Passons aux expressions irraiionnelles. Si l’on a
X sera immédialemenl donnée par la construction d’une moyenne proportionnelle aux longueurs a et 6 ( Géom., 117). Si l’on a
X sera l’hypoténuse du triangle rectangle qui a pour côtés a et b.
Si l’on a
il faudra construire un triangle rectangle qui ait a pour hypoténuse et b pour côté de l’angle droit; x sera représentée par le second côté du triangle.
En général, toutes les formules irrationnelles du second degré pourront être construites à l’aide de quatrièmes proportionnelles successives et d’une dernière moyenne proportionnelle. Soit, par exemple, l’expression
abcd — cfgb, + hlmn
op
■ rs
Nous remarquerons que, comme cela doit être, d’après la loi de l’homogénéité, le degré du numérateur de la fraction placée sous le radical l’emporte de deux unités sur le degré du dénominateur.
Nous poserons
efgh = abcS, Jdmn = abcè', op— at, rs — ag'. 11 viendra alors, en simplifiant.
bc(d — d 4- à')
A l’aide d’une quatrième proportionnelle, on pourra remplacer c{</— Ô-HÔ') , ,
-, — ■ par une seule longueur y, et, pour avoir
x = \fbÿ, il suffira de chercher une moyenne proportionnelle à ô et à y.
Si l’on avait à considérer un radical du quatrième degré, la
GÉOMÉTME ANALyiIQÜE. l3
marche à suivre sérail encore la même. Soit, par exemple.
La quantité placée sous le radical principal doit être du ^qua - Irième degré; il faut donc commencer par rétablir l’homogénéité, ce que nous ferons (12) en représentant la ligne prise pour unité par X et en multipliant les différents termes de l’expression par des puissances convenables de X. Nous aurons
a’X’H- b\' ^cX d‘‘ —
Nous construirons les moyennes proportionnelles
puis
Il viendra alors
\[cl=xf et \/bl = g, \Jag=h ou ag=h'.
La construction d’un triangle rectangle nous permettra de remplacer rf’ — 4’ par 4’; celle d’une troisième proportionnelle et de deux moyennes proportionnelles nous permettra
fit*
de remplacer par m’ et 4/ par n’; enfin, en construisant un dernier triangle rectangle, nous aurons
c’est-à-dire
On aura donc finalement à chercher une quatrième proportionnelle q aux longueurs If, X et p, puis une moyenne proportionnelle à X et à
