Quand l’inconnue est une surface S, on pose

S = ax.

a étant une ligne choisie arbitrairement. En construisant la longueur x, on peut obtenir un rectangle équivalent à la surface cherchée.

l4 , GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

De même, si l’inconnue est un volume V, on pose V = a?x,

el la détermination de x donne un parallélipipède rectangle équivalent au volume cherché.

La détermination d’un angle donné par un de ses rapports trigonométriques se ramène de même à celle d’une droite. Si l’on a, par exemple,

tango: = -»

il faut construire un triangle rectangle sur b ex a comme côtés de l’angle droit; l’angle opposé dans ce triangle au côté b est l’angle cherché.

18. L’habitude du calcul permet souvent de simplifier la construction d’une formule, en suggérant un mode de décomposition favorable.

Soit

oa‘b’-+- aa’c’-t- y.b’c^ — a* — b* — c‘

a' b -H labc

L’application du procédé général serait très-longue. Mais on peut écrire élém., p. a56. Questions proposées)

(a-\-b -tr c){a-X- b — c){a-\-c — b)[b-\-c — a)

ab(a-\-b -\-7.c) '

et l’on arrive alors rapidement au résultat.

Applications.

19. On peut se proposer de construire les racines d'une équation du second degré ramenée à la forme

x'‘-{-px-\-q — o.

Si X représente une longueur, il faut pour l’homogénéité que P soit du premier degré et q du second degré. On pourra donc, en général, représenter p par une certaine ligne a, el q par un carré équivalent b'. L’équation du second degré, en mettant en évidence les signes de ses différents termes, aura alors l’iinc des quatre formes suivantes :

ax -H 6*== o, x^-X-ax — x^ — aa:-l-6'=o, x' — ax — b'=o.

En changeant le signe de x, on passe des deux premières aux

GÉOMÉTniE ARALYTIQUE. l5

deux dernièi es équations : nous n’avons donc, besoin de construire que les racines des équations (3) et (4); en les changeant de signe, nous obtiendrons ensuite immédiatement les racines des équations (i) et (a).

Les équations (3) et (4) peuvent s’écrire

Dans le premier cas, la somme des racines est a, leur produit est b^; on est alors ramené à ce problème élémentaire [Géom., 118) ; Trouver deux lignes, connaissant leur somme et leur produit.

Dans le second cas, la somme algébrique des racines est toujours a; mais comme elles sont de signes contraires, a est en réalité la différence des deux lignes qui les représentent. On est donc ramené à cet autre problème {Géom., 119) ; Trouver deux lignes, connaissant leur différence et leur produit. La plus grande des deux lignes trouvées sera la racine positive de l’équation.

On peut aussi résoudre directement les équations considérées et construire les formules

20. Pour les équations bicarrées, on a seulement besoin de considérer les trois formes

car l’équation.

n’admet que des racines imaginaires. Si l’on pose

x^ = by,

les équations proposées deviennent

On détermine alors comme on vient de l’indiquer (19) les racines des équations en y, puis on obtient x en construisant une moyenne proportionnelle à j et à b.

21. Pour terminer ce sujet, nous traiterons le problème suivant et nous construirons la solution trouvée.

Par un point M pris sur la bissectrice d’un angle droit\Qi\, mener une droite telle, que la partie de celte droite comprise

l6 «iéoMÉTRIE ANAI.YTIQUK.

enliv les côtés de l’angle, prolongés s’il est nécessaire, ait une longueur donnée l (fig- 4)- (Problème de Pappus.)

On délerminera le point M en donnant sa distance « = MP= MQ aux deux côtés de l’angle droit. Soit AB= / lu ligne cherchée. On pourra prendre pour inconnues

OA = a:, OB=J'.

Le triangle rectangle AOB se composant des triangles OMA, OMB, on pourra écrire

xy=a{x ->^y).

Le même triangle donnera d’ailleurs

/> = + [x -H J')’ — y xy — {x + jj’— ■ia{x-hy].

c’est-ii-dire

et, par suite,

{x + r)“ — ia{x -+-j) — O,