Pour construire l’équation J =/(x), on donne ordinai

rement à X des valeurs en progression arithmétique; ce qui permet, lorsque la fonction proposée est entière algébriquement, de calculer les valeurs successives de y en ayant recours à la méthode des différences d'Àlg., 249).

On unit les différents points du plan représentés par les couples de valeurs de ar et de par un trait continu, et l’on a la courbe cherchée d’une manière d’autant plus approchée que la raison de la progression formée par les valeurs de x est plus petite.

Pour construire l’équation F(a?,j) = o, on a à résoudre, pour chaque valeur particulière de x, une équation en y. Pour trouver les racines de cette équation, on devra se servir des procédés connus (voir Complément d’ Algèbre), et le tracé du lieu s’achèvera comme nous venons de le dire.

Dans ce dernier cas, l’emploi d’une variable auxiliaire permet souvent de simplifier la question.

Si la loi qui lie les deux variables y et x n’a pu être exprimée algébriquement, et si l’on a seulement à sa disposition V une Table renfermant une série de valeurs expérimentales correspondantes des deux variables, on pourra tracer le lieu par points en adoptant ces valeurs.

Ce tracé présentera les avantages suivants : dans l’intervalle

Difii-iZfîd ij'. ^ viwiqle

6 GÉOMÉTItlE ANALYTIQUE.

des valeurs fournies par la Table, on pourra adopter approximativement les résultats indiqués par la courbe, de sorte que l’interpolation sera immédiate [Complém. d’Alg., 240). En outre , la courbe trouvée pourra se rapprocher beaucoup d’une courbe connue, et la loi du phénomène pourra alors être exprimée, avec une approximation suffisante pour les besoins de la pratique, par l’équation même de cette courbe connue dans la position considérée; enfin, les phénomènes naturels présentant en général une grande continuité, si la courbe résultant des nombres de la Table ne satisfait pas, en certains points, à cette continuité, on sera averti des erreurs qu’on a pu commettre dans les expériences, et on devra recommencer ces dernières pour les points regardés comme inexacts.

Ce qui précède suffit pour montrer quelles précieuses ressources la Géométrie analytique peut offrir aux physiciens et aux ingénieurs, dans l’étude des phénomènes compliqués dont ils ont à s’occuper.

9. La représentation des lignes par des équations constitue en réalité la Géométrie analytique, puisqu’elle permet de ramener l’étude des propriétés des lignes à l’application des procédés généraux de l’analyse.

Un lieu étant défini géométriquement, on cherchera donc son équation pour trouver ses propriétés. Réciproquement, une équation étant donnée, on construira la courbe correspondante, afin d’obtenir le tableau de la marche des valeurs de la fonction.

Nous devons présenter ici une importante et très-utile remarque. La définition géométrique du lieu permet non- seulement de trouver son équation dans tel système de coordonnées qu’on voudra, mais cette définition constitue elle-même souvent une première équation du lieu par rapport à un certain système dépendant de la définition adoptée et qu’on pourrait qualifier (avec Auguste Comte) de système de coordonnées naturel : chaque définition du même lieu conduira d’ailleurs à un nouveau système naturel.

Par exemple, si l’on adopte pour la circonférence de cercle la définition donnée en géométrie élémentaire, le système naturel est le système polaire, et l’équation du lieu est immédiatement p= constante. Si la circonférence est définie le lieu du sommet d’un angle constant dont les côtés passent constamment par deux points fixes, le système naturel est celui dans lequel le point mobile est déterminé par l’intersection de deux droites partant des deux points fixes et formant des angles variables a ei ^ d’un même côté de la droite

GÉOMÉTRIE ANALTTIQTiE. 7

qui joint ces points' (5): dans ce système de coordonnées, un a pour équation de la circonférence

a — (3 = constante.

On nomme ellipse le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante. Le système de coordonnées naturel est alors celui dans lequel le point mobile est déterminé par ies rayons vecteurs m et v correspondants aux deux points fixes, et l’équation du lieu dans ce système est

U -H v = constante.

Dans le même système, Y hyperbole, lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes demeure constante, a pour équation

« — v= constante.

Enfin la parabole, lieu des points dont les distances à une droite fixe et à un point fixe sont égales, est représentée par l’équation u = v dans le système moitié polaire, moitié rectiligne, qui correspond à la définition indiquée.

D’après ce que nous venons de dire, on comprend que toute la difficulté, lorsqu’on cherche l’équation d’un lieu géométrique, consiste dans le passage du système de coordonnées naturel ou de la relation algébrique correspondante, au système de coordonnées prescrit ou à l’équation demandée. On devra donc, après avoir traduit algébri<|uement la définition de la courbe comme nous l’avons fait plus liant, chercher les relations qui existent entre les coordonnées naturelles et les coordonnées définitives; et une élimination plus ou moins pénible conduira alors d’une manière ceitaine à l’équation du lieu proposé. C’est ce que les exemples ultérieurs éclairciront.