Remarque relative aux ombres et à la perspective

Supposons un point lumineux 0 et un corps opaque dont nous désignerons la surface par C. Si l’on imagine (118) un cône dont le sommet soit en O et qui soit circonscrit à la surface C suivant la courbe A, toute la partie de cette surface comprise dans l’intérieur du cône et regardant son sommet O sera éclairée; toute la partie opposée sera au contraire dans Fombre. La courbe A est la li.gne de séparation d’ombre et de lumière sur le corps C. Derrière ce corps, le prolongement du cône lumineux au delà de la courbe A constitue l’ombre indéfinie projetée par le corps C dans l’espace. Si une surface C' est plongée dans cette ombre, elle se trouve privée de la lumière qui émane du point O. Si la surface C' est coupée par le prolongement du cône lumineux au delà de la courbe A, suivant une courbe A', cette courbe A' limite l'ombre portée de la surface C sur la surface C'.

Si l’on considère seulement la lumière du soleil, comme cela a lieu dans la pratique, le point lumineux O s’éloigne à l’infini, et le cône lumineux devient un cylindre lumineux dont les génératrices sont parallèles à la direction assignée aux rayons solaires.

On voit que chaque question d’ombre reviendra à une question théorique concernant les plans tangents aux surfaces et leurs intersections mutuelles.

Par exemple, chercher sur une sphère opaque éclairée la ligne de séparation d’ombre et de lumière, et l’ombre portée de cette sphère sur un plan horizontal, c’est construire les projections de la courbe de contact de la spbére avec un cylindre circonscrit dont la direction des génératrices est donnée; c’est ensuite déterminer la trace horizontale de ce cylindre.

Tout ce qu’on vient de dire relativement aux ombres peut se répéter pour la perspective. '

Le sommet O du cône, circonscrit à la surface G considérée suivant la courbe A, est alors le point de vue ou le point où l’on se suppose placé ; la ligne de contact A est le contour apparent de la surface G pour l’observateur placé au point O ; la perspective du corps G est l’intersection du cône visuel avec une autre surface G' (ordinairement plane) qu’on appelle tableau, et qui est en général située entre le point de vue O et le corps G.

Si le point de vue s’éloigne à l’infini et si le tableau est supposé perpendiculaire aux génératrices du cylindre visuel, la perspective du corps G sur le tableau se confond avec sa proection orthogonale sur ce plan (102).

QUESTIONS PROPOSEES

l. Mener à un cône un plan tangent qui passe par un point extérieur donné. (Méthode des plans cotés.)

II Étant donnée la projection d’un point d’une surface sphérique, trouver sa cote .

m. Mener à une sphère donnée un plan tangent parallèle à un plan donné. (Méthode des plans cotés.)

rV. On donne une droite et une sphère : mener par la droite un plan qui coupe la sphère suivant un cercle tangent à un autre cercle donné de cette sphère.

V. Construire les plans tangents communs à une sphère et à un cône de révolution donnés.

VI. Par un point extérieur, mener à une surface de révolution un plan tangent à cette surface en un point d’un parallèle ou d’un méridien donné. On résoudra ce problème dans le cas de l’ellipsoïde et de la surface gauche de révolution. [Voir Note IV.)

VII. Circonscrire à une sphère ou à un ellipsoïde de révolution un cône de sommet donné.

VUl. Mener à une surface de révolution, parallèlement à une droite donnée, un plan qui soit tangent à la surface suivant un parallèle ou un méridien donné. (Voir Note IV.)

IX. Circonscrire à une sphère ou à un ellipsoïde de révolution un cylindre dont la direction des génératrices est donnée.

X. Mener à une sphère, par un point extérieur, un plan tangent qui la touche suivant un parallèle ou un méridien donné. (Méthode des plans cotés.)

lll. ■ .35

OÉOMÉTIIIB DESCRIPTIVE.

XI. Mener à une surface de révolution un plan tangent parallèle à un plan donné. On résoudra ce problème dans le cas de l’ellipsoïde et de la surface gauche de révolution. [Foir Note IV.)

XII. On donne un cylindre vertical dont la base sur le plan horizontal est un cercle. On coupe ce cylindre par un plan perpendiculaire au plan vertical et faisant un angle de 45'* avec le plan horizontal ; on prend l’intersection obtenue pour base d’un nouveau cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de cette base ; enfin , un point de la nouvelle surface cylindrique est donné par sa projection horizontale. On demande: 1° de trouver la projection verticale de ce point; a” de mener par ce même point le plan tangent à la seconde surface cylindrique. (Concourt (Padmission à P Ecole Polytechnique, i856.)

XIII. Un plan est donné par ses traces; dans ce plan, un cercle est donné par son rayon et la projection horizontale de son centre. Ce cercle étant pris pour base d’un cylindre droit, on propose de mener, par un point donné, un plan langent à ce cylindre. [Concours tPadmission a PErôle Polytechnique, 1869.)

XIV. On donne : i° un plan P passant par la ligne de terre et faisant un angle de 45° avec le plan horizontal ; un point a du plan horizontal situé à 5 centimètres de la ligne de terre. On demande les traces horizontale et verticale d’un cône de révolution ayant pour sommet le point A du plan P qui se projette horizontalement en a, pour axe la perpendiculaire élevée en A au plan P, et pour demi-angle au sommet un angle de 4o°. (Concours d^admission à P Ecole Centrale, 1861.)

XV. On donne: 1“ un plan passant par la ligne de terre et faisant un angle de 60“ avec le plan horizontal ; a” un point a situé dans le plan horizontal à 6 centimètres de la ligne de terre. On demande les traces horizontale et verticale d’un cylindre de révolution ayant pour axe la perpendiculaire élevée au plan donné par le point de ce plan qui se projette horizontalement en a, et un rayon de 3 centimètres. (Concours d’admission à P Ecole Centrale, 1861.)

XVI. On donne : i® une droite située dans le plan horizontal et faisant un angle de 45° avec la ligne de terre ; 2° un point m du plan horizontal, pris à volonté entre la droite précédente et la ligne de terre. La droite , en tournant autour de la ligne de terre, engendre un cône. On demande : 1° de mener à ce cône un plan tangent par l’un des deux points de la surface qui se projette horizontalement en m ; 2° de construire les projections de l’intersection de ce plan tangent et d’un cylindre de révolution ayant la ligne de terre pour axe et un rayon de 3 centimètres. (Concours d admission à P Ecole Centrale, 1861.)

XVn. Deux cercles situés dans le plan horizontal ont leurs centres sur la ligne de terre à 9 centimètres l’un de l’autre, et des rayons respectivement égaux à 3 et à 4 centimètres. On mène à ces cercles deux tangentes communes, l’une intérieure A, l’autre extérieure B. La tangente A, en tournant autour do la ligne de terre, engendre un cône. On demande la projection verticale et la vraie grandeur de la section faite dans ce cône par le plan vertical qui a la tangente B pour trace horizontale. On tra-

cera les asymptotes de la section, si elle en admet. (Cnncours rPadmission à PEcole Centrale, i86i.)

XVin. On donne une sphère par son centre et son rayon. On fait passer un plan par la ligne de terre et le centre de cette sphère , et l’on demande les projections de la courbe d’intersection des deux surfaces. Tangente en un point quelconque. [Concours iPadmission à PEcole Centrale, 1861.)

XIX. On donne; 1“ une sphère de 4 centimètres de rayon, tangente aux deux plans de projection ; a° le plan qui passe par les deux points de la sphère diamétrajement opposés à ses points de contact avèc les plans de projection, et dont la trace horizontale fait un angle de 60° avec la ligne de terre. On demande les projections et la vraie grandeur de la section déterminée par ce plan dans la sphère, ainsi que la tangente en un point de celle section. [Concours cPtulmission à PEcole Centrale, 1861.)

XX. Trouver l’intersection de la surface engendrée par la révolution d’une ellipse autour d’une droite située dans son plan et parallèle à son (letit axe, et ^un plan parallèle à la ligne de terre. Construire les projections de la courbe d'intersection, en ayant soin de distinguer par la ponctuation les parties vues des parties cachées, et déterminer les projections d’une tangente à celle courbe. {Concours iC admission à PEcole Polytechnique, 1861.)

XXI. On donne : 1° un tétraèdre régulier de 7 centimètres de côté, reposant sur le plan horizontal par une de ses faces : l’une des arêtes de cette face est perpendiculaire à la ligne de terre ; a° un cylindre de révolution de 3 centimètres de rayon , dont l’axe situé dans le plan horizontal et parallèle à la ligne de terre passe par la projection horizontale du sommet du tétraèdre. Construire les projections des courbes d’intersection du cylindre et des faces du tétraèdre. (Concours cPtulmission à PEcole Centrale, 1861.)

XXII. Un cylindre de révolution dont les génératrices sont parallèles à la ligne de terre repose sur le plan horizontal. Trouver son intersection avec un cône vertical de révolution qui a son sommet sur l’axe du cylindre et qui a pour trace horizontale un cercle de même rayon que la section droite de ce cylindre. Construire la tangente en un point de la courbe d’intersection, [floncours eP admission à PEcole Centrale, i86a.)

XXIII. Trouver l’intersection d’un cône et d’un cylindre définis de la manière suivante ;

Le cylindre est droit, sa base est un cercle donné dans le plan horizontal. Le cône a son sommet sur l’axe du cylindre ; sa base est une hyperbole tangente à la base du cylindre et ayant pour asymptotes deux diamètres rectangulaires de celte base, l’un’parallèle à la ligne de terre.

On mènera la tangente on un point de la courbe d’intersection, et l’on ponctuera la partie cachée de cette courbe en supposant que le cylindre existe seul. (Concours cPtulmission à PEcole Centrale, 1862.)

XXrV. Un cylindre horizontal plein, terminé d’un côté au plan vertical de projection, et de l’autre à un plan vertical parallèle, rencontre un

CÉUMÉTHIE DESCRIPTIVE.

cône dont la base est posée sur le plan horizontal. On demande : i* de construire les projections de l’intersection des deux surfaces ; de faire le développement de la surface du cylindre avec les transformées des bases et do l’intersection ; 3° de construire les projections d’une tangente à l’intersection et la tangente au point correspondant de la transformée de cette courbe.

On supposera que le cône est enlevé. Les bases du cylindre seront des cercles, celle du cône sera une ellipse. Le cylindre ne sera pas perpendiculaire au plan vertical. [Concours iP admission à P Ecole Polytechnique, 1860.)

XXV. Un tronc de cône droit à bases parallèles repose sur le plan horizontal par sa grande base qui est un cercle de ^ centimètres de rayon. La hauteur du tronc est de lo centimètres, et sa petite base a a centimètres de rayon. Ce tronc de cône est surmonté d’un cylindre droit ayant même axe que le tronc, un rayon de 5 centimètres et 2 centimètres de hauteur.

Dans un plan, passant par l’axe commun des corps considérés et faisant un angle de 4ô“ avec le plan vertical, on prend un point S situé à la centimètres de cet axe et à 20 centimètres du plan horizontal.

Cela posé, on propose de construire les projections de l'intersection du tronc de cône avec un cône oblique ayant pour sommet le point S, et pour base la base inférieure du cylindre qui surmonte le cône tronqué.

On veut aussi connaître: 1° la tangente en un point quelconque de l’intersection ; 2° la tangente en un point situé dans un plan tangent mené au tronc de cône par le sommet du cône oblique; 3” la tangente en un des points pour lesquels elle a une direction horizontale. [Concours tPadmission à P Ecole Pidytechnique, i858.)

XXVI. Construire les traces et les intersections, en vraie grandeur, de deux cylindres de révolution, dont les axes contenus dans un mémo plan vertical parallèle au plan vertical de projection se rencontrent en faisant tous deux un angle de 3o° avec le plan horizontal. On sait d’ailleurs que lo diamètre de la section droite de chaque cylindre est de 8 centimètres.

On construira la tangente en un point de chaque intersection , et on la reportera sur le rabattement correspondant. [Concours cPadmission à PErole Centrale, i8Ga.)

XXVII. Intersection de deux cônes A et B définis de la manière suivante :

Im cône A est do révolution; son sommet est dans le plan horizontal, son axe est vertical, et le demi-angle au sommet y est égal à 3o“.

Le cône B a pour directrice une section horizontale quelconque du cône A ; son sommet est pris arbitrairement dans l’espace , toutefois audessus du plan de sa directrice et extérieurement au cône A.

On demande les projections do l’intersection et la tangente en un point de cotte courbe. Pour la ponctuation, on supposera que le cône A existe ^ seul. [Concours rPadmission à P Ecole Centrale, i86a.)

.XXVIII. Trouver l’intersection d’un cylindre et d’une sphère définis de la manière suivante:

Le cylindre est droit ; sa base est un cercle AB donné sur le plan horizontal (on suppose le diamètre AB parallèle à la ligne de terre). La sphère

a son rayon égal au diamètre du cylindre, et son centre est sur l’arètc du cylindre dont le pied C est à 4^“ de l'extrémité B du diamètre AB ; elle repose d’ailleurs sur le plan horizontal.

On mènera la tangente en un point quelconque de la courbe d’intersection, et l’on en ponctuera la partie cachée en supposant que le cylindre existe seul. {Concoure trmlmission à FEcolc Centrale, 1862.)

XXIX. On donne un cône droit de révolution dont la base est posée sur le plan horizontal et une sphère dont le centre est situé sur une génératrice du cône ayant pour projection ujie droite faisant un angle de 45“ avec la ligne de terre.

On demande : 1“ de déterminer l’intersection des deux surfaces par ses projections; de développer la surface conique et de tracer sur le développement l’intersection des doux surfaces ; 3° de construire une tangente à la courbe développée.

Le diamètre de la base du cône est de la centimètres, sa hauteur est de 14 centimètres ; le diamètre de la sphère est de 10 centimètres, la hauteur de son centre au-dessus du plan horizontal est de 6 centimètres. (Concours d’atlmission à V Ecole Polytechnique, i86a.)

XXX. Intersection d’une sphère et d’un hyperboloïde de révolution à une nappe, définis de la manière suivante :

L’axe de l’hyperboloïde est vertical , la plus courte distance de la génératrice à cet axe est de i5 millimètres., l’angle que fait la génératrice avec l’axe est de 45°.

La sphère passe par le centre du cercle de gorge, elle a son centre sur l’hyperboloïde, à 3 centimètres du plan du cercle de gorge et dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection.

On construira la tangente en un point de la courbe d'intersection. (Concours cPadmission à P Ecole Centrale, 1 862.)

XXXI. On sait qu’une niche est formée d’un demi-cylindre vertical , surmonté d’un quart de sphère ayant même centre et môme rayon que sa base supérieure : trouver l’ombre portée du contour de la niche sur .sa propre surface. (Voir le n“ 162.)

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