M"P" — OP

constante.

Si l’on désigne cette constante par a, et si y et x sont les coordonnées d’un point quelconque de la droite, on aura donc

d’où

r- = ax.

Telle sera l’équation d’une droite passant par Toi iginr des coordonnées.

GÉOMÉTRIE AWALÏTIQUE.

Soit maintenant une droite quelconque BN [fifi- lo). On pourra lui mener par l’origine une parallèle OM, et cette parallèle aura pour équation

y = ax.

Si l’on marque sur les deux droites des points M et N, M' et N', M" et N", correspondants à des abscisses égales, on verra que les ordonnées de ces points PfP et MP, N' P' etM'P', N" P" et — M" P", présentent une différence constante mesurée sur la figure par l’ordonnée OB du point B où la droite BN rencontre l’axe Oy. Si l’on désigne OB par b, on aura donc

NP — MP = N'P'— M'P'= N"P"— (— M'P") =b. '

Si l’on représente alors par et j les coordonnées d’uii point quelconque de la droite BN, l’ordonnée du point correspondant de la droite OM sera représentée par ax, et il viendra, d’une manière générale,

d’où

y—ax = b, y = ax b.

Telle sera Téqualion d’une droite ayant une situation quelconque par rapport aux axes.

L’équation d’une droite parallèle à l’axe des y est évidemment

x = constante.

L’équation d’une droite parallèle à l’axe des x est J = constante.

L’axe des y a pour équation ^ '

l’équation de l’axe des x est

.Vinsi, toute droite est représentée par une équation du premier degré.

32. Réciproquement, toute équation du premier degré à deux variables représente une droite.

L’équation la plus générale du premier degré à deux variables est de la forme

Si le coeilicienl C est nul, on a

d’où

en posant

Aj| Bj; = O,

r = -X ou y = ax,

Construisons différents points du lieu lo), et joignons ces points M, M', M", à l’origine. D’après l’équation y=ax, on aura

MP M'P — M*P" OP“ ÜP' ~ — ÜP"

Les triangles OMP, ÜM'P', OM"P", sont donc semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Par suite, les directions OM, OM', OM" se confondent, et les points M, M', M" appartiennent à une même droite passant par l’origine. ,

Si B = O, l’équation devient

Ar-f-G = o,

d’où

Tous les points du lieu ayant alors la même ordonnée, ce lieu est une droite parallèle à l’axe des x.

Si A = O, il reste

Bar + C = o,

d’où

Tous les points du lieu ayant alors la même abscisse, ce lieu est une droite parallèle à l’axe des y.

Les coefficients B et C ou A et C étant nuis, le lieu devient l’axe des x ou l’axe des y.

Les coefficients A et B ne peuvent pas être nuis à la fois, sans quoi C serait aussi égal à o, et l’équation ne représenterait rien.

Enfin, si aucun coefficient n’est égal à zéro, l’équation peut s’écrire

c’esl-à-dire en posant - = ael r =

jr=ax-\-b.

Construisons la droite ^' = «.r.' L’ordonnée d’un point quelconque de cette droite différera de l’ordonnée du lieu cherché, qui correspond à la même abscisse, de la quantité constante b. Par suite, pour passer des points de la droite or aux points du lieu représenté par l’équation j = il

faut faire varier toutes les ordonnées de la droite d’une même quantité b. Les nouveaux points se trouveront ainsi répartis sur une parallèle à la droite y=nx, menée à la distance b. L’équation y=ax-\-b représente donc une droite qui ne passe pas par l’origine.

Remarque. — L’équation ax b n’est pas aussi générale que l’équation Aj-t-B;c-|-C = o, car elle ne peut représenter une droite parallèle à l’axe des y.

33. Degré d'uite ligne. — La réciproque qu’on vient d’établir aurait pu l’être d’une autre manière.

Nous avons vu que la position des axes n’influait pas sur le degré de l’équation (24, 25),

Le degré d'une ligne est le degré de son équation : ce degré indique en combien de points elle peut être coupée par une droite. En effet, soit F [x, y) = o l’équation de la courbe proposée lorsqu’on prend la droite sécante pour axe des x. Pour avoir les points d’intersection de la courbe avec la droite, il suffira de faire / = o dans l’équation de la courbe supposée du degré m; on obtiendra ainsi une équation en x qui sera au plus du degré ni et qui aura au plus m racines réelles, de sorte qu’on ne pourra avoir plus de m points d’intersection.

Si l’équation en x était satisfaite pour plus de m valeurs de X, elle se réduirait à une identité (Compl. d'.dlg., 177), et la droite sécante ferait alors partie du lieu, puisque tous ses points satisferaient à l’équation du lieu. Dans ce cas, le premier membre de l’équation F {x, y) — o devenant identiquement nul pour y= o, on pourrait y mettre y en facteur, et l’équation proposée se décomposerait en deux équations, l’une >• = o du premier degré, l’autre /{.v, ») = o du degré m — i.

Toute équation du degré m peut donc représenter une ligne du degré m ou plusieurs lignes d’un degré inférieur, la somme des degrés partiels devant toujours être égale à /«. Une équation du troisième degré peut, par exemple, représenier une ligne du premier degré jointe à une ligue du second degré.

Oci posé, il suffit de remarquer, pour déflrioutrei notre ré-

. üÉOMÉTniE ANALYTIQUE. Qif

( iproquo, que les lignes du premier degré (c’est-à-dire représentées par les équations du premier degré) ne pouvant être coupées par une droite en plus d’un point, sont nécessairement des lignes droites.

On classe ordinairement les lignes algébriques d’après le degré de leurs équations; mais cette classification ne repose sur aucun caraetère réellement scientifique, et on ne doit l’a- ' 'dopter que faute d’une meilleure, impossible encore à formuler.

Remarque. — Dans tous les degrés, une équation homogène par rapport à cr et à r représente autant de droites passant par l’origine, que l’équation en z obtenue en posant y= zx admet de racines réelles et inégales.

34-. Interprétation des coefficients de l'équation de la droite.

— Nous avons trouvé pour l’équation générale d’une droite non parallèle à l’axe des r,

y = ax -f- h.

■|.a constante b est l’ordonnée du point où la droite rencontre l’axe Aii^y(fig. lo) : cette constante a reçu le nom û’ordonnée à l’origine.

• La constante a, qui reste la même pour toutes les droites parallèles, a reçu le nom de coefficient angulaire.

En désignant par « l’angle de la partie de la droite qui s’étend au-dessus de l’axe des x avec la partie positive de cet axe (angle qui peut varier de o à 7:), on a, d’après In fg. 10,

MP sina üF ~sin(0- a)’

et il est facile de s’assurer que cette relation est générale. Si l’on considère la fig. m , on a eri effet

MP sin« sina

^ — OP~ — sin (a — 0) sin(0 — a)'

Lorsque les axes sont rectangulaires, on a

. sin(0 — a) = cos a et n = tanga.

-Ainsi, dans le cas des axes obliques, le coefficient angulaire de la droite est égal au rapport des sinus des angles <x et B — a; dftns lé cas des axes rectangulaires, ce coefficient est égal à la tangente trigonométrique de l’angle formé par la partie de la droite qui s’étend au-dessus d'e l’axe des x avec la partie positive de cet axe.