THÉORIE DF. LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
22. Nous chercherons d'abord les formules qui permettent de passer d’un système de coordonnées rectiligne à un autre système de coordonnées rectiligne.
La transformation dont il s’agit doit être considérée sous deux points de vue.
Nous avons dit précédemment (6) que le changement de position d’une ligne par rapport aux axes choisis pouvait modifier son équation. Lorsqu’on voudra s’assurer que deux équations différentes représentent en réalité deux lignes distinctes, on y parviendra en opérant par rapport à l’une de ces lignes une transformation d’axes d’abord indélermii^e. Puis, on essayera d’identifier les équations des deux lignes en faisant usage des constantes arbitraires introduites par la transformation effectuée. Suivant qu’on pourra ou non trouver ainsi pour ces constantes des valeurs réelles, on aura ou non affaire au même lieu.
Le second point de vue est relatif à la simplification spé- ; ciale d’une équation isolée. Très-souvent, la définition géomé- I trique adoptée ne conduit pas à la forme la plus simple pour ) l’équation correspondante. Il est donc important de pouvoir opérer une transformation d’axes d’abord indéterminée. En i cherchant ensuite les valeurs qu’il faut assigner aux constantes j
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arbitraires ainsi introduites pour faire disparaître certains termes de l’équation primitive, on déterminera la situation des axes pour laquelle cette équation est réduite à la forme la plus favorable : on choisit alors le système d’axes obtenu de cette manière, toutes les fois qu’on veut étudier commodément les propriétés de la courbe considérée.
Les applications ultérieures feront bien comprendre les indications générales qui précèdent.
23. L’établissement des formules de transformation est un simple problème de trigonométrie. On doit chercher l’expression générale des coordonnées d’un point quelconque du plan par rapport aux anciens axes, en fonction de ses coordonnées par rapport aux nouveaux axes. Dans chaque cas particulier, il suffira de substituer dans l’équation proposée les valeurs générales obtenues, pour passer de l’ancien système au nouveau.
Il convient de distinguer le transport des axes parallèlement à eux-mèmes (c’est-à-dire le simple déplacement de l’origine) et leur changement de direction. La transformation générale • consistera ensuite à réunir comme simultanées les modifications dues à chaque changement isolé.
24. Déplacement de l’origine. — Remplaçons les deux axes Ox et O^par les deux axes O'x' et O' / qui leur sont respectivement parallèles [fig. 5). La position des nouveaux axes sera déterminée si l’on donne les coordonnées a et 6 de la nouvelle origine O' par rapport au^ anciens axes. Soit M un point quelconque du plan. Ses" coordonnées seront a: = OP ety^=MP par rapport aux anciens axes, jr'=0'P' et^ = MP' par rapport aux nouveaux. Pour aller du point O au point M, on peut suivre la ligne droite OM ou la ligne brisée OO'M. Les projections des deux chemins considérés sur un axe quelconque seront donc égales [Trig., 16). En projetant sur l’axe Ox (parallèlement aux /), on aura donc
x = a-hx',
et en projetant sur l’axe 0/ (parallèlement aux x), on aura
Si l’on voulait revenir des nouveaux axes aux anciens, on aurait ^
• • XZ=1X (T,
I>a théorie des projections étant complètement générale, il en est de même des formules trouvées.
Remarque. — üii (loil remnrquer iminédialenieni que celle première iransformalion ne peul modilier en rien le degré de réqiialion donnée; de plus, elle laisse intacts les coefficients des ternies du degré le plus élevé.
25. Changement de direction des axes. — Supposons mainlenanl qu’en conservanl la même origine, on modifie la direclion des axes.
Soienl Oæ: et Oy les anciens axes qui fonl enlre eux l’angle Q (fig. 6). Soienl Ox' el Oy' les nouveaux axes donl la silualion esl délinie par les angles a el (3 qu’ils fonl avec l’axe Ox, le sens posilif de la rolalion angulaire des axes élanl celui de ' Ox vers Oy. Soil M un point quelconque du plan. Ses coordonnées seront x = OP et y=MP par rapport aux anciens axes, x' = OP' el y' = MP' par rapport aux nouveaux. On peul aller du point O au poinl M en suivant la ligne brisée OPM ou la ligne brisée OP'M. Les projections de ces deux chemins sur un axe quelconque seront donc égales. Pour avoir x, nous nous débarrasserons de y en choisissant pour axe de projection la perpendiculaire OH à Oy. La projection de OPM sur OH se réduira ainsi à
arcos — 0^—x sin0.
L’angle de Ox' avec OH esl a -t-^ — 0, celui de 0/ avec le
même axe esl (3 -i- ^ — 0. La projection du chemin OP'M sur OH sera donc {Trig., 15, 16)
y' cos — (6 — «)J -t-ycosl ^ — (6 — (3) |i c’est-à-dire
x' sin (0 — «) -h y' sin (0 — ^), et l’on aura .
X sin 6 = x' sin (0 — a) -y /sin {9 — (3).
Pour avoir y, nous nous debarrasserons de x en choisissant pour axe de projection la perpendiculaire OK à Ox. La projection de OPM sur OK se réduira ainsi à
ycos^^ — O^=ysin0.
L’angle de Ox' avec OK esl ^ — a, celui de Oy' avec le
même axe esl (3 — La projection du chemin OP'M sur OK sera donc
x' cos j + j’ cos ^(3 — 1
et l’on aura*
x' sin a-t-/'sin p, y sin 0 = a/ sin a +y’ sin p.
Les formules cherchées sont, par suite,
x'sin(0 — a)-hr'sin(0 — P)
Sin 0
a:' sin a -l-j' sin P
^ sin 0
Si l’on voulait revenir des nouveaux axes aux anciens, on pourrait, au lieu de résoudre les équations qu’on vient de trouver par rapport à x' et à y', changer 0 en p — a, a en — a, P en 0 — a,' enfin a; et j en x' et y' et réciproquement ; il viendrait
, a: sin p jsin(P — 0)
^ ~ sin (P — a) ’
^a: sin a -f- rsin (0 — a)
^ = sin (P -a)
Remarque. — On doit remarquer immédiatement que cette seconde transformation, pas plus que la première, ne peut modifier le degré de l’équation donnée : elle ne peut ni l’abaisser ni l’élever, puisque les valeurs de a: et de j sont du ’ premier degré en x' et en y', et réciproquement. Mais le changement de direction des axes peut modifier les coefficients de tous les termes de l’équation, sans que ceux des termes du degré le plus élevé soient ici exceptés.
20. Il est utile de considérer les cas particuliers suivants :
1" Les nouveaux axes sont rectangulaires. On a alors
11 en résulte sin
Pt
— a = - ou P = a4
un (0 — P)= sin |^0 — a — — cos(0 — a)
= sin(a-l-^)-
sin 3 :
; cos a.
Oti a donc, d’après les formules générales (25), x' sin (6 — a) — r' cos (6 — a)
sin G
x'sina-t-j'cosa
^ sin 9
Telles seront les formules à employer lorsqu’on voudra passer d’un système d’axes obliques à un système d’axes rectangulaires.
1° Les axes primitifs sont rectangulaires. On a alors
11 en résulte
sin (G — a)= cos«, sin(0 — P) = cos(3, sinG = i.
On a donc, d’après les formules générales (25),
x = x' cos a -h j'cos [3, y = x' sin « + /' sin (3. ■*
Telles seront les formules à employer pour passer d’un système d’axes rectangulaires à un système d’axes obliques.
3“ Les deux systèmes d’axes sont rectangulaires. 11 faudra supposer
G = - et & = ac-h-a 2
Il en résulte
sin (G — a)= cos a, sin (G — (3)= cos (3 = — sin a, sin P = cos a, sin G = i .
Les formules générales (25) deviennent donc
x = x' cos a. — y' sin a, y~x' sin a -\-y' cos a.
Telles seront les formules à employer pour passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires.
27. Transformation générale. — Les formules tout à fait générales de transformation seront évidemment (23, 24, 25) pour les coordonnées rectilignes
x' sin (6 — g) 4-.r” sin (G — (3) sin G
x' sin «-!-/' sin p sin G
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. a3
Ces formules sont homogènes et du premier degré par rapport aux coordonnées qu’elles renferment. Comme nous l’avons déjà remarqué pour chaque transformation isolée (24, 25), leur emploi ne peut modifier en rien le degré de l’équation considérée.
28. Tran%formation relative aux coordonnées polaires. — Lorsqu’on veut passer d’un système de coordonnées rectiligne à un système de coordonnées polaire, on peut supposer que l’axe polaire se confond avec l’axe des x et le pôle avec l’origine O des coordonnées rectilignes. On peut aussi supposer les axes rectilignes rectangulaires. S’il n’en était pas ainsi, on pourrait toujours rentrer dans ce cas par une transformation préalabie convenablement effectuée à l’aide des formules précédentes.
En projetant successivement OM (Jig. 7) sur les deux axes, on aura
a: = pcosw, y = psincü.
Réciproquement, si l’on veut passer des coordonnées polaires aux coordonnées rectilignes, on déduira de ces relations
p = y^A’-t-t\ tangw = --
On voit que les équations qui sont algébriques dans un système, deviendront en général transcendantes dans l’autre système, et que la condition inverse pourra dans certains cas avoir lieu. . .
