droite déterminés par le même plan auxiliaire appartiendront à l’intersection cherchée.

Par suite de la symétrie, la droite dont les projections sont (oe, we) est un axe de l’ellipse cherchée. La première chose à faire est de trouver les sommets situés sur cet axe.

Pour cela, nous supposerons que la droite {oe, we) engendre un cône de révolution en tournant autour de l’axe de la surface. Les sommets, situés en même temps sur cette droite et sur i’hyperboloïde, engendreront deux parallèles de cet hyperboloïde ; si l’on connaissait ces parallèles, la question serait résolue.

Cherchons les points où ces parallèles rencontrent la génératrice principale [gd, g'd'].

Lorsque les sommets, dans le mouvement de rotation de la droite (oe, wt), viennent se placer sur cette génératrice , la droite [oe, tos) est nécessairement dans le plan déterminé par 'cette même génératrice et le point (o, w). En menant par ce point la parallèle (or, otp) à la génératrice, on obtiendra en gr la trace horizontale du plan qu’on vient de définir. Cette trace vient couper en f et en h la base oe du cône décrit par l’axe (oe, ue) de l’ellipse d’intersection. Lorsque l’un des sommets cherchés se trouve sur la génératrice principale (gd, g'd'), cet axe a donc pour projection horizontale of ou o/i, c’est-à-dire qu’il coupe la génératrice principale soit au point (w,, m',}, soit au point (n,, n',). Telles sont donc les positions que viennent occuper successivement les sommets considérés sur la génératrice (gdjg'd'), lorsqu’on leur fait décrire les parallèles correspondants de la surface. Pour les avoir dans leur véritable place, il suffit donc d’effectuer une rotation contraire qui les ramène en (m, m') et en (n, n') sur l’axe (oe, we).

Les plans horizontaux auxiliaires devront alors être compris entre les deux sommets trouvés, et on pourra les espacer régulièrement.

Le ])lan auxiliaire R, par exemple, coupera l’hyperboloïde suivant le iiarallèle dont la projection horizontale est la circonférence 01 (*■), et le plan P suivant une horizontale dont la projection horizontale est la droite hp. Les deux points d’intersection h et P de cette droite et de la circonférence oi appartiennent à la projection horizontale do. l’intersection ; et l’on en déterminera ainsi autant qu’on voudra. 11 restera à les unir par un trait continu.

En prenant le milieu p. de la distance mn, on aura la projcc-

('■j l.e point (/, i') cit le point de ce parallclo situé sur la i;cnci'atricc principale (/</, l'd').

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5a5

lion horizontale du centre de la section. Si l’on veut déterminer le second axe de l’ellipse projection horizontale de la courhe d’intersection, il suffira de considérer le plan auxiliaire dont la trace verticale passe par u'.

On peut obtenir immédiatement les points (iJ;, (<p, çp'),

de l’intersection qui appartiennent aux génératrices principales de la surface , ainsi que leurs symétriques par rapport à l’axe {oe, ois).

Pour avoir la tangente en un point quelconque {k, k') de l’inlerseciion, il faut construire le plan tangent en ce point à l’hyperboloïde. En opérant comme au n® 127, on obtiendra la trace horizontale de ce plan tangent, qui vient couper h’’ en t. La tangente demandée aura donc pour projections les droites tk et <7/.

Le rabattement de la courbe d’intersection sur le plan vertical s’effectuera absolument comme au n“ 13b, L’épure renferme tous les détails nécessaires.

143. Remarque. 11 faut noter avec soin la marche adoptée pour déterminer les sommets de la courbe d’intersection. On

t. voit que cette marche est celle qu’il faut suivre pour trouver les points de rencontre de la surface gauche de révolution et d’une droite quelconque coupant l’axe (148).