CARACTÈRES GÉNÉRAUX DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

1. De même que l’Algèbre généralise les problèmes et les conceptions arithmétiques, de même la Géométrie analytique soumet à des méthodes uniformes et certaines les diverses théories géométriques.

Lorsqu’on essayait, par exemple, de déterminer la tangente à une courbe avant l’immortelle création de Descartes, il fallait modifier la marche suivie chaque fois que la courbe considérée changeait, et chaque nouvelle courbe exigeait ainsi un nouvel effort particulier. L’analyse de Descartes, discernant la partie vraiment commune à toutes les solutions, remplaça cette diversité par une seule méthode générale, applicable à tous les cas.

L’illustre philosophe avait surtout pour but le perfectionnement de la géométrie; mais l’intime rapprochement établi par lui entre les phénomènes géométriques et les théories de l’Algèbre, réagit de la manière la plus heureuse sur les progrès de cette dernière branche de nos spéculations; et l’on doit regarder l’œuvre de Descartes comme ayant préparé III. I

2 GÉOMÉTRIE iNALYTIQDÉ.

toutes les déeou vertes ultérieures, en fondant enfin l’unité des mathématiques.

2. Les grandeurs étant seules susceptibles d’une expression nuntëriqtie, pour soumettre la géométrie à l’analyse, il faut pouvoir ramener les idées Aq forme et de position à l’idée de grandeur.

La forme d’un corps dépendant des positions occupées par ses différents points, il suffit d’indiquer de quelle manière on peut fixer la position d’un point. On y parvient, en employant ce qu’on appelle des systèmes de coordonnées.

Si le point considéré appartient à une ligne donnée, il suffit de choisir comme origine un point fixe de cette ligne : en faisant connaître la distance du point variable à l’origine (distance comptée sur la ligne elle-même), on déterminera immédiatement sa position. La distance indiquée devra d’ailleurs être affectée du signe plus ou du signe moins, suivant que le point variable tombera d’un côté ou de l’autre de l’origine {Àlg. élém., 161).

Si le point considéré appartient à une surface donnée (c’est le cas constant en géométrie plane), il faut indiquer une ligne de la surface qui le contienne et sa position sur cette ligne comme on vient de le dire.

Si le point considéré est situé d’une manière quelconque dans l’espace, il faut indiquer une surface qui le contienne et sa position sur cette surface.

En géométrie plane, le système de coordonnées universellement adopté consiste à déterminer la position d’un point par ses distances à deux droites fixes tracées dans son plan, et, le plus ordinairement, rectangulaires. Si l’on sait que le point M Ifig. I ) est à une distance MP de l’axe Ox et à une distance MQ de l’axe Oj, il suffira de prendre sur l’axe O^- une longueur OQ = MP et sur l’axe Ox une longueur OP = MQ; en menant respectivement par les points Q et P des parallèles aux deux axes, leur intersection déterminera nécessairement le point proposé.

MP ou OQ s’appelle l'ordonnée du point M, MQ ou OP s’appelle son abscisse. L’abscisse fait connaître une droite du plan renfermant le point M, et l’ordonnée sa position sur cette droite, ou réciproquement. L’expression de coordonnées rappelle la nécessité de réunir ces deux renseignements numériques pour obtenir le point M. Ox est l’axe des abscisses. Or l’axe des ordonnées; les deux axes portent le nom A' axes des coordonnées. Les coordonnées pouvant toujours être comptées sur les deux axes, à partir de leur point d’intersection O, ce point s’appelle l'origine des coordonnées. Enfin,

l’ordonnée d’un point étant généralement désignée par y et son abscisse par x, les axes Oj et Oar sont souvent appelés -axe des jr et axe des x.

Si les axes 0;^ et O x sont obliques l’un sur l'autre, la distance du point M à l’un des axes est comptée parallèlement à l’autre axe, et rien n’est changé aux indications précédentes.

En se reportant à la figure, on voit que les quatre points M, M', M", M'", deux à deux symétriques par rapport à l’un des axes, ont en valeur absolue les mêmes coordonnées. Cette difficulté est immédiatement levée par la règle fondamentale de l’opposition de sens manifestée par l’opposition de signe. D’après cette règle, les coordonnées du point M étant OQ et OP, celles du point M' sont OQ et — OP, celles du point M" sont — OQ et OP, celles du point M'" sont — OQ et — OP. Aucune ambiguïté n’est donc possible.

3. Remarques. — 1“ Dans le système de coordonnées dont on vient de parler et auquel on peut spécialement donner le nom de rectiligne, deux points M et M* {Jig. i), situés sur une même droite passant par l’origine et à égale distance de cette origine, ont des coordonnées égales et de signes contraires. La réciproque est vraie.

2“ Tous les points de l’axe des y ont une abscisse nulle, tous les points de l’axe des x ont une ordonnée nulle. Les coordonnées de l’origine sont x = o, y = o.

3“ Les coordonnées d’un point situé dans un plan non limité peuvent varier depuis — oo jusqu’à -t-oo.

4“ Quand nous écrirons le point {x', y'), il faudra entendre le point dont les coordonnées sont x' et y'.

4. On emploie encore souvent, surtout en Astronomie, le système de coordonnées polaire.

Soit dans le plan du point M (Jig. 2) un axe OA et un point O choisi sur cet axe. Le point M sera déterminé si l’on connaît sa distance p au point O et l’angle u formé par la ligne OM avec l’axe OA. La coordonnée linéaire p porte le nom de rayon vecteur; la coordonnée angulaire w n’a pas reçu de nom spécial. Le point O est le pôle, l’axe OA est Yaxe polaire.

On voit que le point M est déterminé dans ce système par l’intersection d’un cercle ayant pour centre le pôle et pour rayon p, et d’une droite partant du pôle et faisant l’angle w avec Taxe polaire.

Lorsqu’il s’agit de la détermination d’un seul point, m peut varier de o à 271 et p de o à -l- 00 . En faisant varier p de oà -i-QO , on a dans le plan tous les cercles possibles, et, en faisant varier b) de O à 27T, on a dans ces cercles tous les rayons possibles.

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/f GÉOMÉTRIE AJiALTTIQEE.

5. Outre le système rectiligne et le système polaire seuls usités, il existe évidemment ««e infinité de systèmes de coordonnées.

Ainsi, par exemple, on pourrait déterminer un point sur un plan par ses distances à deux points fixes choisis dans ce plan ou par les angles formés par les rayons vecteurs de ce point avec la droite joignant les deux points fixes. Dans le premier cas, le point cherché résulterait de l’intersection de deux circonférences de cercle, dans le second de l’intersection de deux lignes droites; dans le premier cas, ses deux coordonnées seraient linéaires, dans le second elles deviendraient toutes les deux angulaires.

D’une manière générale, le point variable est nécessairement placé à l’intersection de deux lignes quelconques, droites ou courbes, 'foutes les conditions qui déterminent ces lignes doivent être fixes, excepté une seule dépendant précisément pour chacune d’elles de la position du point mobile, et la valeur numérique qui correspond pour chaque ligne à cette condition constitue l’une des coordonnées du point cherché.

C. Ouaiïd un point se déplace arbitrairement dans un plan, ses deux coordonnées varient indépendamment l’un de l’autre. Mais si ce point est astreint à parcourir une ligne AB, la valeur de l’une des coordonnées suffit pour fixer sa position et, par conséquent, pour déterminer l’autre coordonnée. Si le point mobile doit appartenir à l’arc AB (fig. 3), l’ordonnée Ml* correspondra nécessairement à l’abscisse OP, et la variation de l’abscisse imposera à l’ordonnée une variation parfaitement définie. On dit alors que les deux coordonnées sont fonction l’une de l’autre, et leur dépendance est caractérisée par une équation entre les deux variables y et x ou entre les deux variables p et w, s’il s’agit de coordonnées polaires. Que celte équation puisse être ou non exprimée, on conçoit qu’elle existe toujours, et comme elle traduit algébriquement la condition nécessaire pour que le point mobile décrive la courbe AB, on donne à cette équation le nom A’équation de la courbe AB.

L’équation d’une ligne quelconque dans un système quelconque est donc la. relation constante qui lie les coordonnées variables du point mobile, d’après la nature même de la ligne considérée; de sorte que, quelle que soit la définition adoptée, si la ligne ne change pas, l’équation ne changera pas. Mais le changement de position d’une même courbe par rapport aux axes doit nécessairement modifier son équation, tout en y laissant subsister certains caractères propres à la courbe considérée.

7. Réciproquement, toute équation y=f{x) ou F {x,y) — o entre deux variables r et x représente une courbe plané. En effet, chaque couple de valeurs réelles de x et de y satisfaisant à l’équation proposée, correspond aux coordonnées d’un certain point du plan. Et, en général, si l’on fait varier x d’une manière continue, les valeurs correspondantes de y varient aussi d’une manière continue, en restant réelles au moins entre certaines limites. L’ensemble des points ainsi obtenus forme donc une ligne continue ou lieu géométrique qui a pour définition algébrique l’équation proposée.

Dans le système polaire, toute équation entre les variables P et oj représente aussi, en général, une courbe plane.

De même que l’équation d’une courbe ne dépend en rien do la~délinition de cette courbe, de même un lieu géométrique déterminé ne dépend en rien des diverses formes que peut affecter son équation. Et pour étudier la marebe générale des solutions de cette équation, ce qu’il y a de plus simple, c’est d’en construire le lieu. Cette intime relation entre les équations et leur représentation graphique constitue, aussi bien au point de vue pratique qu’au point de vue théorique, l’un des principaux avantages de la géométrie analytique.