Section hyperbolique {Jig. io

Supposons la surface définie comme dans le cas précédent. Le plan Q, mené parallèlement au plan sécant P par le sommet du cône asymptote, coupant le cône suivant les deux génératrices {<xp, a'p'), [ocr, x'r'}, la section sera une hyperbole. 11 faut commencer par en déterminer les asymptotes.

Pour cela, nous remarquerons que les génératrices de l’byperboloïde sont, dans chaque système, parallèles aux génératrices du cône asymptote (128). Par conséquent, en menant au cercle de gorge, parallèlement h ap, les deux tangentes Py et ô-, nous aurons les projections horizontales des génératrices qui, dans chaque .système, sont parallèles à la droite {ap, a!p'). Ces génératrices déterminent un plan, langent à l’hyperboloïde à l’infini et tangent au cône asymptote le long de la génératrice [xp, x'p').

C’est ce que nous savons déjà (128); c’est ce qu’on peut voir d’ailleurs en remarquant que les deux génératrieçs considérées sur l’byperboloïde et la génératrice du cône asymptote s’appuient sur un même diamètre du cercle de gorge, de sorte qu’elles sont dans le même plan. Le point p se trouve donc sur la trace horizontale yr. qui est parallèle au diamètre p5, c’est-à-dire perpendiculaire à l’extrémité du rayon op de la base du cône.

5a6 GÉOMÉTRIE OESCRIPTIVE.

Ceci posé, le plan tangent à l’hyperboloïde dont la trace horizontale est yir-, contenant les génératrices de la surface parallèles au plan sécant, le rencontre suivant une parallèle à ces génératrices. Cette parallèle coupant les génératrices considérées à l’infini, est elle-même tangente à la courbe d’intersection à l’inüni : c’est une asymptote de cette courbe. Le point Q de rencontre de yz et de II' sera donc la trace horizontale de cette asymptote , et l’on aura sa projection horizontale en menant la droite Ofi parallèle h <xp.

D’après ce qu’on vient de dire, le plan tangent à l’hyperboloïde dont l’intersection avec le plan sécant est la seconde asymptote, aura pour trace horizontale la droite Xp menée perpendiculairement à l’extrémité du rayon or. Et en menant par le point a de rencontre de >.p et de H^, une parallèle au à «r, on aura la projection horizontale de la seconde asymptote. Comme vérification, le point de rencontre u des projections horizontales des deux asymptotes doit se trouver sur la droite oe, qui représente toujours" la projection horizontale . • d’un axe de la courbe.

Les points f et h où H*’ coupe la circonférence og, base de l’hyperboloïde, appartiennent à l’intersection cherchée. Si l’on suppose la surface limitée par un parallèle situé au-dessus du cercle de gorge et se confondant avec cette base og en projection horizontale, les points k et i appartiendront également à la projection horizontale de l’intersection. On saura donc ‘ immédiatement dans quels angles, relativement à ses asymptotes, la projection horizontale de l’interjection est placée; c’est-à-dire, on saura si l’axe dont les projections sont (oc, tas) est un axe trnnsverse ou imaginaire.

Si c’est un axe transverse, on déterminera les sommets réels de l’hyperbole à tracer, en suivant identiquement la même marche que dans le cas de la section elliptique (li2).

Si c'est un axe imaginaire , comme dans le cas de l’épure^ on aura l’axe réel en menant par le point u une perpendiculaire à oe. Pour avoir les points de la courbe situés sur cet axe ou les sommets correspondants, on mènera le parallèle de la surface dont le plan renferme le point {p, p'). Sa projection horizontale rencontrant la perpendiculaire à LT en deux points ni et «, ces points seront les sommets réels de l'hyperbole.

En employant des plans auxiliaires horizontaux, comme dans le cas de la section elliptique, et en les prenant deux à deux à ' égale distance au-dessus et au-dessous du cercle de gorge, de manière qu’ils se confondent deux à deux en projection horizontale, on obtiendra autant de points de l’intersection qu’on

: .y C^ooglt

GÉOMÉTniE DESCRIPTIVE. 627

voudra. El il sera facile alors, les asymptotes étant construites, de tracer sa projection horizontale.

Dans le cas examiné, tous les plans auxiliaires horizontaux fourniront des points de l’intersection. Il n’en serait pas de même si l’axe réel se projetait horizontalement suivant oe. Les projections verticales des sommets, situés alors sur cet axe, indiqueraient en dedans de quelles limites les plans auxiliaires doivent être employés.

I.ÆS points situés sur la projection horizontale du cercle de gorge s’obtiendront facilement en u et en v. En ces points, les deux branches de l’hyperbole sont tangentes au cercle od. En effet, aux points projetés en u et en v, le plan tangent à l’hyperboloïde est vertical (125). La trace horizontale de ce ^ plan tangent, nécessairement tangente au cercle de gorge, représente donc en même temps la projection horizontale de la tangente à la courbe d’intersection au point considéré.

On peut obtenir immédiatement, comme dans le cas précédent, les points de l’intersection qui appartiennent aux génératrices principales de la surface : ces points ont leurs projections horizontales en q, s, x, y, et correspondent aux

perpendiculaires tj/4'’ à LT (*).

145. Remarque. — Le cône asymptote est coupé par le plan P suivant une hyperbole dont l’axe réel est projeté suivant oe, et dont les sommets correspondants sont les points (ij;,4'')et(!p,9'). Les sections faites par le plan P dans le cône et dans l’hyperboloïde devant être concentriques, le point fu, \i') doit être au milieu de la droite (()i9, i}''?'). Les deux hyperboles obtenus remplissent analytiquement la condition de similitude; mais, dans l’acception ordinaire du mot, l’une est semblable à la conjuguée de l’autre {Géom. anal., 257, Note). ,