Quand les axes sont rectangulaires, la relation tanga

3o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ^

fait immédialemenl connaître l’angle de la droite donnée avec l’axe des x.

Quand les axes sont obliques, on déduit de la relation

sin a

^ sin (6 — a.)

rtsinôcosa — acosô sina = sina,

d’où, en divisant paT cosa, tanga =

rtsinô I -+- fl cos (5

Si l’on veut obtenir une formule calculable par logarithmes, on écrit

a sina I sin (0 — a)

d’où ( 7’r/g'., 26)

. tangla— -0)

a — i sina — sin{G — a) ^ \ 'a /

a 1 ~ sina-t- sin (S — a) t'

tang-G

Il en résulte

lang(.-l6)=î^l»ngi9.

Cette formule permettra de calculer, dans le cas des axes obliques, l'angle de la droite donnée avec l’axe des x.

36. Pour construire une droite, lorsqu’elle est représentée par une équation à coefficients numériques, le mieux est de déterminer les points où elle rencontre les deux axes.

Soit l’équation

En faisant o; on trouve ^ ^ pour l’abscisse du point ou

la droite coupe l’axe des x (abscisse qu’on peut appeler abs-

cisse à Vongine]] en faisant x — o, on trouve — g pour

l’ordonnée de la droite à l’origine. On portera donc à l’échelle adoptée et à partir de l’origine, sur la partie positive de l’axe

des X la longueur sur la partie négative de l’axe des j la lon-

gueur^; puis on joindra les deux points obtenus par une droite, qui sera la droite demandée.

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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 3l

Soit encore l’éqnalion

La droite représentée par celte équation passe par l’origine. Pour x — 5, on a

lO

On construira donc le point ^jr = 5, j=— et on le joind à l’origine par une droite, qui sera la droite cherchée.

ra

37. Autres formes de l'équation de la droite. — Reprenons réquation

■y=rt.r-|-/>.

En faisant x = o dans celle équation, on obtient

en faisant y = O, on obtient

L’ordonnée à l’origine est donc h, l’abscisse à l’origine est

Posons

nous aurons

-=P et b = q-,

Si nous substituons ces valeurs dans l’équation proposée, elle deviendra

■d'où

Lorsque l’équation de la droite est sous celte forme trèssymétrique, on peut la construire immédiatement (36).

Soit la droite AB {Jîg. 12). Abaissons de l’origine sur celle droite la perpendiculaire OD = p, et désignons par <x l’angle formé par celle perpendiculaire avec l’axe des x. Prenons un point M quelconque sur la droite; les coordonnées de ce point étant MP et OP, projetons leehemin OPM sur la direction OD.

3a GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

Nous aurons, en appelant 0 l’anf^lc des axes et en remarquant que la projection cherchée est évidemment égale à 01),

JT cosa -t- jf cos(0 — x) = p.

Si les axes sont rectangulaires, cette nouvelle forme de l’équation de la droite devient

xcosa -h rsina = p.

38. Équation de la ligne droite en coordonnées polaires, — Soit la droite AB (Jig. i3) qui coupe l’axe polaire à une distance OA du pôle égale à d. Soit M un point quelconque de AB. Le triangle MOA donne immédiatement, en appelant a l’angle de l’axe polaire et de la perpendiculaire OD = p abaissée du pôle sur AB, '

c’est-à-dire

OM sinOAM ^ sin (90" — a)

OA sinOMA sin (90'’-+- a — ai)’

On peut remplacer rfcosa par p, et l’équation prend la forme un peu plus simple

cos (a — '•)]

Cette équation, qui donne

rentre dans le type général

^ B cos w -i- A sin w

Réciproquement, en coordonnées polaires, une pareille équation représente toujours une droite. Si l’on multiplie en effet ses deux membres par cos w, on peut la mettre sous la forme

B-(-Atangw

On a d’ailleurs *'

pcosw = a:, tangw=-{28),

d’où

x = 7 — et Ar-l-Bx = C.

GÉOMÉTRIE analytique. 33

Nota. — Si la droite proposée passe par le pôle, son équation est simplement

ù) = constante.

39. Remarque. — L’équation de la ligne droite, soit en coordonnées rectilignes, soit en coordonnées polaires, renferme toujours deux constantes arbitraires. Et cette particularité aurait lieu dans tout autre système de coordonnées, en vertu du nombre de points nécessaires à la détermination de la ligne considérée. Pour qu’une droite soit déterminée, il faut donc la soumettre à deux conditions distinctes qui serviront à calculer les valeurs des deux constantes pour la position particulière de la droite.

Questions relatives à la ligne droite.

40. I, Trouver l’équation générale des droites qui passent par un point donné.

Les coordonnées étant rectilignes, soit = or -i- 6 l’équation d’une droite quelconque. Si cette droite doit passer par le point (a:', j'), son équation devra être satisfaite par les coordonnées de ce point. On aura donc

y'= ax' ■+■ b.

Telle est la relation qui doit exister entre les constantes ou paramètres a et b pour que la droite considérée remplisse la condition imposée.

Pour introduire cette condition dans l’équation générale, il faut exprimer b en fonction de a et des coordonnées x' et y, ou, ce qui revient au même, éliminer b par soustraction entre les équations

jr=ax-h br y=ax'-i-b.

Il viendra

Quand on faitj=/ et x = x', cette équation est satisfaite, quel que soit a. En faisant varier a, on obtient tcpites les droites qui passent par lé point donné.

Remarques. — i® L’équation y — j'==a(x — x') peut représenter toutes les droites du plan qui passent par le point donné, sauf celle qui est parallèle à Taxe desj, puisque a devient infini. Pour lever cette difficulté, on peut poser d’abord

ce qui conduit à l’équation

lli. 3

Si l’on suppose alors n = o, c’csl-à-dire a=a:, il’vient

équation de la parallèle menée à l’axe des y par le point donne.

2“ L’équation y — y=a{x — .r' ) représente la parallèle menée par le point (a?', j') à la droite déterminée /= nar-l-fr (34).

41, II. Trouver l’équation de la droite déterminée par deux points donnés.

Soient (x', {x",y"}, les deux points donnés. L’équa-

tion générale des droites qui passent par le premier point est ( 40 )

L’équation de celle de ces droites qui passe par le second point donné, doit être satisfaite par les coordonnées de ce point. On aura donc l’équation de condition

qui déterminera immédiatement la seule constante restée arbitraire. Le plus simple est alors d’éliminer a par division, et il vient

ou

Remarques. — i” Le coefficient angulaire d’une droite passant par deux points donnés est égal au rapport qui existe entre la différence de leurs ordonnées et celle de leurs abscisses.

2“ Si l’on suppose y—o et x"=o, il vient

jC %

d’où

comme cela doit être (37).

3“ Si l’on suppose — y' et x" = — x', il vient

d’où

équation d’une droite passant par l’origine (3).

, GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE. 35

4” Si plusieurs points sont en ligne droite, les coefficients angulaires des droites qui passent par deux quelconques des points considérés doivent être identiques. On aura, par exem* pie, pour trois points {x', r'), {x", y"), j"),

c’est-à-dire que, pour que plusieurs points soient en ligne droite, il faut que les différences de leurs ordonnées et celles de leurs abscisses soient proportionnelles.

42. III. Trouver le point d’intersection de deux droites données.

Soient les deux droites

y=ax-yb, y = a'x-yb'.

Les coordonnées du point d’intersection de ces droites se distinguent des coordonnées de tous leurs autres points par cette condition, (\\x’ elles seules peuvent satisfaire simultanément aux équations des deux droites. Dès lors, la question devient une simple opération algébrique consistant à chercher les solutions communes aux deux équations proposées. Et cette manière de procéder, tout à fait générale, s’appliquera aux lignes quelconques.

En éliminant d’abord y par soustraction, on obtient

Il vient ensuite, par substitution,

ab' — ba'

Remarques. — i° Si l’on a a = a', sans que b soit égal à b', on trouve pour x et pour r des valeurs infinies. En effet, les deux droites données sont parallèles.

2° Si l’on a en même temps a = a' et b = b', on a aussi

ab' = ha',

et les valeurs de æ: et de j se présentent sous la forme En

effet, les deux droites données sont alors confondues.

3“ Si les équations proposées sont de la forme

A r-I-Ba: -t- C = o, A'/ -H C' = o,

il faut remplacer a et a par — v’ ' ^

géométrie analytique.

Il vient dans ce cas, pour les coordonnées du

point d’intersection des deux droites,