THÉORIE DE L'HOMOGÉNÉITÉ ET CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
De l’homogénéité.
10. D'une manière générale, la grande loi de l’homogénéité peut s’énoncer comme il suit : Toute équation provenant de la résolution d’une question de géométrie, de mécanique ou de physique, doit être homogène, c’est-à-dire ne renfermer q ue des termes de même degré..
GÉOMÉTHIK ANALTTIQIE.
Eli effet, l’exaciilude de toute relation concrète ne peut dépendre en rien du choix de l’unité, qu’il est nécessaire de fixer seulement au point de vue des évaluations numériques (*).
D’après cette remarque, supposons spécialement une relation algébrique quelconque entre longueurs. Si runhé d’abord employée est remplacée par une unité p fois plus petite, toutes les lignes du problème se trouveront représentées par des nombres p fois plus grands, c’est-à-dire que chaque facteur linéaire de l’équation se trouvera multiplié par p. Dès lors tous les termes du premier degré seront multipliés par p, tous les termes du second degré par tous les termes
du degré ni par p". L’équation proposée ne continuera donc d’exister, comme cela doit être, que si tous ses termes sont de même degré : dans cette hypothèse, tous varieront dans le même rapport par suite de la variation de l’unité, tandis que dans l’hypothèse contraire tous les termes de degrés différents varieraient dans des rapports inégaux. Ainsi, à moins d’erreurs de calcul, l’équation proposée ne pouvant dépendre de l’unité choisie doit être homogène.
Si la question posée exige la considération de grandeurs d’espèce différente, il y a deux cas à distinguer.
Il peut se faire que ces grandeurs d’espèce différente soient subordonnées les unes aux autres. Par exemple, on peut avoir à considérer en même temps des longueurs, des aires et des volumes. D’après l’encbaînement indiqué en géométrie, on devra dans ce cas compter chaque aire pour deux, et chaque volume pour trois facteurs linéaires. En prenant cette précaution, on vérifiera immédiatement l’homogénéité de l’équation obtenue.
En second lieu, si les grandeurs d’espèce différente qui entrent dans la question sont tout à fait indépendantes les unes des autres, il faudra évidemment que l’équation trouvée soit homogène par rapport à chaque espèce de grandeur.
11 est bien entendu que les nombres abstraits étant du degré O échappent à la variation produite par le changement d'unité, et qu’il ne faut en tenir aucun compte dans ce qui précède. Les rapports trigonométriqnes sont des nombres abstraits.
11. On dit qu’une fonction est homogène et du degré m lorsque toutes les lettres qui y entrent étant multipliées par un même facteur h, la fonction elle-même est multipliée par /i™.
(•) Par e.\einf)lc, quelle que soit Tunité considérée, le carré du nombre qui représente riiypotcnusc d’un triancle rcclanglc est toujours égal h la somme des carres des nombres qui représentent les edtés de î'angle droit.
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Les fondions
rt’ — 6’c-f-6c’, b^c — c‘,
3a’-t- 6c "jab — 2C’’
sont homogènes. La première est du 3' degré, la seconde est du 2* degré, la troisième du degré o,la quatrième du degré — i.
On voit d’après cela que le degré d'un radical s’obtient en divisant le degré de la fonction placée sons le radical par l'indice du radical, et que le degré d’une expression fractionnaire est égal au degré du numérateur diminué du degré du dénominateur.
Si l’on examine l’équation du mouvement uniforme e—vt.
on voit que e = j est du premier degré par rapport a l’espace
et du degré — i par rapport au temps; de sorte que l’équation e—vt est bien homogène, soit qu’on considère séparément l’espace et le temps, soit qu’on les considère ensemble (10). Et l’on peut en conclure que si, dans une formule de mécanique, on multiplie les longueurs par un facteur m et les temps par un facteur «, les quantités analogües à v devront être
multipliées par Cet exemple suffit pour montrer de quelle
manière on doit vérifier l’homogénéité des équations fournies par la résolution d’un problème de mécanique ou de physique.
12. Jusqu’ici, nous avons admis implicitement qu’aucune des lignes de la figure ou des grandeurs qui entrent dans la question n’avait été prise pour unité. Dans ce cas, en effet, l’équation correspondante pourrait, sans cesser d’être homogène, perdre le caractère ^e l’homogénéité, puisque tous les facteurs égaux à l’unité disparaissent nécessairement du calcul. Quand cette particularité se présente, il est d'ailleurs facile de rétablir l’homogénéité. Car, avant le choix de l’unité et lorsque la ligne ou la grandeur correspondante était représentée par un signe indéterminé, l’équation avait tous ses termes de même degré. Il suffit donc de rétablir cette condition en multipliant les différents termes par des puissances convenables d’une certaine lettre prise pour signe représentatif de l’unité, et cela de la manière la plus simple possible.
Soit l’expression
Si X représente une longueur ainsi que les autres lettres de la formule, la quantité placée sous le radical doit être du se-
lO GÉOMÉTRIE A^ALYTIQGE.
cond degré (II), une ligne de la figure a donc été prise pour
unité : désignons-la par X. Nous devrons multiplier^, qui est c'd "
du degré o, par X% et — > qui est du premier degré, seulement par X. Nous obtiendrons ainsi l’équation homogène
13. On comprend, sans que nous insistions, toute l’importance du principe de l’homogénéité : c’est un moyen précieux de vérification pendant tout le cours des calculs, et l’on ne doit jamais perdre de vue la symétrie qu’il impose aux équations sur lesquelles on opère. Les élèves feront donc bien de s’assurer toujours de l’homogénéité des formules qu’ils emploieront, jusqu’à ce que l’habitude leur permette de se passer d’une vérification directe.
Construction des expressions algébriques.
14. Construire une formule, c’est remplacer les évaluations, numériques qu’elle indique par des constructions géométriques. Ces constructions, en liant convenablement des lignes proportionnelles aux nombres considérés, conduisent en dernier lieu à une ligne proportionnelle à la valeur numérique de l’inconnue.
On n’admet, en général, que les constructions où entrent la ligne droite et le cercle, c’est-à-dire que celles qui peuvent s’effectuer simplement à l’aide de la règle et du compas. Comme nous le verrons bientôt, les équations de la ligne droite et de la circonférence de cercle sont du premier et du second degré. Par conséquent, nous ne pourrons construire que des formules rationnelles du premier degré ou des formules irrationnelles renfermant seulement des radicaux du second degré ou dérivés du second degré.
Les expressions à construire doivent présenter le caractère de l’homogénéité : on le rétablira donc toujours s’il n’existe pas déjà (12); car si la ligne prise pour unité n’entrait pas explicitement dans la formule donnée, on ne pourrait exécuter sur cette ligne aucune des constructions nécessaires.
15. Dans ce qui va suivre, nous supposerons que l’inconnue X représente une ligne droite, ainsi que toutes les autres lettres de la formule.
S’il s’agit d’une formule entière et rationnelle, elle sera de la forme
GÉOMÉTRIE A^ALYTIQt:E. Il
et X s’obtiendra facilement en portant sur une droite fixe indéfinie, à partir d’un point déterminé de celte droite, dans le sens convenable et à la suite les unes des autres, les longueurs
3 a, ^ O, c et - a.
La distance du point auquel on parviendra, à l’origine choisie, représentera la valeur de x.
S’il s’agit d’une formule fractionnaire et rationnelle, sa forme la plus simple sera
ab
On obtiendra alors x en construisant une quatrième proportionnelle aux longueurs c, a el h. x sera une troisième proportionnelle aux longueurs c et a, si l’on a
X — ^ (Géoni., 116).
Toute expression monôme analogue, telle que • abcd
«fs
se construira à l’aide du même procédé répété; car on peut écrire
a b cd = - X 7- X —
«JS
Soient
^ cd bi ah
on aura finalement
Si X est une fraction à termes polynômes, on commencera par les rendre entiers. Soit donc
abcd — efgh -+■ klmn
opr — stu
On peut poser
efgh = abcê, klmn = abcô', opr = abe, slu — abs'.
On déterminera les lignes auxiliaires 6, 8', t, e', par une série de quatrièmes proportionnelles, et l’on aura
r = c(rf— 6-1-6')
ab{e — e') £ — e' ’
la CÉOMÉTniE ANALYTIQUE.
c’esl-à-dire qu’on sera ramené au cas le plus simple résolu d’abord.
