INTERSECTION DE DEUX. SURFACES COURBES

149. Nous avons déjà indiqué (129) la méthode générale à suivre pour déterminer l’intersection de deux surfaces. Cette méthode consiste à les couper par une série de surfaces auxiliaires, qui doivent être choisies et dirigées autant que possible de manière à rencontrer les surfaces proposées suivant des lignes qu’on puisse construire immédiatement, c’est-à-dire suivant des droites ou des circonférences. Les points de ren- III. 34

li ÉO M ÈT U IK 1 J ESr. lu l'T I \ E .

contre des lignes appartenant à une même surface auxiliaire sont .à l’intersection cherchée.

Nous nous proposons dans ce chapitre d’étudier les cas qui offrent les simplifications les plus remarquables.

Intersection de deux surfaces cylindriqnes.

150. Nous supposerons {fig. io5) les deux cylindres donnés par leurs bases ab et cd sur le plan horizontal et par la direction de leurs génératrices. On obtiendra comme précédemment (105) leurs contours apparents sur chacun des plans de projection. Les bases «A et cd sont circulaires, mais cela ne inodilie en rien la suite des raisonnements.

On emploiera comme surfaces auxiliaires des plans sécants, parallèles aux génératrices des deux surfaces cylindriques : ils couperont ainsi chacune d’elles suivant des génératrices, f.es points de rencontre des génératrices situées dans le même plan auxiliaire appartiendront à l’intersection cherchée.

Pour avoir la direction des plans sécants, on mènera par un point quelconque (a, a') des parallèles (a(3, a' (3'), (ad, «'d') aux génératrices des deux cylindres. Le plan passant par ces parallèles aura pd pour trace horizontale : Les traces horizontales des plans auxiliaires devront donc être parallèles à la droite pd.

Ceci posé, la première chose à faire est de décider de quelle manière a lieu la rencontre des deux cylindres.

Menons à la base de chaque surface les tangentes, parallèles à la direction pd, qui comprennent cette même base.

Pans le cas de la fig. io5, la tangente efgb. la base ah coupe la seconde base cd, tandis que la tangente parallèle ne la rencontre pas. De même, la tangente ihh à la base cd coupe seule la première base ah. C’est donc entre les deux parallèles efg, ihh, que doivent être menées les traces horizontales des l)lans sécants auxiliaires. Au delà, les plans sécants employés rencontreraient un seul des cylindres proposés. On dit alors (|u’il y a arrachement. Les parties des deux cylindres qui correspondent aux arcs h yh,ftg, restent intactes, tandis que les génératrices qui s’appuient sur les arcs keh, fig, sont respectivement interrompues par les deux surfaces. Quand il y a arrachement, la courbe d’ intersection se compose d’une branche unique et continue.

Pans le cas de la fig. io6, les deux tangentes efg, EFG, menées à la base ab parallèlement à pd coupent toutes les deux la base cd. On dit alors qu’il y a pénétration du second cylindre par le premier. Les parties du second cylindre qui correspondent aux arcs fg et FG restent intactes, tandis que

GÉOMÉTRIE DKSCnn'lTVK.

toutes les génératrices du premier cylindre viennent percer le second dans la partie qui s’appuie sur l’arc /< F, pour en sortir «lans la partie qui s’aj)puie sur l'arc gtlG. L’intersection est alors formée de deux courbes dites d’entrée et de sortie, qui sont tout à fait dislinclcs et séparées.

Les tangentes qui servent à décider s’il y a arrachement ou pénétration, sont en même temps les traces horizontales II*" et 11^ des plans auxiliaires limites L et X. On commencera par déterminer les points de la courbe d’intersection qui sont dans cos plans limites. Pour cela, on construira la génératrice [epq, e'p'q') du cylindre ah et les deux génératrices (fptf'p'), {gq, g'q'), du cylindre cd. Ces génératrices étant dans un même plan, se couperont en deux points (p, p'), U], q'), f|»ii appartiendront à l’intersection cherchée. Comme vérification, les droites pp', qq', doivent être perpendiculaires à LT.

Remarquons que la génératrice (//>, /'/>') est dans le plan tangent mené au cylindre cd par le point (p, p'); elle est en même temps dans le plan X évidemment tangent au cylindre ah au même point (p, p'). Donc elle est l’intersection des plans tangents menés aux deux surfaces par le point {p, p'). Elle représente par conséquent la tangente à la courhe d’intersection au point considéré, et ses projections doivent être tangentes aux projections de cette courbe.

De même, la génératrice [gq, g'q') nst la tangente à la courbe d’intersection au point {q, q').

En opérant d’une manière identique par rapport à l’autre plan limite L, on trouvera deux nouveaux points [r, r') et \S, s') de la courbe d’intersection; et les tangentes en ces points seront aussi les génératrices {lir, h' r'), (Its, h's').

Si l’on conduit maintenant un plan sécant quelconque R, il coupera cbatiue surface suivant deux génératrices; et ces génératrices, par leurs rencontres mutuelles, fourniront quatre nouveaux points de l’intersection. On en déterminera ainsi autant qu’on voudra.

Considérons en particulier le plan sécant dont la trace horizontale passe par le point p, pied de l’une des génératrices (|ui correspondent au contour apparent du cylindre ah sur le plan horizontal. Sur cette génératrice, se trouvent deux points (m, «'), [v, v'), de l’intersection. La projection horizontale de cette génératrice est tangente à la projection horizontale de ta courhe d'intersection, aux points u et v. En effet, le plan tangent mené au cylindre ah suivant cette génératrice contient les tangentes à la courbe d’intersection aux points {u, u'), (i', e'); et comme ce plan est vertical sa trace horizon-

tale, qui est la projection horizontale de la génératrice dont le

pied est en fx, se coiiroiid avec les projections horizontales des tangentes qui y sont contenues.

Même remarque pour les projections horizontales des autres génératrices limites , lorsque leurs traces horizontales tombent entre les parallèles H*" et

On démontre, en s’appuyant sur des principes identiques, que les projections verticales des génératrices qui correspondent aux contours apparents des deux cylindres sur le plan vertical, sont tangentes à la projection verticale de l'intersection.

Pour avoir la tangente en un point quelconque (m, m') de l’intersection , comme cette tangente est l’intersection des plans tangents menés en ce point aux deux surfaces, il suffit de construire les traces horizontales de ces plans tangents. Par le point (m, m'), passent respectivement sur chaque surface les deux génératrices (xm, x'm'], (ym, y'm'). On aura donc les traces horizontales et H® des plans tangents correspondants, en menant par les pieds x e\. y des deux génératrices des tangentes aux bases ab et cd. Ces traces et H* se couperont en un point t, trace horizontale de la tangente demandée. Cette tangente aura donc pour projections les droites tm et t'm'.

Il peut arriver que le point t soit hors de l’épure. Les intersections de deux plans parallèles par un troisième étant parallèles, on mène alors une droite H” parallèle à Py, qui coupe convenablement II’ et H®. Elle représente la trace horizontale d’un plan parallèle au plan auxiliaire auquel appartiennent les génératrices [xm, x'm'), [ym, y' m'). En construisant les intersections du plan N avec les plans T et 0, on obtient un second point de la tangente cherchée [Compl. de Géom., 9).

Si l’on veut marquer sur l’épure, par la différence du tracé, les parties visibles et invisibles de la courbe d’intersection, c’est-à-dire si l’on suppose que les deux cylindres continuent d’exister après qu’on a déterminé cette courbe, il suffit de se reporter aux considérations développées au sujet des contours apparents des surfaces sur les deux plans de projection (102, 105). Ces considérations permettent de séparer sur les deux surfaces proposées, par rapport à chacun des plans de projection, les génératrices visibles de celles qui sont invisibles. On voit alors que tous les points de la courbe d’intersection qui appartiennent à deux génératrices visibles sur chaque cylindre, sont nécessairement visibles, tandis que tous les points de la courbe d’intersection qui appartiennent à une génératrice invisible sur l’un des cylindres, sont nécessairement invisibles.

151. Remarques. — I. La courbe d’intersection ne peut présenter de branches infinies, que lorsque l’une des deux surfaces cylindriques a pour base une courbe à branches infinies. Dans ce cas, en effet, un ou plusieurs des plans sécants auxiliaires peuvent aller rencontrer l’une des bases à l'infini, de manière à déterminer des points de la courbe d’intersection situés aussi à l’infini.

Les deux bases étant au contraire des courbes fermées, il faudrait, pour que l’intersection présentât une branche infinie, que deux génératrices des deux cylindres pussent se rencontrer elles-mêmes à l’infini ou être parallèles. Mais alors, toutes les génératrices des deux surfaces étant parallèles, il n’y aurait pas d’intersection ou elle se composerait simplement de génératrices séparées, communes aux deux cylindres.

II. Les deux cas û’ arrachement et de pénétration se réunissent, quand les bases des deux cylindres présentent des tangentes communes parallèles à la direction (3y. On trouve alors des courbes à nœud, parce que le plan limite correspondant à la tangente commune est tangent aux deux surfaces au point unique d’intersection des génératrices qu’il détermine sur chacune d’elles. Les courbes d’entrée et de sortie de la pénétration simple se rejoignent par ce nœud.

Intersection de deux surfaces coniques.

152. Nous supposerons les deux cônes donnés par leurs bases ab et cd sur le plan horizontal et par leurs sommets (S, S') et {s, s'). Nous obtiendrons, comme précédemment (109), leurs contours apparents sur les deux plans de projection. Les bases ab et cd sont ici circulaires; mais cette circonstance ne modifiera en rien nos raisonnements.

Les plans sécants auxiliaires doivent passer pçir les sommets des deux cônes, de manière à les couper tous les deux suivant des génératrices. On construira donc la trace horizontale a de la droite (Si, S' s') qui joint les deux sommets, et les traces horizontales des plans sécants devront passer par le point «. Les points de rencontre des génératrices situées dans un même plan auxiliaire appartiendront à l’intersection cherchée.

11 peut y avoir, comme dans le cas de deux cylindres (150), arrachement ou pénétration.

Il faut distinguer le cas où la courbe d'intersection des deux surfaces coniques présente des branches infinies, et celui où elle n’ea offre pas. Plaçons-nous d’abord {fig. 107) dans ce dernier cas; et, pour plus de simplicité et de clarté dans l’épure, proposons-nous de construire seulement la partie de

534 Ü^.OMÉÏIllE DESCUM'TIVK.

riiilerseclion qui apparlienl aux nappes inférieures des deux

cônes proposés.

Si le point a. ne tombe point dans l’intérieur des deux bases, on pourra mener par ce point deux droites chacune tangente à l’une des bases et sécante à l'autre. Ces droites xefg, xilrh, seront les traces horizontales H*' et des plans limites L et 1. Les traces horizontales des plans sécants, non comprises dans l’angle formé par les traces H*" et ne rencontreront en effet qu’une des bases des cônes donnés.

Dans l'exemple choisi, il y a pénétration du second cône par le premier. Il y aurait arrachement si les traces horizontales des deux plans limites n’étaient pas tangentes à la môme base.

Ceci posé, on construira la génératrice [se, s'e') du cône ab, et la génératrice (Sg-, S' g') du cône cd. On n’a pas besoin de construire les génératrices du second cône qui s’appuient sur l’arc fk, parce que ces génératrices correspondent à la partie de l’intersection située sur les nappes supérieures des deux cônes, partie que nous devons laisser de côté. Les génératrices {se, s'e'), (Sg, S'g') étant dans un même plan, se couperont en un point {p, p') qui appartiendra à l’intersection cherchée. Comme vérification, la droite pp' doit être perpendiculaire à LT.

Remarquons que la génératrice (Sg, S'g') est dans le plan tangent mené au cône cd par le point (p, p'); elle est en même temps dans le plan L évidemment tangent au cône ab au même point (p, p'). Donc, elle est l'intersection des deux plans tangents menés aux deux surfaces par le point {p, p'). Elle représente par suite la tangent te à la courbe d’ intersection au point considéré, et ses projections doivent être tangentes aux projections de celte courbe.

En opérant de même par rapport à l’autre plan limite X, on trouvera un nouveau point {q, q') de l’intersection; et la tangente en ce point sera aussi la génératrice (SA, S'A').

Si l’on conduit maintenant un plan sécant quelconque K, il coupera le cône ab suivant les deux génératrices {si, s'I') et (sn, s'n'), le cône cd suivant deux génératrices, mais on ne devra tenir compte que de la première (Sr, S'r'). Ces génératrices, par leurs rencontres mutuelles, fourniront deux nouveaux points de l’intersection; et l’on en déterminera ainsi autant qu’on voudra.

Considérons, en particulier, le plan sécant dont la trace horizontale passe par le point a, pied de l’une des génératrices qui correspondent au contour apparenl du cône ab sur le plan vertical. Sur relie généralrice, se Irouvera un point de rimer-

gi:omi;tiiib ueschipxivk.

secUon. En ce point, la projection verticale de la génératrice sera tangente à la projection verticale de la courbe d’intersection. En effet, le plan lanf’enl mené au cène ah suivant celte génératrice est perpendiculaire au plan vertical. 11 contient la tangente à la courbe d’intersection au point indiqué ; cl comme il est perpendiculaire au plan vertical, sa trace verticale qui est s'a' se confond avec la trace verticale de la tangente qu’il renferme.

Même remarque pour les projections verticales des autres génératrices limites des deux cônes, qui ont pour traces horizontales les points [b, b') et {d, d'). Il n’y a aucun point de l’inlerseclion sur la génératrice limite (Sc, S'c').

On ne peut pas faire une remarque analogue relativen)ent à la projection horizontale de l’intersection, parce que, dans l’exemple choisi, les contours apparents des deux cônes sur le plan horizontal se réduisent à leurs bases ab et cd.

Pour avoir la tangente en un point quelconque ( nt, ni'} de l'intersection, il faut construire l’intersection des plans tangents menés en ce point aux deux surfaces. Les traces horizontales de ces plans sont les tangentes et II® menées aux bases des deux cônes par les pieds des génératrices {rm, r'm‘), (Im, l'in'), qui, sur chacun d’eux, passent par le point considéré- Ces traces et II® se coupent en un point t, trace horizontale de la tangente demandée : celte tangente aura donc pour projections les droites tni et t'ni'.

Si l’on veut marquer sur l’épure, par la différence du tracé, les parties visibles et invisibles de l’intersection, c’est-à-dire si l’on suppose que les deux cônes continuent d’exister après la détermination de celle intersection, il suffit de séparer sur les deux surfaces, à l’aide de leurs contours apparents, les génératrices visibles des génératrices invisibles. Tous les points de la courbe d’intersection qui appartiennent à deux génératrices visibles sur chaque cône, sont nécessairement visibles; tous ceux qui appartiennent à une génératrice invisible sur l’un des cônes, sont nécessairement invisibles.

153. Remarque. — Nous savops (6’owp/. de Géom., 69) que les droites qui passent par l’un des centres de similitude de deux circonférences, coupent ces circonférences en des points tels, que les rayons correspondants sont parallèles. On pourra donc, si on le juge nécessaire (*), déterminer facilement les points maximum et minimum de la jirojection verticale de l’intersection par rapport à LT.

(*) Sur I 'é]nirt% on .1 (te rôle rcUc ttélei luiiiation.

GÉUMÉXltlË DESCRIPTIVE.

Soit O un centre de siniiliiude des circonférences ab el cd. Considérons le plan sécant auxiliaire qui passe par ce point, c’est-à-dire dont la trace horizontale est «o. Les tangentes menées à la courbe d’intersection parles points qui y sont contenus, sont nécessairement parallèles au plan horizontal, de . sorte que les projections verticales de ces tangentes, parallèles à LT, correspondent bien à des points maximum et minimum en projection verticale. En effet, les traces horizontales des plans tangents menés aux deux surfaces par les points considérés seront parallèles, comme perpendiculaires à des rayons parallèles dans les deux circonférences ab et cd : ces plans auront donc pour intersections des horizontales.

Dans le. cas de bases circulaires ou, plus généralement, homothétiques, le point le plus haut et le point le plus bas de la projection verticale de l’intersection se détermineront donc toujours facilement.

15i. 11 faut considérer maintenant le cas où l’intersection des deux surfaces coniques présente des branches infinies.

Pour qu’il en soit ainsi, il faut que, sur les deux cônes, on puisse trouver des génératrices parallèles entre elles. Si cette condition n’est pas remplie, aucun point de l’intersection ne pourra, en effet, être situé à l’infini.

Pour décider, on transporte le cône ab, par exemple, parallèlement à lui-même , en faisant glisser son sommet (s, s') le long de la droite (iS, f'S'), jusqu’à ce qu’il vienne coïncider avec le“sommet (S, S') du cône cd. On construit la nouvelle base du cône aô ainsi transporté, en menant par le sommet (S, S') des parallèles aux positions primitives de ses génératrices, et en cherchant les traces horizontales de ces parallèles.

11 faut d’ailleurs remarquer que la nouvelle base doit être semblable à l’ancienne {Géom. anal., 252); dès qu’on en aura construit un point, on aura donc le rapport de similitude de ces deux bases; car le point a, trace horizontale de la droite {«S, i'S'), est évidemment leur centre de similitude : on obtiendra alors par un simple tracé plan autant de points de la * nouvelle base du cône ab qu’on voudra.

On voit qu’on remplace en réalité le cône ab dans ses deux positions par deux pyramides à arêtes parallèles et proportionnelles,- el les deux bases considérées par deux polygones homothétiques (Compl. de Géofn., 65).

Lorsque la base du cône transporté est une circonférence ifig. io8), il suffit évidemment de tracer par le sommet (S, S') du cône cd des parallèles aux génératrices limites {sa, s'a'), (sb, s'b') du cône ab. Les traces horizontales de ces parallèles (Sa, S'a'), (S (3, S' (3'), étant a el la nouvelle base du

DigiiiJix) by Googli

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. SSy

cône ab sera la circonférence décrite sur «(3 comme diamètre. Si la circonférence coupe la circonférence cd, les deux cônes «|3 et cd auront des génératrices communes, et ces génératrices communes deviendront des génératrices parallèles quand on ramènera le cône ab dans sa véritable position : l’intersection des deux cônes sera alors une courbe à branches infinies.

Dans le cas de la Jig. io8, la position des traces horizontales H*" et des plans sécants limites montre qu’il y a arrachement des deux surfaces.

155. Pour avoir les asymptotes des branches injinies, il suffit de chercher l’intersection des plans tangents menés aux deux cônes suivant les génératrices parallèles obtenues. L’intersection de deux de ces plans tangents est, en effet, une tangente à la courbe d’intersection qui a son point de contact à l’infini, sur les deux génératrices parallèles considérées, c’est-à-dire que cette tangente est une asymptote. On construira donc les traces horizontales des deux plans tangents et, par le point où ces traces se couperont, on tracera une parallèle aux génératrices contenues dans ces plans tangents. On aura ainsi les projections d’une asymptote.

Si les bases cd et (Jig. io8), au lieu de se couper, étaient tangentes, la courbe d’intersection des deux surfaces présenterait toujours une branche infinie; mais cette branche n’aurait pas d’asymptote, car les génératrices communes des cônes cd et a(3 correspondant alors à des rayons ou à des normales en ligne droite, les génératrices parallèles des cônes cd et ab correspondraient à des rayons ou à des normales parallèles. Les plans tangents aux deux cônes ab et cd le long de ces mêmes génératrices, auraient alors des traces horizontales parallèles et seraient par suite eux-mêmes parallèles, de sorte que leur intersection ou l’asymptote se transporterait à l’infini.

D’ailleurs l’intersection, qu’elle ait ou non des branches infinies, se construira toujours d’après les principes exposés au n“ 152.

156. Intersection d’une surface conique et d’une surface cylindrique.

Si le sommet du second cône considéré jusqu’ici se transporte à l’infini, ce cône dégénère en cylindre. La droite passant par les sommets des deux cônes devient alors une parallèle menée par le sommet du premier cône aux génératrices du cylindre. Donc, dans le cas où l’on cherche l’intersection de deux surfaces, l’une conique, l’autre cylindrique, il faut que les traces horizontales de tous les plans sécants auxiliaires passent par la trace horizontale de la droite menée par le sommet de la surface conique, parallèlement aux géné-

r. KOM ÉTH lu UESCR l l‘ï I V E .

ralricos de la surface cjlindrique. Les plans auxiliaires couperoiU alors les deux surfaces suivant des génératrices, et les points de rencontre des génératrices situées dans un même plan sécant appartiendront à l’intersection cherchée. Le mode d’opérer sera d’ailleurs identique à celui suivi dans les deux cas précédents (150, 152).

Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans un même plan.

157. Les axes des deux surfaces de révolution étant supposés dans un même plan, se couperont ou seront parallèles.

Pour trouver l’intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont parallèles, on suppose ces axes verticaux et l’on coupe les deux surfaces par une série de plans auxiliaires horizontaux. Chaque plan auxiliaire détermine sur les surfaces proposées des circonférences de cercle dont les points d’intersection, faciles à construire, appartiennent à la courbe cherchée.

Lorsque les axes des deux surfaces se rencontrent, on peut supposer l’un d’eux vertical et l’autre parallèle au plan vertical. Ceci posé, si l’on employait encore des plans auxiliaires horizontaux, on obtiendrait bien comme sections des circonférences de cercle sur la première surface ; mais sur l’autre surface dont l’axe est oblique au plan horizontal, on déterminerait des courbes quelconques qu’il faudrait en général tracer par points. On doit donc recourir à d’autres surfaces auxiliaires; et la sphère se présente ici d’elle-mème, en vertu de son importante propriété d’être de révolution autour de tous ses diamètres {Géom., 256). On coupera par suite les surfaces proposées par des sphères variables ayant pour centre fixe le point de concours des axes, et chacune de ces sphères déterminera sur les surfaces de révolution données des circonférences dont les points communs seront à l’intersection cherchée {*).

Nous allons maintenant développer les méthodes indiquées sur deux exemples particuliers.

''158. Premier cas : Intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont les axes se coupent [fig. 109).

Le premier ellipsoïde est donné par son axe vertical {oz, o’z') et par la projection verticale a' b' du méridien situé dans le |)lan des deux axes [qui est supposé (157) parallèle au plan vertical]. Le cercle ab est l’équateur du premier ellipsoïde.

(*) Deux lin rrvohilioii qui uni memo se eotipeni «Wiileininenl sui-

vaut les paruilêles <1ccriU> par les puinls c('iummis à leurs tvuirites tiiéiiiliennes.

C KO .M É1 r. 1 E 11 ESC R H’T 1 V E .

Le second ellipsoïde est donné par son axe obli(|ue au plan horizontal {cd, c'd') et par la projection verticale g’h'p'q' du méridien situé dans 1e plan des deux axes.

On a ainsi le contour apparent des deux surfaces sur le plan vertical et le contour apparent de la première sur le plan horizontal.

Du point de rencontre d' des projections verticales des deux axes comme centre, décrivons une circonférence de cercle coupant les deux ellipses a' b' et g' b'p'q' aux points e' et /', g' et A'. Cette circonlérence de cercle pourra être regardée comme la projection verticale d’une sphère auxiliaire ayant son centre au point de rencontre des deux axes.

Cette sphère ayant même axe {oz, o'z’) que le premier ellipsoïde, le coupera suivant un parallèle dont la projection verticale sera la corde e'f et dont la projection horizontale sera la circonférence oe. ^

Comme on peut prendre pour axe d’une sphère l’un quelconque de ses diamètres, la sphère considérée aura aussi même axe {cd, c'd') que le second ellipsoïde, et le coupera de même suivant un parallèle dont la projection verticale sera la corde g' h'. 11 est inutile de considérer la projection horizontale de ce parallèle.

Les deux projections verticales e'f et g' h' se coupant en un point m', situé dans V intérieur de la circonférence d'e', les deux parallèles considérés se coupent suivant une corde perpendiculaire en m' au plan vertical ; et les extrémités de cette corde commune sont deux points de l’intersection des ellipsoïdes proposés.

Comme les projections horizontales de ces points appartiennent au cercle oe, projection horizontale du premier parallèle, on les obtiendra en m et en n, en abaissant du point m' jusqu’à la rencontre de la circonférence oe une perpendiculaire à LT.

En considérant d’autres sphères auxiliaires et en opérant d’une manière identique par rapport à chacune d’elles, on trouvera autant de points de l’intersection qu’on voudra.

Il est commode de considérer des parallèles du premier ellipsoïde situés deux à deux à la même disumee de part et d’autre de son équateur, parce que ces parallèles se confondent en projection horizontale.

Les points p' et q' d’intersection des projections verticales des méridiens des deux ellipsoïdes, appartiennent évidemment à la projection verticale de l’intersection et lui servent de limites. Les projections horizontales correspondantes p et q sont sur cd, trace horizontale du méridien commun aux deux surfaces.

En décrivant la ciic(>nfcrence qui coupe l'ellipse a' h' sui-

54u GÉOMÉTRIE DESCHITTIVE.

vani l’axe a' b', on obtient les points (k, k')el [l, /') de l’intersection qui se trouvent sur l’équateur du premier ellipsoïde. Les points k et L séparent, en projection horizontale, la partie visible de la partie invisible. Quant à la projection verticale de l’intersection, comme cette intersection est formée de deux parties symétriques par ra|)port au méridien commun des deux surfaces, la partie visible en projection verticale recouvre exactement la partie invisible.

Aux points /i et /, la projection horizontale de l’intersection est tangente à la projection horizontale ab de l’équateur du premier ellipsoïde. En effet, aux points [k, k') et (/, /'), les plans tangents au premier ellipsoïde sont verticaux, puisque ces points appartiennent à son contour apparent relativement au |)lan horizontal (10^). Donc les tangentes correspondantes à la couii)e d’inlcrseclion se confondent en projection horizontale avec les traces horizontales de ces plans tangents, qui sont nécessairement Umgentes à la circonférence ab aux points k et Z(lio).

Pour mener la tangente en un point (m, ni') de la courbe d'intersection, on devra de préférence employer la méthode du plan normal déjà indiquée (130). Cette méthode consiste à remarquer (]ue les normales menées aux deux surfaces par le point (w, /«') étant toutes deux perpendiculaires à la tangente cherchée, déterminent un plan perpendiculaire à cette tangente, lequel est le plan normal à la courbe d’intersection au point (/«, m'). Connaissant les traces de ce plan ou leurs directions, on aura immédiatement les projections de la tangente.

Cette méthode est préférable dans le cas des surfaces de révolution, parce que la normale étant alors contenue dans le plan méridien qui passe parle point de contact et qui est perpendiculaire au plan tangent en ce point (115), toutes celles qui correspondent au même parallèle coupent l’axe de la surface en un même point, et sont par suite faciles à construire.

Nous mènerons donc la normale e' r' à l’ellipse a'b'. Enjoignant le point r' où cette normale coupe o' z' au point m', nous aurons la projection verticale de la normale menée au premier ellipsoïde par le point (m, m'); sa projection horizontale sera la droite mo.

Nous mènerons de même la normale h’ s' à l’ellipse p'q' g'h'. En joignant le point s' où cette normale coupe d d' au point m', nous aurons la projection verticale de la normale menée au second ellipsoïde j)ar le point (m, ni'); sa projection horizontale (en projetant s' en s sur cd) sera ms.

En menant la droite r's', on aura la projection verticale de la trace du plan normal au point (m, ni') sur le plan du méri-

dicn commun aux deux surfaces; cl comme ce méridien est parallèle au plan vertical, la droite (r'*') fera connaître la direction de la trace verticale du plan normal. La perpendiculaire m' t' à r'i' sera donc la projection verticale de la tangente cherchée.

Pour avoir sa projection horizontale, on pourra déterminer la trace horizontale du plan normal ; ou bien, s’il est nécessaire de resserrer les constructions dans un cadre étroit, on pourra construire la droite d’intersection des deux normales avec un plan R convenablement choisi et parallèle au plan horizontal. A}ant obtenu la projection horizontale de celle droite [nécessairement parallèle à la trace horizontale du plan normal), on lui mènera la perpendiculaire mt, qui sera la projection horizontale de la tangente cherchée.

Aux points (p, p'), {q, q’), situés sur les contours apparents des deux ellipsoïdes relativement au plan vertical , les plans tangents aùx deux surfaces sont perpendiculaires au plan vertical. Par suite, les tangentes en ces points à la courbe d’intersection de l’espace sont perpendiculaires au plan vertical. En projection horizontale, elles sont donc perpendiculaires à LT; en projection verticale, elles se réduisent à un point.

Cependant, la construction indiquée pour trouver la courbe p'm'q' pourrait se continuer au delà de la partie de celte courbe qui répond à l’intersection des deux ellipsoïdes proposés ; et cette courbe, considérée alors comme courbe plane indépendante de la question(traitée dans l’espace) qui y a conduit, admet en p' et en q' des tangentes qu’il peut être utile de construire. La métliode du plan normal a l’avantage d’être immédiatement applicable à ce cas limite, parce qu’elle n’exige que l’emploi de lignes tracées dans le plan même de la courbe • p'm'q'.

159. Remarques. — I. Les deux surfaces de révolution dont on vient de chercher l’intersection étant du second degré, la courbe p' ni' q' sera elle-même une courbe de second degré {Géom. analyt., 392).

IL Si l’on voulait construire la tangente à la courbe d’intersection en suivant la méthode du plan tangent, on déterminerait d’abord facilement le plan tangent au premier ellipsoïde (116). Pour obtenir ensuite le plan langent au second ellipsoïde, on mènerait la normale à celle surface au point considéré (m, m'). En conduisant par le point (m, m') un plan perpendiculaire à cette normale, on aurait le second plan langent.

160. Second cas : Intersection d’un cône de résolution et d’une sphère (Jig. i lo).

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Li* cône, dont l’axe est supposé vertical, est donné par sa hase nb sur le plan horizontal et par son sommet (s, *'). Les génératrices du cône parallèles au plan vertical sont donc les droites [sa, s' a'), {sb, s' b').

Le centre de la sphère proposée est au point milieu {o, o') de la droite {sa, s'a'), et le rayon de cette sphère est égal à la moitié du rayon de la base du cône. Son contour apparent sur le plan horizontal sera par suite la circonférence décrite sur sa comme diamètre ; son contour apparent sur le plan vertical sera une circonférence égale de centre o'. On pourra prendre pour axe de cette sphère la verticale dont le pied est en o et qui se projette sur l’autre plan de projection suivant la perpendiculaire Mo' à LT.

Les deux surfaces considérées ayant ainsi leurs axes parallèles, nous les couperons par des plans auxiliaires horizontaux. L’un de ces plans R coupera la sphère suivant un parallèle dont la projection verticale sera la corde e'f et dont la projection horizontale sera la circonférence de diamètre ef; il coupera le cône suivant un autre parallèle dont la projection verticale e'9' se confondra en direction avec e'f et dont la projection horizontale sera la circonférence de diamètre eç. Les deux circonférences ef et e<p se couperont en deux points m et n, dont la projection -verticale commune sera le point m'; et les deux points (m, /«'), (n, n'), appartiendront à l’intersection cherchée. On en construira ainsi autant qu’on voudra.

11 est commode de prendre les parallèles de la sphère de part et d’autre et à égale distance de son équateur : ils se confondent alors deux à deux en projection horizontale.

Les points remarquables de la courbe d’intersection s’obtiennent comme dans le premier cas (158).

Les points (/r, //),(/, /') de l’intersection, qui sont situés sur l’équateur de la sphère, font connaître les points qui séparent, sur la projection horizontale, la partie visible delà partie invisible.

Aux points f< et /, la projection horizontale de l’intersection est tangente à la projection horizontale de l’équateur, parce que le plan tangent à la sphère aux points {k, h') et (/, /') est perpendiculaire au plan horizontal.

Les points c' et d' où la projection verticale du méridien de la sphère coupe la projection verticale du méridien du cône, appartiennent à la projection verticale de l’intersection, et se projettent horizontalement en c et en d. Ces points sont des point limites. En ces points, les plans tangents aux deux surfaces étant perpendiculaires au plan vertical, la tangente à l’intersection est elle-même perpendiculaire à ce plan, c’est- ^

GÉOMKTRIfc: DESCMPTIV E.

ii-dire qu’elle se réduit à un point en projection verticale et qu’elle est perpendiculaire à LT en projection horizontale.

Pour mener la tangente en un point (/n, m') de l’intersection, on pourra encore avoir recours à la méthode du plan normal. x

La normale à la sphère passant toujours par son centre, le pied constant des normales sur l’axe de la sphère sera le point [o, o').

Le point m' étant situé sur la droite e' 9', on mènera par le point 9' la perpendiculaire 9'/' à s'a'jus<|u’à la rencontre de la droite s' s. Le point i' sera la projection verticale du point où toutes les normales menées au cène suivant les différents points du parallèle £'9' rencontrent l’axe de la surface. On n’aura donc (158) qu’à tracer la perpendiculaire m' t' à la droite i' o' pour avoir la projection verticale de la tangente demandée.

Quant à sa projection horizontale, on pourra construire la trace horizontale du plan des deux normales, et abaisser du point m une perpendiculaire mt sur H'* .

Si les dimensions de l’épure l’exigent, on devra (158) construire, au lieu de H” , la projection horizontale de l’intersection du plan normal avec un plan parallèle au plan horizontal (celui de l’équateur de la sphère).

On a indiqué sur l’épure les deux procédés.

On trouve facilement les tangentes à la courbe plane c'm't/' aux points c' et d'.