THÉORIE DE LA LIGNE. DROITE

29. Pour terminer cette introduction, nous exposerons la théorie de la ligne droite. Nous y joindrons comme complément la théorie de la circonférence de cercle, qui, au point de vue d’une méthode rigoureuse, devrait peut-être faire partie de l’étude des courbes du second degré. Mais nous pensons qu’il est important d'habituer d’abord les élèves aux nouvelles considérations de la géométrie analytique, en leur faisant résoudre les problèmes les plus usuels relatifs aux deux seules lignes considérées en géométrie élémentaire. Nous achèverons ensuite ce 1" Livre en traitant une série d’exemples, choisis de manière à familiariser le lecteur avec quel-

24 bÉOMÉTIUE analytique.

ques-unes des principales courbes auxquelles nous devrons plus tard appliquer nos méthodes générales.

30. Nous commencerons par indiquer deux formules élémentaires qui reviennent constamment dans les calculs.

Distance de deux points. — Soient les axes Ox et 0>’ (Jig. 8). Cherchons d’abord la distance du point M, dont les coordonnées sont a; et à l’origine O. Le triangle MOP, quelle que soit la position du point M, donnera

OM>= OP’-f- MP’— 2OP. MP. cosOPM.

Si 0 est l’angle des axes, on aura toujours, l’angle OPM étant le supplément de 0,

cos OPM = — cos 0.

Il viendra donc, en désignant par d la distance cherchée,

(1) d — \Jx‘-\-y'‘-\-7.xycosQ.

Cherchons maintenant dans le plan des axes la distance de deux points quelconques M et M'. Transportons les axes 0.r et O J parallèlement à eux-mêmes en Mjc' et My'. Si l’on désigne par X et Y les coordonnées du point M' par rapport aux nouveaux axes, on aura, d’après la formule (1),

MM'= v/X’-f-V’-HaW COS0.

Mais, si x' et y' sont les coordonnées du point M' par rapport aux anciens axes, on a, d’après les dernières formules du n“ 24,

X et y sont en effet les coordonnées de la nouvelle origine M par rapport aux anciens axes. En substituant, on aura donc pour la formule générale de la distance de deux points en fonction de leurs coordonnées par rapport à un système d'axes obliques,

(2) d = v'(x-' — Æ-p-i- 7(x' — x)(y' — y) cos 0.

Si les axes sont rectangulaires, cos 0 est nul, et les formules (1) et (2) deviennent simplement

d — vV , d v'(V-^.r)’-t-(j'— J)'’.

En coordonnées polaires, la formule de la distance de deux

GÉOMÉTRIE AKALYTIQUE. îS

points sera, en vertu du triangle MOM' [fig. <)),

rf = y/p'-t- p'- — 2pp'cüs{w' — 6j).

Coordonnées du point milieu d’une droite finie. — Soient la droite MM' et I son point milieu (fig. 8). Par rapport aux axes Ma/ et Mj', les coordonnées X, et Y, du point I seront évidemment

c’est-à-dire

Mais si et sont les coordonnées du point I par rapport aux axes primitifs, on aura aussi (24)

Il viendra donc

et l’on en déduit

t Xx= : >

Ainsi, par rapport à un système rectiligne quelconque, les coordonnées du milieu d’une droite sont les moyennes arithmétiques des coordonnées correspondantes des extrémités de cette droite.

31. Équation de la ligne droite. — Cherchons l’équation de la ligne droite considérée comme lieu géométrique. Si la droite donnée passe par l’origine et si l’on marque sur cette droite des points quelconques M, M', M", on aura (fig. lo), d’après la similitude des triangles formés.