V Section parabolique

Si le plan Q, mené parallèlement au plan P par le sommet cki cône asymptote, est tangent à ce cône, la section est une parabole. Nous savons que, dans ce cas, il n’y a plus d’asymptote. Et, en effet, le plan tangent mené au cône par la génératrice unique parallèle au plan P, n’est autre que le plan Q. L’intersection de ces deux plans ou l’asymptote se transporte donc à l’infini.

Cette épure s’exécutera comme les précédentes : c’est un bon exercice que nous recommandons au lecteur.

(*) Nous laissons de c6té lo cas très^simple où la section hyperbolique se réduit à ses asymptotes ou k deux droites qui sc coupent : lo plan P derient alors tapement a Thyperboloïdc au point de rencontre de ors deux droites.

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Intersection d'une droite avec les surfaces considérées dans ce chapitre.

Intersection d'une droite avec un cylindre ou un cône.

S’il s’agit d’un cylindre, on fait passer par la droite donnée un plan parallèle aux génératrices du cylindre, et l’on construit les génératrices suivant lesquelles ce plan coupe le cylindre. Les points de rencontre de ces génératrices et de la droite donnée sont les points demandés.

S’il s’agit d’un cône [Jig. loo) donné par sa base abcd et son sommet {s, s'), on fait passer un plan par la droite proposée (ef, e'f) et le sommet du cône. La trace horizontale H" de, ce plan coupant la base du cône aux points m et n, le plan R coupera le cône suivant les deux génératrices (sm, s'm’), {sn, s'n'). Ces mêmes génératrices coupent la droite {ef, e'f') aux points (p, p'), (r, P), qui sont les points cherchés. ‘

148. Intersection d'une droite avec un hyperboloide de révolution à une nappe [fig. loi).

L’hyperboloïde donné H est defini par son cercle de gorge od et sa génératrice principale {dg, d'g').

Nous avons déjà résolu le problème proposé dans le cas d’une droite coupant l’axe de la surface (143). Nous supposons maintenant la droite donnée dans une position quelconque.

Par un mouvement de rotation autour de l’axe {oz, o'z') do l’hyperboloïde H, on peut toujours rendre préalablement cette droite (ab, a’b') parallèle au plan vertical (34). Nous admettrons donc dans l’épure qu’il en est ainsi.

Ceci posé, si l’on fait tourner la droite {ab, a’b') autour de l’axe {oz, o'z'), elle engendrera un hyperboloide II,, ayant pour cercle de gorge le cercle od, et qui coupera l’hyperboloïde H suivant deux parallèles qui contiendront les points d’intersection cherchés delà droite {ab, a' b') avec l’hyperboloïde H. Tout le problème consiste à trouver les hauteurs de ces parallèles au-dessus du plan horizontal.

Remarquons que le plan qui projette horizontalement la génératrice principale {dg, d'g') de l’hyperbololde II, coupe l’hyperboloïde IL suivant une hyperbole {Géom. anal., 374), dont le demi-axe réel est égal à yd. Les points où {dg,d'g') rencontre cette hyperbole, sont les points des deux hyperboloïdes H et II, qui engendrent les parallèles indiqués.

Or cette hyperbole, en tournant autour de l’axe vertical do/U le pied est en d, engendre un hyperboloide IL dont le cercle de gorge est le cercle dy cl dont la génératrice principale est la droite {a^,.a'b'). En effet, les seciions hyperboliques seni-

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blables ont des asymptotes parallèles (Géom. anal., 257), et chaque génératrice principale d’un hyperboloïde est parallèle à une asymptote de la section méridienne parallèle au plan vertical et se confond avec cette asymptote en projection verticale (12^).

La question est alors ramenée à chercher les points de rencontre de ce dernier hyperboloïde H, avec la droite [dg, d'g') qui coupe son axe (143).

Nous décrirons donc, autour de l’axe vertical projeté en d, le cône dont la génératrice parallèle au plan vertical se projette suivant d'g'. Nous mènerons par le point [d, d') une parallèle à la génératrice principale (a[3, a' b') de l’hyperboloïde H,. En joignant les traces horizontales a et ^ de ces deux droites, nous obtiendrons la trace horizontale ef du plan qui renferme la droite {dg, d'g') lorsqu’elle coupe l’hyperboloïde H, en un point situé sur la génératrice principale (a(3, a!b'). La projection horizontale de cette droite sera donc, à cet instant, de oxxdf', et son point de rencontre avec la génératrice principale sera [m„ m') ou (re,, n'). Les parallèles passant par les points de rencontre de la droite [ab, ab') et de l’hyperboloïde H sont ainsi déterminés; et ces points sont, par suite, immédiatement connus en (m, m') et en (n, n').

Remarques. — I. Si ab coupait la projection horizontale od du cercle de gorge de l’hyperboloïde H, la solution serait simplifiée ; car on appliquerait immédiatement à la droite donnée les raisonnements qu’on vient de faire relativement à la génératrice {dg, d'g').

II. Si ab était tangente au cercle od, le plan projetant horizontalement la droite donnée couperait l’hyperboloïde II suivant deux génératrices symétriques et parallèles aux génératrices principales: les points de rencontre de ces génératrices et de la droite {ab, a!b') seraient les points demandés.